1、 邵阳学院毕业设计（论文） I矩阵的特征值与特征向量摘 要本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些基本性质及定理，通过分析基本性质和定理来得出它们的基本求解方法，并延伸到一些特殊求解法。接下来还介绍了一类特殊矩阵实对称矩阵的特征值与特征向量，这让读者对矩阵的特征值与特征向量有更进一步的理解。最后给出了矩阵的特征值与特征向量在实际中的应用例子。这让我们明白研究它们不仅仅因为它们是学术知识，更是为了将它们应用到实际中去，解决实际问题，让我们的社会得到更快的发展。通过阅读这篇文章，可以使读者在以后的学习中对矩阵的求解更容易掌握。关键词： 矩阵、特征值、特征向量、正交、线性相关、线性无关、特征多项式邵阳
2、学院毕业设计（论文） IIMatrix eigenvalue and eigenvector Zhong Yueyuan(Science and information science department 2009 level of mathematics and applied mathematics at Shaoyang University in Hunan.)AbstractThis paper introduces the value and some basic properties and theorems of eigenvectors of the matrix char
3、acteristic, through the analysis of the basic properties and theorems to derive basic solving method for them, and extends to some special method. Then it introduces the characteristics of a class of special matrix - the real symmetric matrix value and the characteristic vector, the reader of matric
4、es have further understanding and feature vector. Finally gives the matrix eigenvalue and eigenvector of the application in the actual example.Let us understand this study them not only because they are the academic knowledge, but also to apply them to practice, to solve practical problems, to make
5、our society develop quickly. By reading this article, readers can learn in the future to solve the matrix is easier to grasp.Key word : Matrix, eigenvalue, eigenvector, orthogonal, linear correlation, linear independence, characteristic polynomial 邵阳学院毕业设计（论文） 目 录中文摘要.Abstract.引言.11 矩阵的特征值与特征向量.11.1
6、 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论.11.2 求解矩阵的特征值与特征向量方法 .42 实对称矩阵的特征值与特征向量.72.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化.72.2 求实对称矩阵的特征值与特征向量.93 矩阵的特征值与特征向量的举例应用.103.1 用特征值理论求解 Fibonacci 数列通项.113.2 在研究经济发展与环境污染中的应用.124 结论.15参考文献.16致谢.17邵阳学院毕业设计（论文） - 1 -引言 矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具。线性空间、线性变换等,都是以矩阵作为手段；由此演绎出丰富多彩的理论画卷。求解矩阵的特征值和特征向量，是高
7、等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在实际中也有广泛的应用。1 矩阵的特征值与特征向量1.1 矩阵的特征值与特征向量的定义及基本理论定义1 设 一个 阶方阵， 是一个数，如果方程An(1.1) 存在非零解向量，则称 为 的一个特征值，相应的非零解向量 称为属于特征值A的特征向量。 (1) 式也可写成，(1.2) 0)(XE这是 个未知数 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行n列式 (1.3) 0A即 021221121 nnn
8、naa 上式是以 为未知数的一元 次方程，称为方多项式阵 的特征方程。其左端 是A的 次多项式，记作 ，称为方阵 的特征。 An)(fA=|AE|=)(f nnn naa 21221121邵阳学院毕业设计（论文） - 2 -nnn aa11)(显然， 的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方A程的次数（重根按重数计算） 。因此， 阶矩阵 有 个特征值。A设 阶矩阵的特征值为 由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 n,21n（） ;21naa（） .A若 为 的一个特征值，则 一定是方程 的根, 因此又称特征根，若 为0EA方程 的重根，则称为 的 重特征根。方程 的每
9、一个非零解0Ein0向量都是相应于 的特征向量，于是我们可以得到求矩阵 的全部特征值和特征向A量的方法如下：第一步：计算 的特征多项式 ；EA第二步：求出 特征方程的全部根，即为 的全部特征值；0EAA第三步：对于 的每一个特征值 ，求出齐次线性方程组：的一个基础解系 则 的属于特征值 的全部特征 ,21s 向量是 。 )0.,(21 的 任 意 实 数是 不 全 为其 中 sskkk 定义 2 设 是数域 上线性空间 的一个线性变换。如果对应 中的一个数 ，FVF存在 中的非零向量 ，使得 (1.4)V)(那么 就叫做 的一个特征值，而 叫做 的属于特征根 的一个特征向量。 显然，如果 是
10、的属于特征值 的一个特征向量，那么对于任意 ,都有 F F(1.5) )()(这样，如果 是 的一个特征向量，那么由 所生成的一维子空间 在U之下不变；反过来，如果 的一个一维子空间 在 之下不变，那么 中每一个V非零向量都是 的属于同一特征值的特征向量。其中（1）式的几何意义是：特征向量 与它在 下的象 保持在同一直线)(邵阳学院毕业设计（论文） - 3 -L（）上， 时方向相同， 时方向相反， 时， 0000例 1 在 V3 中， 是关于过原点的平面 H 的反 射，它是一个线性变换。那么 H 中的每个非零 向量都是 的属于特征值 1 的特征向量，V就是平面 H。与 H 垂直的非零向量都是
11、的属于特征值 -1 的特征向量，即 V-1 就是直 线 L（见图 1） 。 图 1定理 1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关。 证明 设 是矩阵 的不同特征值，而 分别是属于 m,21 m,21的特征向量，要证 是线性无关的。我们对特征值的个数 m 作m,21 ,21数学归纳法证明。当 时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立。当 时,假设 时结论成立。11由于 是 的不同特征值,而 是属于 的特征向量,因此m2 Aiiii如果存在一组实数 ，使mk,21(1.6) 021mk则上式两边乘以 得m(1.7)021m另一方面, ,即)(1kkA(1.8)21 m(4)(5)有。 0)()()
12、( 112211 mmmmkkk 由归纳假设, 线性无关,因此2,(1.9) 0)(imik邵阳学院毕业设计（论文） - 4 -而 互不相同，所以 。于是（1.9）变为m,21 )1,2(0miki0mk因 ,于是 。可见 线性无关。0mkm,211.2 求解矩阵的特征值与特征向量的方法 在求矩阵的特征值与特征向量之前，我们来讨论一下特征值与特征向量的关系，它们的关系如下：（1）如果 关于某个基的矩阵是 ,那么 的特征值一定是 的特征根，但 的特AAA征根却不一定是 特征值， 的 个特征根中属于数域 F 的数才是 的征特值；n（2） 的特征向量是 V 中满足（1）式的非零向量 ，而 A 的特征
13、向量是 中的满nF足 的非零列向量 ；0xA0x（3）若 F 是 A 的特征根，则 A 的 中属于 的就是 的 属于的特征向量关于nF给定基的坐标。下面我们来介绍两种求矩阵的特征值与特征向量的方法：1.2.1 同步求解法定义l 把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换：1互换i，j两行，同时互换i，j列；2第i行乘非零数k，同时第i列乘1k；3第i行k倍加入第j行，同时第j列一k倍加入第i列。定理1 设 是秩为 的 阶矩阵，且Armn )rm(nrmn POBE列 初 等 变 换其中B是秩为 的列满秩矩阵，则矩阵P所含的 个列向量就是齐次线性方程组r -AX=0的一个基础解系（证明略） 。定理 2
14、 矩阵 的特征矩阵 经列的初等变换可化为下三角的 矩阵A)()AEF，且 的主对角线上元素乘积的 多项式的根恰为 的所有特征值（证明)(B)(邵阳学院毕业设计（论文） - 5 -略） 。例 l 求 的特征值与特征向量2561A解： 10467106122rET 5615471222 rr所以，特征值 ,特征向量分别为 。,2TT,12例 2 求矩阵 的特征值与特征向量14A解： 013422013)( 31rE )1(2)1(48)3(rr)1(r4 2332由定理 1，令 ，得矩阵 A 的特征值为 。0)(2,31当 时，(AE)已是标准上三角形矩阵，由定理 2 得01)2(B得特征向量 ,
15、T1当 时， ，同理，特征向量为 021)(BT121.2.2 初等变换法定理 3 齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩数 ，非奇异矩阵0XAnmAnr的后 n-r 列便构成线性方程组的一个基础解系。nQ邵阳学院毕业设计（论文） - 6 -证明： )0,P(0E)P,(0EPAQ0EP 1r21r1r r又 ),(),(2121AA。0,(1PQ从而 即 的后 列，即 的诸列为方程组 的列向量。2rn2Q0AX因为 为非奇异矩阵，所以 的 列线性无关，故它们构成方程组r的一个基础解系。0AX如何求矩阵 ，从而得到 ，从上面的证明过程可以看出，需要进行如下计算：Q2因矩阵 的秩为 ， 有 列线性无关
16、向量组，于是矩阵 经一系列的初等变rA)E,A(n换成为 ，其中秩 ,由此便得到 。21rm0PrP2Q例 3 已知 ,求矩阵 A 的特征根与特征向量。10解： = EA 1100121010210101 QG11022邵阳学院毕业设计（论文） - 7 -由知 ， 的特征根 。0)1(2A1,0321当 时， ， 特征向量 。0102QG12当 时， ， 特征向量 。1120QG1022 对称矩阵的特征值与特征向量2.1 实对称矩阵的性质、定理及对角化定义 1 如果有 n 阶矩阵 A，其各个元素都为实数，且 （转置为其本身） ，jiijA则称 A 为实对称矩阵。定理 1 实对称矩阵的特征值恒为实数，从而它的特征向量都可取为实向量。定理 2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的。证明 设 是实对称矩阵 的两个不同的特征值，即 是分别属21,A211,于 的特征向量，则 ，21, 21,根据内积的性质有 ),()(),(1221又 ),(AA),(212T1 2T12T1所以 0),(
