1、3.1 求质点在中心势场 中运动的微分方程的解。解：由公式 ，代入,令：,讨论：(1) 当,第3章 两体问题,选适当，使c=0, 得,(2) 当,选适当，使c=0, 得,(3) 当,选适当，使c=0, 得,第（2），（3）中情况会出现r0，即质点被力心所俘获,当 ，t值有限,3.2 质量相同的两个质点，用一固有长度为l劲度系数为k，质量不计的弹性棒连接起来，用手握住其中一个质点，使另一个做水平圆周运动，其速度为V0，然后将手放开，讨论这两个质点以后的运动情况。 解：放手前，体系质心做圆周运动，放手后质心在离心力作用下做抛体运动。 仅考虑体系的相对运动，体系势能 。两粒子相对运动可看成质量为折合
2、质量mr的质点的运动，,运动方程为：,其中：轨道方程为：,3.3 质点在一纬中心引力 的作用下，以速度为0，x=-a处开始运动，试求该质点到达力心o的时间。 解：设无穷远处为势能零点，则,代入粒子在中心势的运动方程：,3.4 定性的讨论粒子在中心势 中的运动，式中k和为常数。 解：当 1时，V0，此时近似做自由粒子的运动；当 1时， ，粒子近似做在势场 中的开普勒运动；当 1时， ，粒子近似做开普勒运动，但势场减弱为,3.6 求粒子在中心力 的作用下的轨道方程。 解：粒子的中心势场可写为 代入,令： ，,其中：,3.8 试求粒子在势场 中运动且E=0 (抛物线轨道)时，坐标对时间的依赖关系。
3、解：粒子在中心势场 中运动，代入,运动方程：,令 ，则,若 ，则,3.11 证明在椭圆轨道情况下，动能对时间的平均值等于势能对时间的平均值的一半(位力定理)。 证明：在椭圆轨道情况下， 。设 ，a，c分别是半长轴和焦距,有： ，周期,可写为： ，即,势能：,动能：,证明2：,令：,经过一个周期：,又： ，在椭圆轨道,3.13 运动粒子m1和静止粒子m2碰撞后，试在实验室系中用粒子的偏转角来表示粒子碰撞后的速度，即用 和 来表示 和 解：设m1的初速度为,可得：,其中：,代入上式得：,3.22 设一质量为m的质点在 的中心力场中运动，试求其在稳定平衡位置r0附近做径向小振动的频率。 解：由比耐公
4、式，轨道微分方程为：,其中,设势场有一微小扰动，使粒子轨道,代入上式，保留到的一级项，得满足方程：,得轨道稳定条件为：, 轨道稳定,附近径向振动频率,3.23 在地球表面A处，一发射角60和初速 发射一卫星，其中R为地球半径(自转可略)。(1)试求发射瞬间卫星轨道的曲率半径和切向加速度 ；(2)试求卫星离开地面的最大高度h及在此点的速率 ；(3)如果卫星在此最大高度突然分裂成相等的两半，其一半瞬时静止，试问另一半的轨道形状。 解：卫星处于重力势场 中，由重力Fmg,卫星的轨道方程可写为：,其中：,轨道方程为： ，当 r =R时,(1)受力分析得：,(2)当 时，有,由机械能守恒有：,即：,(3)当一半瞬时静止，由动量守恒有，,即轨道形状为抛物线,(2)当 时，有,由机械能守恒有：,即：,(2)双曲线轨道上面式(1), (3), (4), (5)均成立，但,代入(5)得，,(3)抛物线轨道式(1), (3), (4), (5)均成立，但e=1,代入(5)得，,(2)双曲线轨道，系统机械能为，,(3)抛物线轨道，系统机械能为，,解法2: (1)椭圆轨道，系统机械能为，,对椭圆轨道，机械能可表示为，,即得,机械能又可表示为，,抛物线轨道机械能为零，所以,即得,
