1、1.1.7 柱、锥、台和球的体积,1.了解祖暅原理及等体积变换的意义 2掌握柱、锥、台、球的体积公式并会求它们的体积,课堂互动讲练,知能优化训练,11.7,课前自主学案,课前自主学案,1棱长为a的正方体体积V_. 2长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其体积为V_. 3底面半径为r，高为h的圆柱的体积为V_.,a3,abc,r2h,1长方体的体积公式 V长方体_. 其中a、b、c分别是长方体的长、宽和高，S、h分别是长方体的底面面积和高 2祖暅原理 幂势既同，则积不容异 这就是说，夹在_的两个几何体，被_的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积_，那么这两个几何体的体积_,abc,Sh,两个平
2、行平面间,平行于这两个平面,总相等,相等,3祖暅原理的应用 _、_的两个柱体或锥体的体积相等 4柱、锥、台、球的体积 其中S表示面积，h表示高，r和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径.,等底面积,等高,把锥体用平行于底面的平面截开，截得的小锥体的体积与原锥体的体积之比等于截得小锥体的高度与原锥体的高度之比的立方,提示：可以,思考感悟,课堂互动讲练,对于不易求出的柱体，应当进行适当的变形和“割补”，使其成为易求的柱体，运用公式求之,棱柱ABCABC的侧面AACC的面积为S，且这个侧面到与它相对的侧棱BB之间的距离为a，求这个棱柱的体积 【分析】 此题若直接求底面ABC的面积及其上的高，将
3、是困难的，能否考虑采取补充或截割的办法，以已知面积的侧面为底来解呢？如图，设法补上一个与原三棱柱全等的三棱柱，成为一个平行六面体，再将面AACC看做底来求,【解】 如图，过侧棱BB、CC分别作侧面AC、AB的平行平面，DD是交线，再伸展两底面，得到平行六面体ABDCABDC. 侧面AACC的面积为S，设此面为底面，则平行六面体BDDBACCA的高为a，,【点评】 当所给几何体的体积不易求出时，我们可以通过“割补法”，使之变形为我们熟悉的几何体去解决,跟踪训练1 正三棱柱侧面的一条对角线长为2且与该侧面内的底边所成角为45，求此三棱柱体积,将台体的体积与上、下底面积及高建立函数关系或者根据等量建
4、立方程,已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积 【分析】 借助于正四棱台内直角梯形，求得棱台底面积及高，从而求解其体积,【解】 如图所示，正四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1B110 cm，AB20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形,【点评】 在求台体的体积时，关键是根据题设条件，分析得出所求问题需要哪些量，现在已知哪些量，然后归纳到正棱台的直角梯形中列式求解，最后代入体积公式求解体积 跟踪训练2 棱台的上底面积为16，下底面积为64
5、，求棱台被它的中截面分成的上、下两部分体积之比,关键是找出球的半径或者半径与其它量之间的关系,球的两个平行截面的面积分别是5，8，两截面间距离为1，求球的体积 【分析】 应用轴截面中的直角三角形来求球的半径,【点评】 球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面都是轴截面，因此球的问题常转化为圆的有关问题解决,不规则的无体积公式的几何体通过割补变换，转化为能直接用体积公式计算的几何体,如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2(V1V2)的两部分，求V1V2.,【点评】 不规则几何体的体积可通过对几何
6、体分割，使每部分都能够易求得其体积，或者使所求体积等于整体几何体体积减去部分几何体体积 跟踪训练3 如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD2 cm，下底BC10 cm，底角ABC60，现绕腰AB所在直线旋转一周，求所得的旋转体的体积,1祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公式的基础和纽带原理中含有三个条件：条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间；条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个截面；条件三是两个截面的面积总相等这三个条件缺一不可，否则结论不成立 2多面体与旋转体的体积公式只要求我们了解，但结论“等底面积、等高的两个棱锥的体积相等”必须记熟且学会对它的熟悉运用，柱体、锥体、台体的体积关系如下：,3在推导棱锥的体积公式时，是将三棱柱分成三个三棱锥，这三个三棱锥变换它们的底面和顶点，可以得到它们两两之间等底面积、等高，因此它们的体积相等，都等于三棱柱体积的三分之一在这个过程中，一是运用了等体积转换的方法，二是运用了割补法，这些方法在今后解题时要灵活运用 4有的几何体是由若干个简单几何体如柱、锥、台、球等组合而成，我们称之为组合体，求解组合体体积的关键是掌握简单几何体的体积公式，会将组合体分解成若干个简单几何体,
