1、处理抽象函数的三板斧哈尔滨新东方全科中心 郑仕建首先，我们来看这样一个例题：例：定义在 上的函数 ，对任意的实数 ，恒有 ，且当R)(xf yx, )()(yxffx时， 又 0x0)(xf321（1）求证： 为奇函数；（2）求证： 在 上是减函数；（3）求函数 在)(xfR)(xf上的值域。3,解：1）令 x=y=0，由 得 + = ，所以 =0。令)()(yxffx0(f)(f)0(fy=-x,得 ，所以 ，所以 定义在 上的奇函0)(fx x)xR数。2）令 x10.因为 x0, 0,所以 。)(f 0)(12xf21221() ()fxxf所以 ，所以 在 上是减函数；)(f)fR3）
2、由 2）得 3(3x由 ，得 ，)1(f 4)1)2ff(所以 ，故 在 上的值域为 。)3(ff )(xf3,2,其实，这么一个问题就是我们学生非常熟悉的抽象函数问题，抽象函数问题可以非常地道的考察出我们的学生对于函数基本概念、函数基本性质的理解层次。这类问题，我们通常三步走：1） 求解某些特殊函数值。我们最常遇到的问题是求解诸如 等等，一(0),1,(2)ff般这一步骤中 的求解是必不可少的（why 见步骤 2） ，对于其他特殊值的求解一般都带(0)f有强烈的暗示性，只要我们的学生稍加注意，一般不会有太大的问题。这一步最常用的技巧：令 。本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧
3、；0,xy2） 判定函数的奇偶性。说到这里，可能我们的学生都已经会理解了，为什么我们在步骤1 中一般要求 。因为我们判定函数奇偶性分成两步来进行：首先，判定函数的定义域()f是否关于原点对称，这一点一般我们不用操心；其次，判定 的关系。这一步(),fx的关键就是让我们的已知式中出现 ，而这里有一个非常显然也最常用的关系：(),fx，通常套入我们的已知式，稍加整理就会得到我们想要的结果。在本例奇偶()0x性的证明中就用到了这一技巧；判定函数的单调性。首先，我们来解释为什么要判定单调性。因为抽象函数问题的第三问通常是求解一个抽象不等式，比如说，只是比如说：，我们通常的思路是这样的:通过第一步特殊函
4、数值的求解我们可能只是2()1fx可能会知道了 ，那么我们的不等式就会转化为 ，如果我们(3f2()(3fxf又知晓了单调性，那就可以不费吹灰之力将一个抽象不等式化为具体不等式了。当然，对于本例中是求值域，对于抽象函数值域的求解方法中最好使的就是单调法，所以无论第三问以何种形式出现，都将指引我们走向证明函数单调性胜利之路；其次，我们来解释，为什么单调性放在奇偶性之后。是不是题目的求解顺序决定的？可以很负责任的告诉各位同学，肯定不是这样。这个问题实际上是由逻辑顺序来决定的。我们判断单调性的基本步骤是：在定义域内取值、作差、判断差的正负、下结论。这里，最常用的技巧就是通过得到 的关系，对于 我们可
5、以通过奇偶性转化为 ，再21()fx21(),fx1()fx1()fx借助于其他的已知条件，判断出 的关系，最终得出单调性。2(),fx3） 判定函数的周期性。对于现行的考试又出现了新情况，就是很多时候直接告诉我们函数的奇偶性和单调性，而需要我们借助于题目其他已知信息判断出函数的周期性，然后利用周期性求出某些非常复杂的函数值。对于这种新情况，没有一种万全的方法帮助我们将革命进行到底，但是某些常用的结论还是有必要简单谈一下。首先，周期函数的定义。对于定义域内任意 都有 ，那么 就是周期函数，而 就是函数x()(,0fTfx()fxT的一个周期，这是我们努力的一个方向；其次，如果根据我们的知识我们
6、能够判断()fx函数 的图像有两条对称轴 ，那么我们就可以知道这个函数的周期,xab是 ；还有，就是如果函数 的图像有一个对称中心和一条对称轴也可以判2Tab()f断出这个函数具备周期性，具体的周期需要我们根据具体的题目去求解。实事求是的讲，这个例题还算是简单，但是“麻雀虽小，五脏俱全” ，这样一个题目非常完整的展现了我们处理抽象函数的经典步骤，对于其他更复杂的问题，事实上，一般是换汤不换药，基本的框架就是这样，只不过需要我们同学处理某些细节时更加的灵活，更加谨慎。同学们可以自己处理下面的练习题：1.设 f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足 f（xy）f（x）f（y） ， f（3）1，求：（1） f（1） ；（2） 若 f（x）f（x8）2，求 x 的取值范围.2. 已知定义在 R上的函数 ()f的图象关于点3,04成中心对称图形，且满足3()2fxf， (1f， 02f则 (1)2(6)ff的值为（ ）A、1 B、2 C、 D、 23.（2005 广东卷）设函数 在 上满足 ，()fx,)()()fxf，且在闭区间0，7上，只有 (7)()fxf130（）试判断函数 的奇偶性；(yfx（）试求方程 =0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论)
