1、数学- 1 - / 16全国各省 2 中考压轴题目随州市22 （10 分）在圆内接四边形 ABCD 中， CD 为 BCA 外角的平分线，F 为 上一点， BC AF，延长 DF 与 BA 的延长线交于 EAD（1）求证 ABD 为等腰三角形（2）求证 ACAF DFFE23 （14 分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得利润P (x60) 241（万元） 当地政府拟在“十二 五”规划中加快开发该特产1100的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年
2、都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入 x 万元，可获利润 Q(100 x)2 (100 x)160（万元） 99100 2945（1）若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1） 、 （2） ，该方案是否具有实施价值？24 （15 分）如图所示，过点 F（0，1）的直线 y kx b 与抛物线 y x2交于14M（ x1， y1）和 N（ x2， y2）两点（其中x1
3、0， x20） （1）求 b 的值 （2）求 x1x2的值（3）分别过 M、 N 作直线 l： y1 的垂线，垂足分别是M1、 N1，判断 M1FN1的形状，并证明你的结论（4） 对于过点 F 的任意直线 MN，是否存在一条定直线 m，使m 与以 MN 为直径的圆相切如果有，请求出这条直线 m 的解析式；如果没有，请说明理由数学- 2 - / 1624ABCO P恩施自治州21.（本小题满分 8 分）如图，已知 为 的直径， 为 的切线，过点 的弦ABOBDOB 交 于点 ，垂足为 CDCM（1）求证： 是 的切线；（2）当 = ，且 = 时，求图中阴影部分的面积（结果6cm不取近似值） 24
4、. （本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 与 轴交于点 ，与 轴交于点A4=+83yxAy，抛物线 过点 、点 ，且与 轴的另一交点为 ，其中C2+yaxbc C0(,)Bx0，又点 是抛物线的对称轴 上一动点xPl（1）求点 的坐标，并在图 1 中的 上找一点 ，使 到点 与点 的距离之和最A0PC小；（2）若 周长的最小值为 ，求抛物线的解析式及顶点 的坐标；024N（3）如图 2，在线段 上有一动点 以每秒 2 个单位的速度从点 向点 移动(COMO不与端点 、 重合)，过点 作 交 轴于点 ,设 移动的时间为MHCBxHM秒，试把 的面积 表示成时间 的函数，当
5、为何值时， 有最大值，并t0PHSttS求出最大值； （4）在（3）的条件下，当 时，过 作 轴的平行线交抛物线于 、 两点，75=32EF问：过 、 、 三点的圆与直线 能否相切于点 ？请证明你的结论 （备用图EFCN图 3）徐州市第 24 题图 2ly=43x+8MPC BA0yx第 24 题图 1ly=43x+8PCBA 0yx第 24 题图 3ly=43x+8PCBA 0yx第 21 题图MODCBA数学- 3 - / 16 xyOA BCP24.（本题 8 分）如图，PA、PB 是O 的两条切线，切点分别为 A、B，OP 交 AB 于点 C，OP=13，sinAPC= 513。（1）
6、求O 的半径；（2）求弦 AB 的长。25-(本题 8 分)某网店以每件 60 元的价格购进一批商品，若以单价 80 元销售每月可售出 300 件调查表明：单价每上涨 l 元，该商品每月的销量就减少 l0 件。（1）请写出每月销售该商品的利润 y(元)与单价上涨 x(元)间的函数关系式：（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大?最大利润为多少?26(本题 6 分)如图，将矩形纸片 ABCD 按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF(如图)；沿 GC 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B处(如图)；展平，得折痕 GC(如图)；沿 GH 折叠，使点 C 落在 DH 上的点 C处(如图)
7、；沿 GC折叠(如图)；展平，得折痕 GC、GH(如图) （1）求图中BCB的大小；（2）图中的GCC是正三角形吗？请说明理由AB CDG HACAB CDG HCAB CDG HCAB CDEFGAB CDEFG BAB CDEF27.（本题 8 分）如图，在ABC 中，AB=AC，BC=a，B=30。动点 P 以 1/s 的速度从点 B 出发，沿折线 BAC 运动到点 C 时停止运动，设点 P 出发 x s 时，PBC的面积为 y 2cm，已知 y 与 x 的函数图象如图所示，请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断DOE 的形状，并说明理由；（2）当 n 为何值时，DOE 与ABC 相
8、似？AB CP 1 2-1 -11xyO 28.（本题 12 分）如图，已知二次函数 2yxbc的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 P，顶点为 C（ 1， ） 。数学- 4 - / 16（1）求此函数的关系式；（2）作点 C 关于 x 轴的对称点 D，顺次连接 A、C、B、D。若在抛物线上存在点 E，使直线 PE 将四边形 ACBD 分成面积相等的两个四边形，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得PEF 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出嗲你 P 的坐标及PEF 的面积；若不存在，请说明理由。泰州市26 （本题满分 10 分）如图
9、，以点 O 为圆心的两个同心圆中，矩形 ABCD 的边 BC 为大圆的弦，边 AD 与小圆相切于点 M，OM 的延长线与 BC 相交于点 N。（1）点 N 是线段 BC 的中点吗？为什么？（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为 6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径。27 （本题满分 12 分）已知二次函数 的图象经过点 P（2，5）32bxy（1）求 b 的值并写出当 1x3 时 y 的取值范围；（2）设 在这个二次函数的图象上，)()()y( 3221 ，、， mPmP当 m=4 时， 能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；3、当 m 取不小于 5 的任意实数时， 一定能作为
10、同一个三角形三边的长，请321y、说明理由。28 （本题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 a（a 为大于 0 的常数）的正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 P，顶点 A在 x 轴正半轴上运动，顶点 B 在 y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点 O） ，顶点 C、D 都在第一象限。（1）当BAO=45时，求点 P 的坐标；（2）求证：无论点 A 在 x 轴正半轴上、点 B 在 y 轴正半轴上怎样运动，点 P 都在AOB 的平分线上；（3）设点 P 到 x 轴的距离为 h，试确定 h 的取值范围，并说明理由。江苏省宿迁市26 （本题满分
11、10 分）如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，P 是反比例函数 y x6（ x0）图象上的任意一点，以 P 为圆心，PO 为半径的圆与 x、 y 轴分别交于点 A、 B（1）判断 P 是否在线段 AB 上，并说明理由；（2）求 AOB 的NMyxQPABO数学- 5 - / 16面积；（3） Q 是反比例函数 y x6（ x0）图象上异于点 P 的另一点，请以 Q 为圆心， QO 半径画圆与 x、 y 轴分别交于点 M、 N，连接 AN、 MB求证： AN MB（27 （本题满分 12 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点， Q 为边 CD上一动点，设
12、 DQ t（0 t2） ，线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、 BC于点 M、 N，过 Q 作 QE AB 于点 E，过 M 作 MF BC 于点 F（1）当 t1 时，求证： PEQ NFM；（2）顺次连接 P、 M、 Q、 N，设四边形 PMQN 的面积为 S，求出 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并求 S 的最小值28 （本题满分 12 分）如图，在 Rt ABC 中， B90， AB1，BC ，以点 C 为圆心， CB 为半径的弧交 CA 于点 D；以点 A 为圆心， AD 为半径的弧交 AB 于点 E（1）求 AE 的长度；（2）分别以点 A、 E 为圆心， AB 长为半径画
13、弧，两弧交于点 F（ F与 C 在 AB 两侧） ，连接 AF、 EF，设 EF 交弧 DE 所在的圆于点 G，连接 AG，试猜想 EAG 的大小，并说明理由南京市26 （8 分）如图，在 Rt ABC 中， ACB=90， AC=6， BC=8，P 为 BC 的中点动点 Q 从点 P 出发，沿射线 PC 方向以 2/s 的速度运动，以 P 为圆心， PQ 长为半径作圆设点 Q 运动的时间为 t s当 t=1.2 时，判断直线 AB 与 P 的位置关系，并说明理由；已知O 为ABC 的外接圆，若P 与O 相切，求 t 的值【27 （9 分）如图， P 为 ABC 内一点，连接 PA、 PB、
14、PC，在 PAB、 PBC 和 PAC 中，如果存在一个三角形与 ABC 相似，那么就称 P 为ABC 的自相似点如图，已知 Rt ABC 中， ACB=90， ACB A， CD 是 AB 上的中线，过点 B 作 BE CD，垂足为 E，试说明 E 是 ABC 的自相似点在 ABC 中， A B C如图，利用尺规作出 ABC 的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹） ；若 ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数QPNM FED CBAB B B CCCA A ADP E ABC PQO数学- 6 - / 16连云港市25 （本题满分 10 分）如图，抛物线 y x2
15、 x a 与 x 轴交于点 A， B，与 y 轴交于点12C，其顶点在直线 y2 x 上（1）求 a 的值；（2）求 A， B 的坐标；（3）以 AC， CB 为一组邻边作 ACBD ，则点 D 关于 x 轴的对称点 D 是否在该抛物线上？请说明理由26 （本题满分 12 分）已知 AOB60，半径为 3cm 的 P 沿边 OA 从右向左平行移动，与边 OA 相切的切点记为点 C（1） P 移动到与边 OB 相切时（如图） ，切点为 D，求劣弧 的长；CD （2） P 移动到与边 OB 相交于点 E， F，若 EF4 cm，求 OC 的长；228 （本题满分 12 分）某课题研究小组就图形面积
16、问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论 （ S 表示面积）问题 1：如图 1，现有一块三角形纸板 ABC， P1， P2三等分边 AB， R1， R2三等分边AC经探究知 21RS四 边 形 S ABC，13 请证明问题 2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题 1 中的拼合成四边形 ABCD，如图2， Q1， Q2三等分边 DC请探究 21PQS四 边 形 与 S 四边形 ABCD之间的数量关系A BC图
17、 1P1 P2R2R1A BC图 2P1 P2R2R1D Q1 Q2数学- 7 - / 16AD CBP1 P2 P3 P4Q1 Q2 Q3 Q4图 3问题 3：如图 3， P1， P2， P3， P4五等分边 AB， Q1， Q2， Q3， Q4五等分边 DC若S 四边形 ABCD1，求 QS四 边 形 问题 4：如图 4， P1， P2， P3四等分边 AB， Q1， Q2， Q3四等分边 DC， P1Q1， P2Q2， P3Q3将四边形 ABCD 分成四个部分，面积分别为 S1， S2， S3， S4请直接写出含有S1， S2， S3， S4的一个等式常州市27、 （2011常州）在平面
18、直角坐标系XOY 中，一次函数 的图=34+3象是直线 l1，l 1与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点直线 l2过点 C（a，0）且与直线 l1垂直，其中 a0点 P、Q 同时从 A 点出发，其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位；点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位（1）写出 A 点的坐标和 AB 的长；（2）当点 P、Q 运动了多少秒时，以点 Q 为圆心，PQ 为半径的Q 与直线 l2、y 轴都相切，求此时 a 的值28、 （2011常州）在平面直角坐标系 XOY 中，直线 l1过点 A（1，0）且与 y 轴平行，直线 l2过点 B（0，2）且与 x
19、轴平行，直线 l1与直线 l2相交于点 P点 E 为直线 l2上一点，反比例函数 （k0）的图象过点 E 与直线 l1相交于点 F=ADP1 P2 P3 BQ1 Q2 Q3 C图 4S1 S2 S3 S4数学- 8 - / 16（1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值；（2）连接 OE、OF、EF若k2，且OEF 的面积为PEF 的面积的 2 倍，求 E 点的坐标；（3）是否存在点 E 及 y 轴上的点M，使得以点 M、E、F 为顶点的三角形与PEF 全等？若存在，求 E 点坐标；若不存在，请说明理由山西省太原市25(本题 9 分)如图(1)，RtABC 中，ACB=-90，CDAB，垂足
20、为DAF 平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F（1）求证：CE=CF（2）将图（1）中的ADE 沿 AB 向右平移到ADE的位置，使点 E落在 BC 边上，其它条 件不变，如图（2）所示试猜想：BE与 CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论26(本题 14 分)如图，在平面直角坐标系中四边形OABC 是平行四边形直线 经过 O、C 两点点 A 的坐标为l(8，o)，点 B 的坐标为(114)，动点 P 在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每数学- 9 - / 16秒 2 个单位的速度沿 ABC 的方向向点 C 运动，
21、过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O一 CB 相交于点 M。当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q 运动的时间为 t 秒( )MPQ 的面积为 S0（1）点 C 的坐标为_，直线 的解析式为_(每空 l 分，共 2l分)(3,4)； 43yx（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围。2011 年黑龙江省黑河市23、 （2011黑河）已知：二次函数 y= x2+bx+c，其图象对称轴为直线 x=1，且经过点34（2， ） （1）求此二次函数的解析式94（2）设该图象与 x 轴交于 B、C 两点（B 点在 C
22、 点的左侧） ，请在此二次函数 x 轴下方的图象上确定一点 E，使EBC 的面积最大，并求出最大面积26、 （2011黑河）在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取 FD的中点 G，连接 EG、CG，如图（1） ，易证 EG=CG 且 EGCG（1）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 90，如图（2） ，则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系数学- 10 - / 16和位置关系？请直接写出你的猜想（2）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 180，如图（3） ，则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明28、 （2011
23、黑河）已知直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，ABC=60，3 3BC 与 x 轴交于点 C（1）试确定直线 BC 的解析式（2）若动点 P 从 A 点出发沿 AC 向点 C 运动（不与 A、C 重合） ，同时动点 Q 从 C 点出发沿 CBA 向点 A 运动（不与 C、A 重合） ，动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度，动点 Q的运动速度是每秒 2 个单位长度设APQ 的面积为 S，P 点的运动时间为 t 秒，求 S与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）在（2）的条件下，当APQ 的面积最大时，y 轴上有一点 M，平面内是否存在一点N，使以 A、Q
24、、M、N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由011 年广东省湛江27、 （2011湛江）如图，在 RtABC 中，C=90，点 D 是 AC 的中点，且A+CDB=90，过点 A，D 作O，使圆心 O 在 AB 上，O 与 AB 交于点 E（1）求证：直线 BD 与O 相切；（2）若 AD：AE=4：5，BC=6，求O 的直径数学- 11 - / 1628、 （2011湛江）如图，抛物线 y=x2+bx+c 的顶点为 D（1，4） ，与 y 轴交于点C（0，3） ，与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） （1）求抛物线的解析式；（2）
25、连接 AC，CD，AD，试证明ACD 为直角三角形；（3）若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，使以A，B，E，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由24、 （2011广州）已知关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点 C（0，1） ，且与 x 轴交于不同的两点 A、B，点 A 的坐标是（1，0）（1）求 c 的值；（2）求 a 的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线 y=1 交于 C、D 两点，设 A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相交于点 P，记PCD 的面积为 S1，PAB 的面积为
26、S2，当 0a1 时，求证：S1S 2为常数，并求出该常数25、 （2011广州）如图 1，O 中 AB 是直径，C 是O 上一点，ABC=45，等腰直角三角形 DCE 中DCE 是直角，点 D 在线段 AC 上（1）证明：B、C、E 三点共线；（2）若 M 是线段 BE 的中点，N 是线段 AD 的中点，证明：MN= OM；2（3）将DCE 绕点 C 逆时针旋转 （090）后，记为D 1CE1（图 2） ，若 M1是线段 BE1的中点，N 1是线段 AD1的中点，M 1N1= OM1是否成立？若是，请证明；若不2是，说明理由数学- 12 - / 16CFOEA BD2011 年长沙市26如图
27、，在平面直角坐标系中，已知点 A（0,2） ，点 P 是 x 轴上一动点，以线段 AP 为一边，在其一侧作等边三角线 APQ。当点 P 运动到原点O 处时，记 Q 得位置为 B。（1）求点 B 的坐标；（2）求证：当点 P 在 x 轴上运动（P 不与 Q 重合）时，ABQ 为定值；（3）是否存在点P，使得以 A、O、Q、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由。吉林省25.如图，在O 中，AB 为直径，AC 为弦，过点 C 作 CDAB 与点 D，将 ACD 沿点 D 落在点 E 处，AE 交O 于点 F ,连接 OC、FC.(1）求证：CE 是O 的切线。
28、 （2）若 FCAB，求证：四边形 AOCF 是菱形。数学- 13 - / 16l2l1第 27题ACOB xy六、解答题（每小题 10 分，共 20 分）27.如图，抛物线 1 :y=-x2平移得到抛物线 ，且经过点 O(0.0)和点l 2lA(4.0)，的顶点为点 B，它的对称轴与 相交于点 C,设 、 与 BC 围成的阴影2l 2l1l2部分面积为 S,解答下列问题：（1） 求 表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。2l（2）求点 C 的坐标，（2） 并直接写出 S 的值。（3） 在直线 AC 上是否存在点 P，使得 SPOA S？若存在，12求点 P 的坐标；（4） 若不存在，请说
29、明理由。28.如图，梯形 ABCD 中，ADBC,BAD=90，CEAD 于点E,AD=8cm，BC=4cm,AB=5cm。从初始时刻开始，动点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发，运动速度均为 1 cm /s, 动点 P 沿 A-B-C-E 的方向运动，到点 E 停止；动点 Q 沿 B-C-E-D 的方向运动，到点 D 停止，设运动时间为 s， PA Q 的面积为 y cm2， （这里规定：x线段是面积为 0 的三角形)解答下列问题：(1) 当 x=2s 时，y=_ cm 2;当 = s 时，y=_ cm 29(2）当 5 x 14 时，求 y 与 之间的函数关系式。x(3）当动点 P 在线
30、段 BC 上运动时，求出 S 梯形 ABCD时 的值。154x（4）直接写出在整个运动过程中，使 PQ 与四边形 ABCE 的对角线平行的所有 x 的值数学- 14 - / 16DBA ECQP DBA EC六盘水市23 （2011 贵州六盘水，23，14 分）如图 8，已知： ABC 是 O 的内接三角形，D 是 OA 延长线上的一点，连接 DC，且 B D30 0。（1）判断直线 CD 与 O 的位置关系，并说明理由。（2）若 AC=6，求图中弓形（即阴影部分）的面积。25 （2011 贵州六盘水，25，16 分）如图 10 所示， RtABC 是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点 C 与
31、原点 O 重合，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 在y 轴的正半轴上，已知 OA=3， OB4。将纸片的直角部分翻折，使点 C 落在 AB 边上，记为 D 点 ， AE 为折痕， E 在 y 轴上。（1）在图 10 所示的直角坐标系中，求 E 点的坐标及 AE 的长。（2）线段 AD 上有一动点 P（不与 A、 D 重合）自 A 点沿 AD 方向以每秒 1 个单位长度向 D 点作匀速运动，设运动时间为 t 秒（0 t3） ，过 P 点作 PM DE 交 AE 于 M 点，过点 M 作 MN AD 交 DE 于 N 点，求四边形PMND 的面积 S 与时间 t 之间的函数关系式，当 t 取何
32、值时， S 有最大值？最大值是多少？（3）当 t（0 t3）为何值时， A、 D、 M 三点构成等腰三角形？并求出点 M 的坐标。湘西土家族苗族自治州25.(本题 20 分) (湖南湘西,25,20 分)如图.抛物线23yx与 x 轴相交于点 A 和点 B,与 y 轴交于数学- 15 - / 16点 C.(1)求点 A、点 B 和点 C 的坐标.(2)求直线 AC 的解析式.(3)设点 M 是第二象限内抛物线上的一点,且 MABS=6,求点 M 的坐标.(4)若点 P 在线段 BA 上以每秒 1 个单位长度的速度从 A 运动(不与 B,A 重合),同时,点 Q在射线 AC 上以每秒 2 个单位
33、长度的速度从 A 向 C 运动.设运动的时间为 t 秒,请求出APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式,并求出当 t 为何值时, APQ 的面积最大,最大面积是多少?2011 年柳州市25 （11柳州） （本题满分 10 分）如图，已知 AB 是 O 的直径，锐角 DAB 的平分线 AC 交 O 于点 C，作 CD AD，垂足为 D，直线 CD 与 AB 的延长线交于点 E（1）求证：直线 CD 为 O 的切线；（2）当 AB2 BE，且 CE 时，3求 AD 的长26 （11柳州） （本题满分 6 分） 如图，一次函数 y4 x4 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 C 两点，抛物线 y x2 bx c 的图象经过 A、 C 两点，且与 x 轴交于43点 B （1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为 D，求四边形 ABDC 的面积；（3）作直线 MN 平行于 x 轴，分别交线段 AC、 BC 于点 M、 N问在 x 轴上是否存在点 P，使得 PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由数学- 16 - / 16
