1、- 1 -,第五节 反常积分收敛性判别法,无穷积分的审敛法瑕积分的审敛法-函数,- 2 -,一 无穷积分的审敛法,不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法.,证,因为,所以当,时,所以,在,上是不减的,又由,是有界的,由单调有界原理知,存在,即无穷积分收敛.,定理1,设函数,在区间,上连续，,并且,若函数,在区间,上有,界，,则无穷积分,收敛。,- 3 -,由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理,定理2（比较审敛法）,设函数,在区间,连续，,且,则,（1）,如果无穷积分,收敛，,则无穷积分,也收敛；,（2）,如果无穷积分,发散，,则无穷积分,也发散。,证,- 4
2、-,由定理知,即,如果,发散。,假设,收敛，,由,定理的第一部分可得,收敛，,矛盾，,所以,发散。,所以有,- 5 -,例,解,根据比较审敛法，,- 6 -,例,解,所以，此广义积分收敛,- 7 -,例,解,根据极限审敛法2，所给广义积分发散,例,解,根据极限审敛法，所给广义积分发散,- 8 -,证,即,收敛.,- 9 -,例5,解,所以所给广义积分收敛.,- 10 -,二 瑕积分的审敛法,定理6,设函数,在区间,上连续，,且,为函数,的瑕点，,若函数,在区间,上有界，,则瑕积分,一定收敛。,定理7,设函数,在区间,上连续，,且,为函数,的瑕点，,如果存在常数,使得当,时，有,(1) 若,收敛,则,一定收敛;,(2) 若,发散,则,一定发散.,- 11 -,- 12 -,例6,解,由洛必达法则知,根据极限审敛法2,所给广义积分发散.,- 13 -,定义2,设函数,在区间,上连续，,且,为函数,的瑕点，,若瑕积分,收敛,则称瑕积分,绝对收敛.,定理10,设函数,在区间,上连续，,且,为函数,的瑕点，,若瑕积分,绝对收敛,则,一定收敛.,- 14 -,例7,解,根据比较审敛原理,- 15 -,特点:,1.积分区间为无穷;,三 -函数,- 16 -,函数的几个重要性质：,
