1、应用数理学院应用数学学科部,(Advanced Mathematics),高等数学习题课,2,第七章 无穷级数,习题课(一),级数概念 基本性质,正项级数 交错级数,绝对收敛 条件收敛,3,一、复习,4,1、数项级数及收敛性,设数项级数,若部分和,收敛,则称级数收敛,并记,2、收敛级数的基本性质,性质1,即极限,返回,5,性质2,性质3,不会改变级数的敛散性.,在级数中去掉、增加或改变有限项,性质4,且和不变.,收敛级数任意加括号后所形成的新,注,级数仍收敛,可以任意加括号,但不能改变项的顺序.,返回,6,性质5,收敛,即,(级数收敛的必要条件),则它的一般项趋于零,两个相关命题:,返回,7,
2、四个相关命题:,(1)收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛.,(3)收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,(2)加括弧后发散的级数,去括弧后仍发散.,(4)发散的级数加括弧后不一定发散.,收敛,发散,返回,8,3、正项级数及其审敛法,(1) 正项级数收敛的充要条件,(2) 比较审敛法,返回,9,重要参考级数:,调和级数:,几何级数：,返回,10,(3)比较审敛法的极限形式,则,两级数具有相同的敛散性.,返回,11,(4) 极限审敛法,返回,12,(5) 比值审敛法,(6) 根值审敛法,返回,13,4、交错级数及其审敛法,莱布尼茨定理,返回,14,返回,15,5、绝对收敛与条件收敛,定理,定义,返
3、回,16,6、 判断具体级数敛散性的一般步骤,c.性质、定义,正项级数判敛法,b.是否绝对收敛,交错 级数,适用于交错级数,a.莱布尼兹判别法,b.性质、定义,正项级数判敛法,a.是否绝对收敛,任意项 级数,说明,步骤,级数类型,返回,17,e.性质、定义,d.比较审敛法,b.极限审敛法,c.比较审敛法的 极限形式,使用起来最简单,a.比值或根植法,正项 级数,原因,步骤,级数类型,返回,18,二、典型例题,例1,解,19,根据级数收敛的必要条件，,原级数发散,20,例,解,即原级数非绝对收敛,21,由莱布尼茨定理：,22,由莱布尼茨定理，此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,23,二、练习题
4、,B,24,B,B,25,（A） 0.5 （B） 1 （C） 1.5 （D） 2,A,C,26,C,D,27,C,（A）收敛 （B）发散 （C）敛散不定,C,28,D,C,29,发散,D,30,D,31,（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）收敛但不能判定条件收敛还是绝对收敛 （D）不能判定收敛还是发散,C,32,（二）计算及证明题,1、判别下列级数的收敛性:,解答,解答,解答,解答,33,解答,解答,解答,34,解答,解答,35,5.设 是单调增加的正数列,且有界,证明,解答,6. 若级数,均收敛 ,且,证明级数,收敛 .,解答,36,1、解答,于是，级数的部分和,又,返回,37,（2）因,由比较判别法的极限形式知：,返回,38,（3）因,由比值判别法知，,（4）因,于是,返回,39,所以，级数,具有相同的敛散性.,与,返回,40,返回,(5),41,返回,42,2、解答,由正项级数的比较判别法：,证,返回,43,同敛散,3、解答,返回,44,4、解答,即所求级数是一个公比为,的等比级数，,得,，故级数为,该级数绝对收敛.,又由,返回,45,在 单调增且为正的条件下,级数的通项有关系:,所以 收敛,再由“比较判别法” ,由已知条件可知 ,存在,5、解答,又记,返回,46,则由题设,收敛,收敛,收敛.,6、解答,返回,
