1、 第 1 页有关三角形、四边形中“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求 PA+PB 最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例 1 如图 1，在锐角三角形 ABC 中，AB=4 ,BAC=45，BAC 的平分线交 BC于点 D，M,N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值为 分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解
2、决解：如图 1，在 AC 上截取 AE=AN，连接 BE因为BAC 的平分线交 BC 于点 D，所以 EAM=NAM，又因为 AM=AM， 所以 AMEAMN，所以 ME=MN所以BM+MN=BM+MEBE因为 BM+MN 有最小值当 BE 是点 B 到直线 AC 的距离时，BE取最小值为 4，以 BM+MN 的最小值是 4故填 41.2 在等边三角形中探求线段和的最小值例 2（2010 山东滨州）如图 4 所示，等边ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,M是 AD 上的动点,E 是 AC 边上一点 .若 AE=2,EM+CM 的最小值为 . 第 2 页分析：要求线段和最小值，关键
3、是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可解：因为等边ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,所以点 C 与点 B 关于 AD 对称，连接 BE 交 AD 于点 M，这就是 EM+CM 最小时的位置，如图 5 所示，因为 CM=BM，所以 EM+CM=BE，过点 E 作 EFBC，垂足为 F，因为 AE=2，AC=6 ，所以 EC=4，在直角三角形 EFC 中，因为 EC=4, ECF=60，FEC=30，所以 FC=2,EF=2 因为 BC=6，FC=2，所以 BF=4在直角三角形 BEF 中，BE= .二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1
4、在直角梯形中探求线段和的最小值例 3 如图 3，在直角梯形 ABCD 中，ABC 90 ，ADBC，AD4，AB5，BC 6，点 P 是 AB 上一个动点，当 PCPD 的和最小时，PB的长为_分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时第 3 页可以用对称法解：如图 3 所示，作点 D 关于直线 AB 的对称点 E，连接 CE，交 AB 于点 P，此时PCPD 和最小，为线段 CE因为 AD4，所以 AE=4因为 ABC90，ADBC ，所以 EAP90因为APE BPC,所以APE BPC，所以 .因为 AE=4，BC6，所以，所以 ，所以 ,因为 AB5，所
5、以 PB=3.2.2 在等腰梯形中探求线段和的最小值例 4 如图 4，等腰梯形 ABCD 中，AB=AD=CD=1， ABC=60，P 是上底，下底中点 EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为 分析：根据等腰梯形的性质知道，点 A 的对称点是点 D，这是解题的一个关键点其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键解：如图 4 所示，因为点 D 关于直线 EF 的对称点为 A，连接 BD，交 EF 于点 P，此时 PAPB 和最小，为线段 BD过点 D 作 DGBC，垂足为 G，因为四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AB=AD=CD=1， ABC=60，所以C=60， GDC=30，所以
6、 GC= ,DG=因为 ABC60，ADBC，所以BAD120 因为 AB=AD，所以ABD=ADB=30，所以 ADBC=30，所以 BD=2DG=2 = 所以 PA+PB 的最小第 4 页值为 2.3 在菱形中探求线段和的最小值例 5 如图 5 菱形 ABCD 中，AB=2， BAD=60，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为 分析：根据菱形的性质知道，点 B 的对称点是点 D，这是解题的一个关键点解：如图 5 所示，因为点 B 关于直线 AC 的对称点为 D，连接 DE，交 AC 于点 P，此时 PE PB 和最小，为线段 ED因为四边形 AB
7、CD 是菱形，且 BAD=60，所以三角形ABD 是等边三角形因为 E 是 AB 的中点，AB=2，所以 AE=1，DE AB，所以 ED= 所以 PEPB 的最小值为 2.4 在正方形中探求线段和的最小值例 6 如图 6 所示，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上，且 DM=2，N 是AC 上的一个动点，则 DN+MN 的最小值为 分析：根据正方形的性质知道，点 B 的对称点是点 D，这是解题的一个关键点解：如图 6 所示，因为点 D 关于直线 AC 的对称点为 B，连接 BM，交 AC 于点 N，此时 DNMN 和最小，为线段 BM因为四边形 ABCD 是正方形，所以
8、BC=CD=8因为第 5 页DM=2，所以 MC=6，所以 BM= =10.所以 DN+MN 的最小值为10.例 7 如图 7，在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线AC 上一动点，连接 PB、PQ，则 PBQ 周长的最小值为 cm （结果不取近似值）分析：在这里PBQ 周长等于 PB+PQ+BQ，而 BQ 是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得 PB+PQ 的和最小问题因为题目中有一个动点 P，两个定点 B,Q 符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法解:如图 7 所示，根据正方形的性质知
9、道点 B 与点 D 关于 AC 对称，连接 DQ，交 AC于点 P，连接 PB所以 BP=DP，所以 BP+PQ=DP+PQ=DQ在 RtCDQ 中，DQ= ，所以PBQ 的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1故答案为 +1例 8 如图 11，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点.（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；（2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标
10、.第 6 页分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中解：（1）如图 12，作点 D 关于 x 轴的对称点 ，连接 C 与 x 轴交于点 E，连接DE.若在边 OA 上任取点 （与点 E 不重合） ，连接 C 、D 、 .由 D + C = + C C = D +CE=DE+CE，所以 的周长最小.因为 在矩形 OACB 中，OA=3,OB=4, D 为 OB 的中点，所以 BC=3，DO= O=2.所以点 C 的坐标为（3，4） ，点的坐标为 （0，-2） ，设直线 C 的解析式为y=kx+b，则 ，解得 k=2，b=-2，所以函
11、数的解析式为 y=2x-2，令 y=0，则x=1，所以点 E 的坐标为（1，0） ；（2）如图 13，作点 D 关于 x 轴的对称点 ，在 CB 边上截取 CG=2，连接 G 与x 轴交于点 E，在 EA 上截 EF=2.因为 GCEF，GC=EF，所以 四边形 GEFC 为平行四边形，有 GE=CF.又 DC、EF 的长为定值，所以此时得到的点 E、F 使四边形 CDEF 的周长最小. 因为 在矩形 OACB 中，OA=3,OB=4, D 为 OB 的中点，CG=2,所以 BC=3， DO= O=2,BG=1.所以点 G 的坐标为（1，4） ，点的坐标为 （0，-2 ） ，设直线 G 的解析式为第 7 页y=kx+b，则 ，解得 k=6，b=-2，所以函数的解析式为 y=6x-2，令 y=0，则x= ，所以点 E 的坐标为（ ，0）,所以点 F 的坐标为（ +2，0）即 F 的坐标为（ ，0）
