1、勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明下面乃几千年来前人所发现的证明方法。【证法 1】 （梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点P. D、E、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + G
2、EF = 90， BEG =18090= 90又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ABC + CBE = 90 RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90 即 CBD= 90又 BDE = 90 ，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 GHCBE 的面积为 S，则, BDPC 的面积也为 S，HPFG 的面积也为 S 由此可推出： a2+b2=c2 【证法 2】 （项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两
3、条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上.过点 Q 作 QPBC ，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90，QP BC， MPC = 90 ， BMPQ， BMP = 90 ， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = ，ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC ，又 BMP = 90 ，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA.同理
4、可证 RtQNF RtAEF.即 a2+b2=c2【证法 3】 （赵浩杰证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以 CF，AE 为边长做正方形 FCJI 和 AEIG，EF=DF-DE=b-a，EI=b，FI=a，G,I,J 在同一直线上，CJ=CF=a ，CB=CD=c，CJB = CFD = 90，RtCJB RtCFD ，同理，RtABG RtADE，RtCJB RtCFD RtABG RtADEABG = BCJ,BCJ +CBJ= 90,ABG + CBJ= 90,AB
5、C= 90,G,B,I,J 在同一直线上，所以 a2+b2=c2【证法 4】 （欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于，GAD 的面积等于矩形 ADLM的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 =.同理可证，矩形 MLEB 的面积 =. 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 即 a 的平方+b 的平方=c 的
6、平方【证法 5】欧几里得的证法几何原本中的证明在欧几里得的几何原本一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设ABC 为一直角三角形，其中 A 为直角。从 A 点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。 （SAS 定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理 3） 。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平
7、行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证明如下：设ABC 为一直角三角形，其直角为 CAB 其边为 BC、AB、和 CA，依序绘成四方形 CBDE、BAGF 和 ACIH。 画出过点 A 之 BD、CE 的平行线。此线将分别与 BC 和 DE 直角相交于 K、L。 分别连接 CF、AD，形成两个三角形 BCF、BDA。CAB 和BAG 都是直角，因此 C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证 B、A 和 H。 CBD 和FBA 皆为直角，所以ABD 等于FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以ABD 必须相等于FBC。因为 A 与 K 和 L 是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于 ABD。因为 C、A 和 G 有共同线性，所以正方形 BAGF 必须二倍面积于FBC 。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB2。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2。把这两个结果相加， AB2+ AC2; = BDBK + KLKC 由于 BD=KL，BDBK + KLKC = BD(BK + KC) = BDBC由于 CBDE 是个正方形，因此 AB2 + AC2= BC2。 此证明是于欧几里得几何原本 一书第 1.47 节所提出的
