1、第八节 反比例函数与幂函数,第二章 函数、导数及其应用,考 纲 要 求,1了解幂函数的概念 2结合函数yx，yx2，yx3，y ，yx 的图象，了解它们的变化情况,课 前 自 修,知识梳理,一、反比例函数 1反比例函数的定义：形如y (kR，k是常数，k0)的函数叫做_函数，其定义域为x|xR且x0 2反比例函数的图象和性质 (1)图象：双曲线，它们的渐近线是两条坐标轴，对称中心是_ (2)性质：当k0时，函数在区间 和 上是减函数；当k0时，函数在区间_和_上是增函数,反比例,原点(0,0),二、 幂函数 1幂函数的定义：形如yx(R，是常数，x是自变量)的函数叫做幂函数其特征是以幂的底为自
2、变量，指数为常数，其定义域随着常数取值的不同而不同 2幂函数的图象都过定点_ 3幂函数yx(为常数)在第一象限内的单调性：当0时，在第一象限内为增函数；当0时，在第一象限内为减函数，且以两条坐标轴为渐近线 4幂函数的图象一定会出现在_象限，一定不会出现在第_象限幂函数的图象最多只能同时出现在_个象限,(1,1),第一,四,两,5作幂函数的图象时，要联系函数的定义域、单调性、奇偶性等，先作出幂函数在第一象限的图象，然后根据函数的性质就可作出它在定义域内完整的图象 6幂函数图象的分布规律：在直线x1的右侧，随着幂指数的由小到大，函数图象_分布 7在幂函数yx，yx2，yx3，yx ，yx1中，是奇
3、函数的有_，是偶函数的有_，定义域是R的有_，定义域是0，)的有_，在第一象限内是增函数的有_ _，在第一象限内是减函数的有_,自下向上,yx，yx3，yx1,yx2,yx，yx2，yx3,yx,yx，yx2，yx3，,yx1,yx,基础自测,1函数y 的图象可看成是由幂函数yx 的图象 ( )A向左平移1个单位长度得到B向右平移1个单位长度得到C向上平移1个单位长度得到D向下平移1个单位长度得到,解析：yx .故选B. 答案：B,2已知幂函数f(x)x部分对应值见下表：则不等式f(|x|)2的解集是 ( ),3(2012广州市一模)已知幂函数y(m25m7) 在区间(0，)上单调递增，则实数
4、m的值为_,4幂函数f(x)的图象经过点 ，则f 的值为_.,考 点 探 究,考点一,幂函数的定义,【例1】 (2011茂名市检测)给出下列函数：y ；y3x2；yx4x2；y ，其中是幂函数的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个,变式探究,1. (2012湛江二中月考)幂函数f(x)x的图象经过点 ，则f 的值为 ( )A4 B3 C2 D1,考点二,与幂函数相关的基本初等函数概念的应用,【例2】 已知f(x)(m2m) ，当m取什么值时，(1)f(x)是正比例函数？(2)f(x)是反比例函数？(3)在第一象限内它的图象是上升的曲线？ 自主解答：点评：熟悉一些常见的函数的一般形式，并注意
5、系数不为0.杜绝解题中的遗漏,变式探究,2函数f(x)(m2m1) 是幂函数，且当x(0， )时是减函数，则实数m_.,解析：函数f(x)是幂函数，m2m11，得m1或m2.当m1时，函数f(x)1，不符合要求；当m2时，函数f(x)x3，它在(0，)上是减函数故m2.,考点三,幂函数、指数函数的单调性的运用,点评：比较幂函数形式的两个数的大小，一般的思路是：(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性；(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数(比如1)作为桥梁来比较大小,变式探究,3(1)(2012汕头市质量测评)下列各式中错误
6、的是 ( )A0.830.73 Blog0.50.4log0.50.6C0.750.1lg 1.4(2)若a a ，则a的取值范围是 ( )Aa1 Ba0C1a0 D1a0,解析：(1)对于A，由幂函数yx3为增函数知，A正确；对于B，D，由对数函数ylog0.5x为减函数，ylg x为增函数知，B，D都正确；对于C，由指数函数y0.75x为减函数，知C错误 答案：(1)C (2)C,考点四,反比例函数的图象和性质,【例4】 (1)如果y 是(，0)上的增函数，那么m的取值范围是( ) Am (2)反比例函数ymxm2的图象在( ) A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、四象限 D第三、四象
7、限,解析：(1)依题意12m .故选D. (2)m21，yx1，其图象在第二、四象限故选C. 答案：(1)D (2)C,变式探究,4(1)一次函数ykx和反比例函数y 在同一坐标系中的图象可能是 ( )(2)已知函数f(x) ，其图象关于点(3,2)对称，则f(2)的值是_,解析：(1)选项A中，一次函数和反比例函数中的k都为正数，选项B，C中的两个k符号相反，选项D中的一次函数不是ykx.故选A. 答案：(1)A (2),考点五,幂函数与其他知识的综合,点评：本题在两个函数f(x)和g(x)的基础上定义了一个新函数h(x)，函数h(x)的实质是取f(x)和g(x)中的较小者，这类问题借助函数
8、图象来解决，直观形象，其最值和单调区间容易求出，所以要重视数形结合思想的运用,变式探究,5(2011安徽泗县质检)已知函数f(x)x(01，则f(x)1；若0x2x1；若f(x1)f(x2)，则x1x2；若0x1x2，则x2f(x1)x1f(x2)；若0x1x2，则 .其中正确的命题序号是_,解析：由幂函数的定义和性质知，当f(x)x(00，所以命题错误；对命题，根据单调递增函数的定义，函数值大，对应的自变量也大，因此命题正确；对命题，函数 x1，10，函数单调递减，故命题错误；对命题，函数是凸函数，因此中点的函数值，比两端点的函数和的一半要大，故命题正确 答案：,课时升华,1写反比例函数的单
9、调区间时，不能把多个单调区间取并集如当k0时，函数的单调递减区间是(，0)和(0，) ；当k0且a1)的区别：幂函数是以幂的底为自变量，指数为常数，而指数函数的底数是常数，自变量则处在幂指数位置,3现阶段只研究幂函数yx(R，是常数)中的是有理数的情形，且考纲明确要求掌握如下几种特殊的幂函数yx：1,2,3，1，2， ， 的图象及特征 幂函数f(x)x具有的性质：f(xy)f(x)f(y)，f ，f(1). 4形如y(xm)n的函数图象可由yxn的图象向左(m0)或右(m0)平移|m|个单位长度得到如y 可由函数y 的图象向左平移2个单位长度得到,5在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根
10、式形式，负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论 6对于幂函数yx，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限其次确定曲线的类型，即0,01和1三种情况下曲线的基本形状还要注意0，1三种曲线的形状对于幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即0(1)时，图象是抛物线型，0时，图象是双曲线型，1时，图象是竖直抛物线型，01时，图象是横卧抛物线型 7幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也存在非奇非偶函数,8利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，具体方法如下： (1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较 (2)
11、当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较 (3)当幂的底数和指数都不同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小，可以利用幂函数的单调性比较；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值(如1)，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小 (4)比较多个幂值的大小，一般也是运用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数用相关的方法进行比较，最后确定各数之间的大小关系.,感 悟 高 考,品味高考,1(2011陕西卷) 函数yx 的图象是 ( ),2在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)
12、 的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_,高考预测,1. (2012河南四校联考)已知函数f(x)x ，x(0，) (m0)，若不等式f(x)4的解集非空，则 ( )Am4 Bm2 Cm4 Dm2,解析：因为f(x)x ，x(0，)(m0)，所以f(x)x 2 ，即函数f(x)min2 ，若不等式f(x)4有解，则有2 4，解得m4.故选C. 答案：C,2. (2012青岛市期末)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(nN*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数有下列函数：f(x)x (x0)；g(x)x3；h(x) x；(x)ln x其中是一阶整点函数的是 ( )A BC D,解析：g(x)x3通过点(1,1)，(2,8)等，故不是一阶整点函数；h(x) x通过点(1,3)，(2,9)等，故不是一阶整点函数故选D. 答案：D,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
