线段最值问题总结.pdf-道客多多

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1、数学历史名题与中考数学命题（一）线段最值问题总结【讲座提纲】应群主纪老师的邀请，进行这次的讲座，对于中考数学我其实是外行，因为我主要是教高中数学，初中数学我平时也会偶尔关注一下，对于特等老师们的执着、专业、无私，我是从心里佩服的，他们才是中考数学解题命题专家，他们的讲座给与我很大的启发，学到了很多。但是我

2、这个外行为什么还进行这次讲座呢？一是在群里学到了很多大神的妙招，我也应该为草根群出自己一份力，提供个人的一些浅薄的想法；二是通过这次讲座跟各位老师学习和交流，提高自己的解题水平；三是通过自己的一些想法，抛砖引玉，希望群里其他真正厉害的高手出来为群里老师们进行指导，形成草根群更加浓厚的学术交流氛围。在此

3、特别感谢群主和各位群友在草根群一直对我的指导和帮助，谢谢大家！数学历史名题是各文明古国灿烂文化的结晶，有的是数学大师的伟大数学思想的光辉杰作，有的是激励人们为之拼搏奋斗的世界难题。我们通过数学名题，学习和欣赏数学大师们的别致、独到的构思，新颖、奇巧的方法和精美、漂亮的结论的基础上，启迪我们的思维、开阔我们

4、探索问题的思路、提高解决问题的能力、丰富我们的解题经验。数学文化现在越来越受到大家的重视， 2 0 1 7 年高考考纲正式加入数学文化的内容，中考数学试题中更是很多数学试题是根据数学名题改编或者简化或者直接引用而成，本讲座主要在于探索一些中考几何真题的文化价值和命题背景。本讲座主要涉及的名题背景有 “ 将军饮马问题 ”

5、、 “ 阿波罗尼斯圆与胡不归问题 ” 将研究其解法和背景，结合中考真题进行讲解分析，期待引起大家对数学名题的关注和研究！线段的最值问题频频出现在各地中考数学试卷上面，这些问题有大家熟知的 “ 将军饮马问题 ” 及其引申，也有近几年非常热火的 “ 胡不归问题 ” 与 “ 阿波罗尼斯圆问题 ” ，很多老师对它们有所了解，但是却缺乏这方面的

6、总结整理，甚至有 “ 知其然不知其所以然 ” ，因此很有必要对它们作一个梳理，这里我尽可能讲清楚这些问题的来龙去脉，历史渊源，归纳其解法，掌握其思想，对中考数学命题背景作一些浅显的探讨，由于本人水平有限，准备时间仓，可能整理得不够完整，甚至出现错误，望各位批评指正，感激不尽！一将军饮马问题：问题起源：亚历山大城有一位

7、精通物理和数学的学者海伦，一天一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题，军官每天从军营出发先到河边饮马，然后再去河的同侧帐篷休息，应该怎么走最省时？海伦利用光学性质很快就得到了解答，我们知道光在同一种介质里面是沿直线传播的，也就是说是沿最短路径行进的，但是当光从一点射出后不是直线射向另一

8、点，而是经过平面镜反射到另一点的时候，光依旧会沿最短的路径进行。你说大自然多么奇妙，这个世界冥冥之中是按数学最优美的次序书写的，让人惊叹！从此 “ 将军饮马 ” 问题广为流传，在我国唐代诗人李欣写有古从军行一诗，古从军行白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多。野营万里无城郭，雨雪纷纷连大漠

9、。胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落。闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车。年年战骨埋荒外，空见蒲萄入汉家。前两句诗句就记录了 “ 将军饮马 ” 的情景。也可以说是中国给这个经典问题的名称的由来吧。【熟悉十二个基本问题】【问题 1 】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小连 AB，与 l 交点即为 P 两点之间线段最短 PA+PB 最小值为 A

10、B【问题 2 】 “ 将军饮马 ” 作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小作 B 关于 l 的对称点 B 连A B ，与 l 交点即为 P 两点之间线段最短 PA+PB 最小值为 A B 【问题 3 】作法图形原理在直线 1l 、 2l 上分别求点M、 N，使 PMN 的周长最小分别作点 P 关于两直线的对称点 P 和 P ，连 P P ，与两直线交点即为 M， N 两点之间线段最短 PM+MN+PN 的最小

11、值为线段 P P 的长【问题 4 】作法图形原理在直线 1l 、 2l 上分别求点M、 N，使四边形 PQMN 的周长最小分别作点 Q 、 P 关于直线1l 、 2l 的对称点 Q 和 P连 Q P ，与两直线交点即为 M， N 两点之间线段最短四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P P 的长【问题 5 】 “ 造桥选址 ” 作法图形原理直线 m n ，在 m、 n ，将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A ，连 A B，

12、交 n于点 N，过 N作 NM m于M 两点之间线段最短 AM+MN+BN 的最小值为A B+MN上分别求点 M、 N，使 MN m，且 AM+MN+BN 的值最小【问题 6 】作法图形原理在直线 l 上求两点 M、 N（ M在左），使 aMN ，并使AM+MN+NB 的值最小将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A ，作 A 关于 l的对称点 A ，连 A B，交直线 l 于点 N，将 N 点向左平移 a个单位得 M 两点之间线段最短 AM+

13、MN+BN 的最小值为A B+MN【问题 7 】作法图形原理在 1l 上求点 A，在 2l 上求点 B，使 PA+AB 值最小作点 P 关于 1l 的对称点P ，作 P B 2l 于 B，交 2l于 A 点到直线，垂线段最短 PA+AB 的最小值为线段 P B的长【问题 8 】作法图形原理A为 1l 上一定点， B为 2l 上一定点，在 2l 上求点 M，在 1l 上求点 N ，使AM+MN+NB 的值最小作点 A 关于 2l 的对称点A ，作

14、点 B 关于 1l 的对称点 B ，连 A B 交 2l 于M，交 1l 于 N 两点之间线段最短 AM+MN+NB 的最小值为线段 A B 的长【问题 9 】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PBPA 的值最小连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P 垂直平分上的点到线段两端点的距离相等 PBPA 0 【问题 1 0 】作法图形原理作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P 三角形任意两边之差小于第

15、三边 PBPA AB在直线 l 上求一点 P，使PBPA 的值最大 PBPA 的最大值 AB【问题 1 1 】作法图形原理在直线 l 上求一点 P，使PBPA 的值最大作 B 关于 l 的对称点 B 作直线 AB ，与 l 交点即为P 三角形任意两边之差小于第三边 PBPA AB PBPA 最大值 AB 【问题 1 2 】 “ 费马点 ” 作法图形原理 ABC 中每一内角都小于1 2 0 ，在 ABC 内求一点P，使 PA+PB+PC 值最

16、小所求点为 “ 费马点 ” ，即满足 APB BPC APC 1 2 0 以 AB、 AC为边向外作等边 ABD、 ACE，连 CD、 BE 相交于P，点 P 即为所求两点之间线段最短 PA+PB+PC 最小值 CD将军饮马问题耳熟能详，大家都掌握得非常熟练了，我就仅举一例说明中考的考法，并留几个习题供大家练习例题 1：（广州中考题）已知平面直角坐标系中两定点 ( 1,0)A 、 (40)B ，，抛物线2 2( 0)y ax bx a 过点 A B、，顶点为 C，点 (

17、, )( 0)P m n n 为抛物线上一点 .（ 1）求抛物线的解析式和顶点 C的坐标；（ 2）当 APB 为钝角时，求 m的取值范围；（ 3）若 3,2m 当 APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移 5(0 )2t t 个单位，点 C、P平移后对应的点分别记为 C P、，是否存在 t，使得首尾依次连接 A B P C、、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求 t的值并说明抛物线平移

18、的方向；若不存在，请说明理由 .【分析】：第一问考察了求二函解析式与求顶点，但由于带这分数运算，所以计算并不简单，属于中等难度题目。第二问考察当点 P 坐标为何时， APB 为钝角。想钝角需要先从直角思考。所以利用画圆找 90 ，然后利用相似三角形或勾股逆定理求证三点成 90 。再由 90 过度到钝角。第二问思维跨度比较大，属于难

19、题。第三问则考察了函数的平移，题型新型，难度很大，背景为 “ 将军饮马问题 ” 。这里主要讲解第三问 .解 :(1 )代入 10A , , 4 0B , 二次函数 : 2 2y ax bx 得 :0 20 16 4 2a ba b , 解得 : 1232ab 抛物线解析式为 : 21 3 22 2y x x .对称轴为直线 32 2bx a ,代入 21 3 22 2y x x 则顶点 3 252 8C , .(2 )如图所示，设抛物线与 y 轴交点 D，

20、连接 AD,BD 10 4 0 0 2A , ,B , ,D , 由勾股定理得 : 2 21 2 5AD , 2 24 2 2 5BD , 1 4 5AB 2 2 2AD BD AB , ABD 为直角三角形 , 90ADB .由图可得：当 1 0m 时， APB 为钝角 . 抛物线关于轴对称 32x 对称， D的对称点 D 的坐标为： 3 2,由图可得：当 3 4m 时， APB 为钝角 .综上所述：当 1 0m 或 3 4m 时， APB 为钝角 .（ 3 ）线段 AB 和 C P 的

21、长是定值，要使四边形 ABP C 的周长最短，只要 AC BP 最短。如果将 C P 向右平移，显然有 AC BP AC BP ，不存在某个位置，使四边形 ABP C 的周长最短，应将线段 C P 向左平移。由题知 (3 2)P ，，设线段 C P 向左移了 t个单位，则 P为 (3 , 2)t ， C为 3 25( , )2 8t ，作 C关于 x轴的对称点 C 3 25( , )2 8t ，此时 AC AC ，再作平行四边形 ABB C

22、。5AB ， B 为 13 25( , )2 8t ，此时 AC BB ，连接 BP， B P 交 x轴于 M 。AC BP BB BP B P ， AC BP 最小值 B P 。此时， B 在直线 B P 上，设直线 B P 的解析式 ( 0)y kx b k ，代入 B P ，得2 (3 )15 13( )8 2k t bk t b- = - + = - + 又 B 在 B P 上0 4k b= + ，联立，得 1541t =(1)解 :依题意把 ,A B的坐标代入得 : 2 016 4 4 0a ba b ;解得 : 123

23、2ab 抛物线解析式为 21 3 22 2y x x 顶点横坐标 32 2bx a ,将 32x 代入抛物线得 21 3 3 3 25( ) ( ) 22 2 2 2 8y 3 25( , )2 8C (2)如图 ,当 90APB 时 ,设 20 0 01 3( , 2)2 2D x x x ,则 0 01, 4 ,ED x DF x 20 01 3 22 2BF x x 过 D作直线 l x 轴 , ,AE l BF l AED BFD AE DFED BF 20 0 020 0 01 3 2 42 2 1 31 22 2x x xx x x (注意用

24、整体代入法 )解得 1 20, 3x x 1(0, 2)D , 2(3, 2)D 当 P在 1 2,AD BD 之间时， 90APB 1 0m 或 3 4m 时， APB 为钝角 .(3)依题意 3m ，且 90APB (3, 2)P 设 ,P C 移动 t（ 0t 向右， t o 向左）3 25(3 , 2), ( , )2 8P t C t 连接 , ,AC P C P B 则 ABPCC AB BP PC CA 又 ,AB P C 的长度不变四边形周长最小，只需 BP CA 最小即可将 CA 沿 x轴向右平

25、移 5各单位到 BC处P沿 x轴对称为 P 当且仅当 P、 B、 C三点共线时， BP CA 最小，且最小为 P C ，此时 13 25( , )2 8C t (3 ,2)P t ，设过 P C 的直线为 y kx b ，代入 13 25( ) ;2 8(3 ) 2t k bt k b 412841(3 ) 228k tb 即 41 41(3 ) 228 28 ty x 将 (4,0)B 代入，得： 41 41(3 )4 2 028 28 t ，解得： 1541t 当， P、 C向左移动 1541单位时，此

26、时四边形 ABPC周长最小。练习：1 .（北京中考题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 三个顶点的坐标分别为 6,0A ， 6,0B ， 0,4 3C ，延长 AC 到点 D,使 CD=12 AC ,过点 D 作 DE AB 交 BC 的延长线于点E.（ 1 ）求 D 点的坐标；（ 2 ）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、 EF，若过 B 点的直线 y kx b 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边

27、形，确定此直线的解析式；（ 3 ）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。（要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）2 .（丽水中考题）如图，已知

28、点 A(-4 ， 8 )和点 B(2 ， n)在抛物线 2y ax 上 (1 ) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐标；(2 ) 平移抛物线 2y ax ，记平移后点 A 的对应点为 A，点 B 的对应点为 B，点 C(-2 ， 0 )和点 D(-4 ， 0 )是 x 轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时， AC+CB 最短，求此时抛物线的函数

29、解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 ABCD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由 3 .（济南中考网评卷） 4 x22A 8-2 O-2-4 y6 BCD -44二胡不归问题：从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间

30、线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着 “ 胡不归？胡不归？ ” 。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选

31、择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的 “ 胡不归问题 ” 。胡不归问题的模型是：起点 A和终点 B固定，要在过 A的定直线上取一个中间点 P使BPvAPv 21 最小，可以转化为 10 mnPBmnPA 或 10 mnPBPAmn 型的最值问题 .先看一个经典例题，再来总结胡不归的解题套路。例题 2 （ 2 0 1 6 年梁溪区二模）如图， P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，

32、若 AB 2 ，则AP BP CP 的最小值为（）A 2 5 cm B 2 6 C 4 D 3 2解析：正方形 ABCD为轴对称图形 AP=PC AP+BP+CP=2AP+BP= )21(2 BPAP 即求 BPAP 21 的最小值接下去就是套路：我们要构造一个 BP21 出来连接 AC，作 DBE=30 ，交 AC于 E，过 A 作 AF BE，垂足为 FA D BC沙砾地带AB CDP在 Rt PBF中， PBF=30 BPPF 21 由此我们把 BP21 构造出来了 BPAP 2

33、1 的最小值即为 AF线段的长 BAE=45 ， AEB=60 解直角 ABE，得 AO=BO= 2 ， OE= 36 ， OB= 362根据面积法， AE21 BO= BE21 AF求出 AF= 62故选 B（注：本题用费马点亦可）胡不归套路总结：（以上题为例）第一步：将所求线段和改写为 PBmnPA 的形式（ mn 1 ）第二步：在 PB 的一侧， PA 的异侧，构造一个角度，使得 sin= mn第三步：过 A 作第二步所

34、构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算（本步骤最难）求 10 mnPBmnPA 的最小值的关键是如何处理掉 mn 这个分数，我们可以构造出mnPBSsin，此时 AHPSAPPBmnPA ，再利用垂线段最短即可 .例题 3 .（成都中考题）如图，已知抛物线 )4)(2(8 xxky （ k 为常数，且 k0 ）与 x 轴从左到右依次交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，经

35、过点 B 的直线 bxy 33 与抛物线的另一交点为 D。（ 1 ）若点 D 的横坐标为 -5 ，求抛物线的函数表达式；（ 2 ）若在抛物线的第一象限上存在一点 P，使得以 A、 B、 P 为顶点的三角形与 ABC 相似，求 k 的值；（ 3 ）在（ 1 ）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF。一动点 M 从 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，在沿

36、线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到D 后停止。当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？解：（ 1 ） )4)(2(93 xxy（ 2 ）分析：因为点 P 在第一象限的抛物线上，所以显然有 ABP 为钝角，所以 ABC 中一定有一个角是钝角，且只能是 ACB，所以 ABP= ACB；由题可得： ),0(),0,4(),0,2( kCBA ,设 )4)(2(8,( mmkmP ；由两点间的距离

37、可得： .6,16,4 22 ABkBCkAC以 A、 B、 P 为顶点的三角形与 ABC 相似有两种情况：第一种： PAB= ABC 则有 BCAP /1 ,所以 BCAP kk 1 ， 42 )4)(2(8 km mmk ， m=6， )2,6(1 kP ， 44 21 kBP由相似得： ABBCBPAC 1 ,即：6 1644 4 222 kkk ，因为 k0,解得 21 k ；第二种： PAB= BAC则有 2AP 与 y轴的交点 C与点 C将关于 x 轴对称， C（ 0 ， k），又 AHHPAOO

38、C 2 ， 2 )4)(2(82 m mmkk ， m=8 ， )58(2 kP ，， 1625 22 kBP ，由相似得： 2BPBCABAC ，即：1625 166 4222 kkk ，因为 k0,解得 5542 k ，1 5综上所述， k 的值为 5542或。（ 3）根据胡不归模型很容易解答：如答图，过点 D作 DN x轴于点 N，则 DN=3 ， ON=5， BN=4+5=9， tan DBA= = = ， DBA=30过点 D作 DK x轴，则 KDF= DBA=30过点 F作 FG DK于点 G，

39、则 FG= DF由题意，动点 M运动的路径为折线 AF+DF，运动时间： t=AF+ DF， t=AF+FG，即运动时间等于折线 AF+FG的长度由垂线段最短可知，折线 AF+FG的长度的最小值为 DK与 x轴之间的垂线段过点 A作 AH DK于点 H，则 t最小 =AH， AH与直线 BD的交点，即为所求之 F点 A点横坐标为 2，直线 BD解析式为： y= x+ ， y= （ 2） + =2 ， F（ 2， 2 ）综上所述，当

40、点 F 坐标为（ 2 ， 2 ）时，点 M 在整个运动过程中用时最少变式练习：（内江中考）如图，在 ACE中， CA=CE， CAE=30， O经过点 C，且圆的直径 AB在线段 AE上（ 1）试说明 CE是 O的切线；（ 2）若 ACE中 AE边上的高为 h，试用含 h的代数式表示 O的直径 AB；（ 3）设点 D是线段 AC上任意一点（不含端点），连接 OD，当 CD+OD的最小值为 6时，求 O的直径 AB的长

41、 1 6前两问略去：（ 3）作 OF平分 AOC，交 O于 F，连接 AF、 CF、 DF，如图 3，则 AOF= COF= AOC= （ 180 60） =60 OA=OF=OC， AOF、 COF是等边三角形， AF=AO=OC=FC，四边形 AOCF是菱形，根据对称性可得 DF=DO过点 D作 DH OC于 H， OA=OC， OCA= OAC=30， DH=DCsin DCH=DCsin30= DC， CD+OD=DH+FD根据两点之间线段最短可得：当 F、 D、 H三点共线时， DH+

42、FD（即 CD+OD）最小，此时 FH=OFsin FOH= OF=6，则 OF=4 ， AB=2OF=8 当 CD+OD 的最小值为 6 时， O 的直径 AB 的长为 8 三阿波罗尼斯圆问题：阿波罗尼斯（约公元前 262-前 190）出生于小亚细亚南部的一个小城市佩尔格，他的巨著圆锥曲线论是在门奈赫莫斯、阿里斯泰奥斯、欧几里得、阿基米德等前人研究的基础上，加上他自己所独创的成果，以全新的方

43、式，并以欧几里得几何原本为基础写出，他把综合几何发展到最高水平 .这一著作将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几何使将近 20个世纪的后人在这方面也未增添多少新内容 .直到 17 世纪笛卡尔、费马创立了坐标几何，用代数方法重现了二次曲线理论，戴沙格、帕斯卡创立射影几何，研究了圆锥曲线的仿射性质和射影性质，才使得圆锥曲线理论有所突

44、破，发展到一个新的阶段 .而这两大领域的基本思想也可以在阿波罗尼斯的圆锥曲线论中找到它们的萌芽 .阿波罗尼斯圆就是阿波罗尼斯的研究成果之一，阿波罗尼斯圆在中考、高考试题中出镜率极高，很多根据这一背景命制的试题清新脱俗，古朴厚重，思想深邃，当然会使不知道这一背景的同学们不知所措，没法快速找到解题的突破口，这里我

45、们将详细研究其命题背景，解题套路，使这类问题解决起来得心应手！1 7阿波罗尼斯轨迹定理：到两个定点 BA, 的距离之比为定值 1mn 的点 P，位于以把线段AB分成的内分点 C和外分点 D的直径两端的定圆周上，此结论为阿波罗尼斯发现的，这个圆常称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆 .这两个定点叫做阿斯圆的基点 .证明：如图，设 APB 的内角平

46、分线和外角平分线分别与 AB或其延长线交与 DC, ，则有nmPBPADBADCBAC 为定值，从而 DC, 为定点，又 9018021CPD ，故点 P在以 CD为直径的圆周上。阿氏圆有如下性质：在线段 AB关于定比 1mn 的阿氏圆上任意一点，到两点的距离的比都等于定比 1mn .若点 P在阿氏圆上，则 1 mnPBPA .此时必有 PC平分 PDAPB、平分 APB 的外角 .1 8【解题说明】1 .当两个定点 A和 B已知时，可以先在直线上找到两点 DC, ，使得 DBDACBCA ，然后以 CD为直径的圆，即得对应的阿波罗尼斯圆，反过来，如果已

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