1、第5章 代数结构,5.1 代数结构简介,本讲内容,Chapter 5 代数结构,代数方法建立的数学模型. 代数结构(algebra structure) 代数系统(algebra system) 代数(algebra) 抽象代数(abstract algebra) 近世代数(modern algebra).,计算机科学很大部分研究的是“代数” 数据集合上进行操作. Chapter 1: 集合代数 Chapter 2: 关系代数(数据库) Chapter 3 + 4: 逻辑代数代数结构的研究采用的是形式化方法, 在符号系统中进行抽象讨论.,布尔代数,5.1 代数结构简介,1. 代数结构的定义 D
2、ef (A, f1, f2, fk): (i) A是任意非空集合 (ii) f1, f2, fk (k 1)是A上的代数运算.,(A, f1, f2, fk) = A Abstract? 对于代数结构的理解, 需注意以下几点： (1) A非空. (2) 代数运算. (3) (k + 1)-元组(A, f1, f2, fk). (4) 运算的元数可以相同.,例5-1 (1) (R, +): Group. (2) (R, +, ): Ring. (3) Boolean Algebra. ?有限代数与无限代数,2. 两种最简单的代数结构: 半群及独异点 Def 设*是非空集合S上的2元代数运算, 若
3、*满足结合律, 即对于任意x, y, z S,有(x*y)*z = x*(y*z), 则(S, *)称是半群(semigroup).例5-2 实数集合R关于其上的乘法运算“”作成一个半群(R, ).,例5-3 字母表是若干个字母组成的集合,由中有限个字母组成的序列称为上的串,不含任何字母的串称为空串,记为. 令*是上所有的串组成的集合, 其上的运算为 *上的连接运算: (i) ( *, )是半群. (ii) (+, )是半群, + = *- .,半群中元素a的正整数方幂:R, : R, +:,代数结构是将运算满足的条件作为公理进行定义的. 接下去的任务是从这些公理出发推导出一些有用的结论, 它
4、对于所有满足给定公理的代数系统都成立. 先看一个关于有限半群结论的推导方法，更多的特殊代数结构的结论的推导见后. 例5-4 设(S, *)是有限半群, 则(S, *)中存在幂等元素.,Proof 取aS(S). 根据封闭性知, 对于任意正整数n, 有anS. 因为S是有限集合，所以存在正整数i和j(i j)使得ai = aj. 令p = i j 1,显然有ai = ap * aj. 由于ai = aj, 因而aj = ap * aj ，进而aq = ap * aq (qj). 因为p1, 必存在正整数k满足kpj. 由上面的结论有akp = ap * akp. 应用该结论k次，有akp = a
5、kp * akp. 令b = akp , 则b = b * b,即b就是有限半群 (S, *)的幂等元.,Def 5-4 设*是非空集合M上的2元代数运算,若*满足结合律且M关于*有幺元e, 即对于任意xM, 有e*x = x*e = x, 则称(M, *, e)为独异点(monoid). (i) 封闭性 (ii) 结合性 (iii)幺元性: 幺元e是一个独特、奇异元素.,含幺半群就是独异点.(R, )是独异点.(*, , )是独异点, 而(+, )不是.,M,小结与作业,第5章 代数结构,5.1 代数结构简介,本讲内容,3.子代数 讨论代数结构,一种常用的方法是根据其子代数所具有的性质去推测
6、原代数的性质. Def 5-5 设(A, f1, f2, fk)是代数结构, S A, 若(S, f1, f2, fk)是代数结构, 则称其为(A, f1, f2, fk)的子代数(subalgebra), 或简称S是A的子代数. (Z, +, .)是(R, +, .)的子代数.,4. 代数结构的同态与同构 借助于同态映射也是研究代数结构的方法之一: 映射的作用体现.Def 5-6 设(A, f1, f2, fk)和(B, g1, g2, gk)是代数结构, 若fi与gi有相同的运算元数, i = 1, 2, , k, 则称这两个代数结构是同类型的.,Def 5-7 设(A, f1, f2,
7、fk)和(B, g1, g2, gk)是同类型的代数结构, 若存在: AB且保持所有运算, 即对于ni元运算fi和gi, 有即先(在A中)运算再映射等于先映射再(在B中)运算, 则称为(A, f1, f2, fk)到(B, g1, g2, gk)的同态映射, 称(A, f1, f2, fk)和(B, g1, g2, gk)同态(homomorphism).,例5-7 对于代数结构(Z, +, .)和 ,令是(Z, +, .)到 的同态映射.cf. 习题1.3.,Proof 对于任意x, y Z, 因为所以, 是(Z, +, .)到 的同态映射.,例5-8 证明: (*, , )与(N, +,
8、0)同态. Proof保持2元运算?保持0元运算?,Theorem 5-1,定理5-1说明, 代数结构的大部分性质都可以在其同态像中得到保持, 于是同态像是在同态映射下的缩影, 因此可以通过对往往较简单的同态像的性质的讨论去探测其原像的性质(用于模型简化). 下面的例子可以进一步帮助理解同态像是如何对原代数结构进行缩影的.,例5-9 验证: 代数结构(Z, .)与(B, *)同态,其中“.”Z上的乘法运算, B = 正, 负, 零, B上的运算定义见下表:,Hint(B, *)将整数集合上乘法运算的特征完全表示出来了.但请注意, 两个同态的代数结构之间可能存在多个同态映射,请自己举例加以说明.
9、,Definition (单同态映射, 满同态映射, 同构映射),两个同构的代数结构在本质上是完全相同的, 所不同的仅仅是集合中的元素符号可能不同, 其上的运算符号也可能不同.“”是代数结构之间的等价关系, 主要用于模型划分.,例5-10 A = a, b, B = 偶, 奇,自同态(构)映射:,内容之间的联系,集合 映射(同态映射和同构映射) 运算 关系(两个代数同态与同构),小结与作业,第5章 代数结构,5.2 群的定义及性质,本讲内容,5.2 群的定义及性质,一元四次及以下的方程有求根公式. 在1824年由挪威数学家 Niels Henrik Abel (18021829) 借助于群和域
10、的思想证明了一元五次及以上的方程不可能根式求解. 后来由正在念大学年仅20岁的法国数学家Evarisfe Galois(18111832)用(roots)置换群和域证明了: 可用根式求解的方程满足的条件, 完全解决了长达200多年的难题.,Galois: 家庭富裕. 公开批评学校不支持革命而被开除. 两次因为政治罪被捕入狱. 1829年文章被Cauchy遗失. 1830年送给Fourier, Fourier不久就死了. 1831年被Poisson难以理解而退回. 1832年5月31日决斗而死,死的前夜将结果给了他的朋友.,E. Galois超越时代的天才思想在他去世约40年后才被人理解和接受,
11、 正是由于他的奇特思想和巧妙方法才有今天的近世代数. 由于群是代数结构中研究最早的部分,其内容已经相当完善,同时群在组合计数、快速加法器设计、纠错码研制等方面有广泛而深入的应用. 本章对群这种代数结构进行较为详细的讨论,通过对它的讨论,可以洞察一般代数结构的讨论模式.,本讲内容,1. 群的有关概念 非空集合G, G上的运算“” 满足的运算性质“游戏规则”: 程序设计语言和自动机? Def 5-10 设G , 是G上的2元代数运算,若下列3个条件成立,则称(G, )为群(group). (1) 满足结合律; (2) G关于有单位元, 通常记为e; (3) G中每一个元素在G中都有逆元.,封闭性,
12、 结合性, 幺元性, 逆元性.,运算符号可以根据需要选取,当然可以按上节用“*”号表示. 选择“”, 是因为群中的运算可以读作“乘”(product, multiplication). 在群的记号(G, )中, 不强调单位元素e, 有关e的结论可从元素的逆元中得到.在仅讨论群时, 可以省略运算符号, 但我们不打算这样做. 在不强调群的运算符号时, 可以将(G, )记为G.,容易验证, 整数集合Z关于数的加法运算+构成(Z, +)群: 因为Z关于+是封闭的且满足 (1) +运算满足结合律; (2) Z关于+有单位元0: x + 0 = 0 + x = x; (3) Z中每一个元素x Z, 都有逆
13、元- x Z: x + (-x) = (-x) + x = 0. 所以, (Z, +)是群.,(R, +): 群 (R, )?例5-11 验证: 非0实数集合R- 0关于数的乘法运算构成群. Hint 封闭性?,例5-12 设G = e, a, b, c, 其运算表如下的群称为Klein四元群,记为K :?,n阶有限群与无限群? 有限群的例子: 例5-13 设A = R 0,1, 在A上定义6个映射:,Key 运算表?,补例(cf. 习题5.2第5题) 令S = 1, 2, 3, S上的所有置换关于映射的复合运算“”构成群.,Abel群(Abel group): 定义5-12 设(G, )是群
14、，若其运算是可交换的，则称为交换群(commutative group)或阿贝尔群(Abel group).非阿贝尔群? 例5-19 设G是所有实n (n2)阶方阵构成的集合, 则G关于矩阵的乘法运算“.”构成群.,循环群(cyclic group): (1) 群中元素的整数方幂an(n Z)Remark 方幂运算是对群中的运算来说的. 如在群(Z, +)中, 有:,(2) 循环群 设(G, )是群, a G, 若G中任意元素均为元素a的某整数方幂, 即则称(G, )为循环群(cyclic group) . (Zm, +m)是m阶循环群, (Z, +)是无限循环群.,讨论群的性质时, 关键是利
15、用“群中任意元素均存在逆元”. Theorem 设 (G, )是群, 则 满足消去律. Hint,小结与作业,第5章 代数结构,5.2 群的定义及性质,本讲内容,复习:群的定义. 设G , 是G上的2元代数运算,若下列3个条件成立,则称(G, )为群(group). (1) 满足结合律; (2) G关于有单位元, 通常记为e; (3) G中每一个元素在G中都有逆元.,封闭性, 结合性, 幺元性, 逆元性.,2. 子群 Def 设(G, )是群, H G, 若H关于群G的运算构成群(H, ),则称(H, )是(G, )的子群(subgroup),记为(H, )(G, ), 简记为HG.(Z, +
16、)(R, +). 对于任意群(G, ), 设e为其单位元, 则e和G都是G的子群, 称为G的平凡子群.,子群的判定定理： Theorem 设(G, )是群, H G, 则HG当且仅当下列条件成立: (1) x, y H, 有x y H, 且 (2) xH, 则x在G中的逆元x-1 H. Proof 必要性显然. 为证明充分性, 根据子群定义, 只需证明G中的单位元eH即可.,例5-14 设(G, )是群, 令Z(G)表示所有与G中元素可交换的元素组成的集合,即Z(G) = x|xG, a G: xa = ax,则Z(G)G, Z(G)称为G的中心. Proof Z(G)非空? (1)x, y
17、Z(G), 有x y Z(G). (2) x Z(G), 则x在G中的逆元x-1 Z(G).,补例 设(G, )是群, HG, 对于任意aG, 定义G上的关系R如下: 则R是G上的等价关系且G中任意元素a所在的等价类为Ha = ha|hG, 称为H关于a的右陪集.,Lagrange定理：若G是有限群，HG，则|H|G|. Key: |Ha| = |H|f双射? 6阶群不存在4阶和5阶子群.,本讲内容,3. 群的同态 借助于映射讨论是研究群的一种重要方法.Def (G1, *)和(G2, )是群:,补例 设是群(G1, *)到群(G2, )的同态映射, ei是群(Gi, )的幺元, i = 1,
18、 2, 定义 Ker = x|x G1, (x) = e2 则e1 Ker G1.,(1)若是单射, 则称为(G1, *)到群(G2, )的单同态映射.(2)若是满射, 则称为(G1, *)到群(G2, )的满同态映射.(3)若是双射, 则称为(G1, *)到群(G2, )的同构映射, 记为(G1, *) (G2, ).,例5-15 设(R+, )是正实数集合关于数的乘法运算构成的群, (R, +)是实数集合关于数的加法运算构成的群, 证明: 群(R+, )与群(R, +)同构. Proof : R+ R, (x) = lnx, 是双射.对数的作用: 乘法转换为加法?,可以证明: 1. 若(G
19、, )是m阶循环群, 则(G, ) (Zm, +m).2. 若(G, )是无限循环群, 则(G, ) (Z, +).,下例是不同构的两个群的例子. 例5-16 证明: 非0实数集合R*关于乘法运算所构成的群(R*, )与实数集合R关于加法运算所构成的群(R, +)不同构. Proof 假设(R*, ) (R, +),则存在同构映射 : (1) = 0. 设(-1) = a, 则 a 0. 由于(1) = (-1) (-1) = (-1) + (-1) = a + a = 2a = 0. 于是a = 0, 矛盾.,小结,第5章 代数结构,5.3 环和域,本讲内容,5.3 环和域,1. 环的定义
20、Def 设(R, +, )是含两个2元运算的代数结构，若 (1) (R, +)是Abel群. (2) (R, )是半群. (3) 对+可分配:则称(R, +, )是环(ring).,环的加法? 环的乘法?下面是几种常见的环的例子. 例5-17 容易验证关于数的加法和乘法运算,下列代数结构是环. (1) (Z, +, )(整数环). (2) (R, +, ).,例5-18 设R是所有n阶元素取值整数(实数, 复数均可?)的矩阵组成的集合, 则R对于矩阵的加法运算+和矩阵的乘法运算构成环, 称为矩阵环.例5-19 验证：Zm = 0, 1, 2, , m-1对于模m加法运算+m和模m乘法运算 m构
21、成环, 称为模m剩余类环.,例5-20 设所有实数集合R上的关于x的多项式组成的集合为Rx, 则Rx对应多项式的加法运算+和多项式的乘法运算构成环,称为R上的多项式环.,2. 几种特殊的环. Def 5-26 设(R, +, )是环, 若 (1) R中的可交换, 则(R, +, )称是交换环. (2) R中的有幺元, 则称(R, +, )是含幺环,其乘法幺元记为1. (3) 对于任意x 0, y 0, 均有x y 0,则称(R, +, )是无零因子环,其中0是环的零元.,(4) (R, +, )是含幺、无零因子、交换环,则称(R, +, )为整环(integral domain).(5) (R
22、, +, )是含幺环且任意x 0关于乘法运算都有逆元, 则称(R, +, )为除环.,关于无零因子环: (a) 环的零元是加法幺元.(b) 对于整数环(Z, +, ), 因为其零元是0, 对于任意x 0, y 0, 均有x y 0, 所以整数环(Z, +, )是无零因子环.,(c) 若x 0, y 0, 而x y = 0, 则称x和y是零(的)因子. 含有零因子的环称为有零因子环. 例如, 对于模6剩余类环(Z6, +6, 6), 其零元为0, 显然, 2 6 3 = 0, 所以2和3是零因子,因此, 环(Z6, +6, 6)是有零因子环.,例5-31 对于m 1,模n剩余类环(Zm, +m,
23、 m)是无零因子环的充要条件是m为素数. Proof ()(反证)(),(Z, +, )是整环但不是除环. 下面介绍一个重要的除环的例子四元数除环.例5-22 R = a + bi + cj +dk|a, b, c, d R,(R, +, )是除环.,用复数表示平面上的向量(用数而不是几何). 空间中的向量: 要同时具有实数和复数的性质, 3个分量可以吗? 15年以后, William R. Hamilton在1843年10月16日步行在Brougham桥上时, 思想的电路接通了, 想到了用i, j, k扮演i的角色. (1) a + bi + cj +dk, a, b, c, d R. (2
24、) 乘法不满足交换律.,作用: 存在一个四元数用来旋转, 伸长或缩短一个给定的空间向量成另一个给定的空间向量, 在计算机图形图像中用.,小结与作业,第5章 代数结构,5.3 环和域,本讲内容,3. 域的定义 Def 5-17 设(F, +, )是环, 若(F 0, )是Abel群, 则称(F, +, )是域(field).对于域(F, +, ), 有 |F| 2.,Field,例5-23 验证: (R, +, )是域, 而整数环(Z, +, )不是域.例5-24 证明: 域是整环, 但整环不一定是域.,Theorem 阶2的有限整环是域. Proof f单射:,4. 有限域 有限域(finit
25、e field)称为Galois域, 有q个元素的Galois域记为GF(q).有限域理论在计算机密码学中有着非常重要的应用, 特别是研究公钥密码学中的大素数测试算法.,例5-25 验证: 环(Z5, +5, 5)是域, 但(Z6, +6, 6)不是域. Hint,Theorem 5-5 环(Zm, +m, m)是域当且仅当是m素数. Proof () (Zm, +m, m)是无零因子环.(),下面将不加证明地给出几个关于有限域的结论, 先给出域的同态与同构的定义. Def 设(F1, +, )和(F2, , )是域, 若: F1 F2且分别保持域的加法运算和乘法运算, 则称为(F1, +,
26、)到(F2, , )的域同态映射.若是双射, 是域同态映射, 则称为(F1, +, )到(F2, , )的域同构映射, 又称域(F1, +, )与(F2, , )同构, 记为(F1, +, ) (F2, , ).,Theorem 5-6下面结论成立: (1) 设(F, +, )是有限域, 则存在素数p和正整数n使得|F| = pn. (2) 对于任意素数p和正整数n, 存在pn个元素的有限域. (3) 元素个数相同的有限域是同构的.,小结,第5章 代数结构,5.4 格与布尔代数,本讲内容,5-4 格与布尔代数,格论(1935)是根据序结构研究的一种代数结构.数字逻辑的理论基础就是布尔代数.,1
27、. 格的定义和性质 偏序集(L, )? Remark 偏序集(L, )中不是任意两个元素均存在上确界及下确界的.b, c, a, d?,Def 设(L, )是偏序集, 若L中任意两个元素都存在上确界以及下确界, 则称(L, )是格(lattice). 为了方便, 这样的格可称为偏序格.,钻石格与五角格?习题5.4 1?,例5-26 证明: (P(X), )是格, 其中P(X)是集合X的幂集. Proof (cf. Chapter 1) A, B P(X), (1)supA, B = A B, (2)infA, B = A B.,例5-27 证明: (Dn, |)是格, 其中Dn是自然数n的正因
28、数组成的集合, | 是其上的整除关系.Proof (cf. Chapter 2),例5-28 令F是所有合式公式(WFF)组成的集合, 是公式间的逻辑蕴涵关系, 则(F, )是格. Proof (cf. Chapter 3) A, B F, (1)supA, B = A B, (2)infA, B = A B.,Def 设(L, )是格, x + y = supx,y,x y = infx,y. 格中的“+”是求上确界运算, 可以看作是格的加法运算, 读作“加”；同样, 格中的“”是求下确界运算, 可以看作是格的乘法运算, 读作“乘”. (与环中的“加”和“乘”及数的“加”和“乘”不同) (与
29、布尔代数的运算一致),由于“上确界上界”以及“下界下确界”, 根据定义易知Theorem 5-7 设(L, )是格, 则对于任意x, y L, 有 (1) x x + y, y x + y. (2) x y x, x y y.,(L, )与(L, )? Def 5-21对于任意关于格(L, )的命题, 将命题前提和结论中的 (1) 改为 ; (2) + 改为 ; (3) 改为+ ; (4) 0改为1 ; (5)1改为0 所得到的命题称为原命题的对偶命题.,Theorem 5-8 对于任意关于格(L, )的真命题, 其对偶命题亦为真.(1) x x + y, y x + y. (2) x y x
30、, x y y.在格的性质中, 有很多都是成对出现的.,Theorem 5-9(保序性) 设(L, )是格, 对于任意xi, yi L, i = 1, 2:Proof (1) x1 + x2 是x1 , x2的上确界; (2) y1 + y2 是x1 , x2的上界:设(L, )是格, x L, x + x = x, x x = x.,格的特征性质. Theorem 5-10 格(L, )满足: (1) 交换性. (2) 结合性. (3) 吸收性. Proof (3) x x, x y x x+ (x y) x; 显然, x x+ (x y), 所以x + (x y) = x. x (x +
31、y) = x? (仿上; 对偶),设(L, +, )是代数结构, +和是L上的两个2元运算, 同时满足: (1)交换性. (2)结合性. (3)吸收性. 则称(L, +, )为格, 称这样定义的格为代数格. 格是具有两个2元运算的代数结构. 可以证明偏序格和代数格本质相同.,在序结构的讨论中，保序映射是一个很重要的概念. Def 5-22 设(L1, 1)和(L2, 2)是格, : L1 L2, 若x 1 y, 有(x) 2(y), 则称为格(L1, 1)到格(L2, 2)的保序映射.保序映射可以进一步推广到一般的关系R上考虑.,小结与作业,第5章 代数结构,5.4 格与布尔代数,本讲内容,D
32、ef 1 设(L, )是偏序集, 若L中任意两个元素都存在上确界以及下确界, 则称(L, )是偏序格.Def 2 设(L, +, )是代数结构, +和是L上的两个2元运算, 同时满足(1)交换性, (2)结合性(3)吸收性, 则称(L, +, )为代数格. 自己能给出子格的定义?,2. 分配格(distributive lattice) 例 5-30 举例说明在格(L, )中, 格的乘法运算“”和格加法运算“+”相互不一定可分配. Solution,钻石格?五角格?,Def 设(L, +, )是格, 若格的乘法运算“”对格的加法运算“+”可分配(或格的加法运算“+”对格的乘法运算“”可分配),
33、 则称(L, +, )是分配格.例5-31 证明: (P(X), )是分配格.其他例子: (R, ), (F, ).,钻石格和五角格是两个非常重要的非分配格的例子, 因为一个格L是分配格 iff L中没有同构于钻石格和五角格的子格. Theorem 5-11 (1) 小于5个元素的格为分配格. (2) 任意链是分配格.,Theorem 5-12 设(L, +, )是格, 则L是分配格的充要条件是对于任意x, y, z L, 由x + y = x + z和x y = x z可以推出y = z. Remark (1) 由x + y = x + z可以推出y = z? (2) 由x y = x z可
34、以推出y = z? (3) 由 x + y = x + z 和 x y = x z 可以推出y = z?,Proof () y = y + (xy) = y + (xz)= (y +x)(y + z) = (x+z)(y + z)= (xy) + z = (xz) + z = z. () ? 一个格L是分配格 iff L中没有同构于钻石格和五角格的子格.,3. 有补格 实数集R关于数的小于等于关系 所作成的格(R, )不存在最大元与最小元.Def 设(L, )是格, 若L存在最大元素1以及最小元素0, 则称(L, )为有界格(bounded lattice).,例5-32 证明: 对任意集X,
35、 (P(X), )是有界格. Hint 最大元素: X; 最小元素: .(F, ): 0, 1? 显然, 任意有限格是有界格(?).,Def 5-25 设(L, +, )是有界格, a L, 若存在b L, 使得a + b = 1且a b = 0, 则称b为a的补元(complement).在有界格, 有些元素没有补元:,Def 5-26 设(L, +, )是有界格, 若L中每个元素都有补元, 则称(L, +, )为有补格(lattice complemented).,下图是有补格(不是分配格).不能定义1元运算 ?,例5-34 证明: 对任意集合X, (P(X), )是有补格. Hint A
36、 P(X), X - A P(X): A (X - A) = X, A (X - A) = .(F, )?,Theorem 5-13 在分配格中, 若一个元素存在补元, 则补元是唯一的.在有补分配格中可以定义一个元素的补运算“ ”，它是其上的1元代数运算.,下述定理是有补分配格的重要性质. Theorem 5-14 设(L, +, )是有补分配格, 则De Morgan律成立, 即对于任意x, y L, 有 (1) (2) Proof (1)(2)?,4.布尔代数 Def 元素个数 2 的有补分配格(B, )称为布尔代数(Boolean algebra)或布尔格.,偏序集与各种格之间的相互关系
37、?仅1个元素的有补分配格是布尔代数的退化情形，一般不作为布尔代数考虑，可参见布尔代数的公理化定义.在任何布尔代数或布尔格中有两个特殊元素，一个是其最小元0，一个是其最大元1. 当然0 1.,在任意布尔代数(B, )中可以定义3种代数运算: 对于任意x, y B, (a)布尔加“+”: x + y = supx, y. (b)布尔乘“”: x y = infx, y. (c)布尔补“ ”: x的补元. 例5-35 设|X| 1, 证明: (P(X), )是布尔代数, 称为集合代数:, X) .,例5-36 证明: (F, )是布尔代数, 其中F是所有合式公式组成的集合, 是公式间的逻辑蕴涵关系,
38、称为逻辑代数, F中的元素是逻辑表达式: 特别地,令G是所有命题公式组成的集合,则称(G, )为命题代数. 令H是仅含命题变元p1, p2, pn的所有命题公式组成的集合,则(H, )是布尔代数,这时 由于集合代数、关系代数和逻辑代数都是布尔代数,因此它们有完全相似的性质.,布尔代数的性质： Theorem 5-15 设(B, )是布尔代数, I. (B, )是格; II. (B, )是分配格;III. (B, )是有补格;IV. (B, )是有补分配格.,以下是布尔代数的特征性质,参见下面的布尔代数的公理化定义. 交换律. 分配律. 幺元律： 有补律：,布尔代数的公理化定义 Def (E.
39、V. Hungtington) 设B是集合, |B| 2, “+”和“”是B上的两个2元代数运算, “ ”是B上的1元代数运算, 且满足 (1)交换律. (2)分配律. (3)幺元律: (4)有补律: 则称 是布尔代数.,Remark (1) 按这种定义需强调两个0元运算. (2) 布尔代数的两种定义是等价的.两个布尔代数同构? 有限布尔代数与无限布尔代数?对于集合代数(P(X), ), 当|X| = n1有限时P(X)有限, (P(X), )是有限布尔代数. 下面给出有限布尔代数的结构定理.,Theorem (M. H. Stone)设 是有限布尔代数, 则存在有限集合X使得 与集合代数 ,
40、 X)同构.,由Stone定理有 Corollary 1 任意有限布尔代数的元素个数为2n,其中n为正整数.Corollary 2 在同构意义下, 2n个元素的有限布尔代数是唯一的, 其中n为正整数.,小结与作业,离散数学,第42讲 第5章复习小结,1、代数结构,集合代数 关系代数 逻辑代数 (计算机本身就是“代数”),一个集合A及A上的封闭运算就构成代数. 对于特定的代数, 一般要求其中的运算具有某种性质. 要求逐渐学会形式化研究方法.,设*是非空集合S上的2元代数运算, 若*满足结合律, 则(S, *)称是半群.含幺半群就是独异点: (M, *, e).,子代数一般比原来的代数要“小”.
41、讨论代数结构，一种常用的方法是根据其子代数所具有的性质去推测原代数的性质.,借助于映射可以讨论两个代数结构之间的关系: 代数结构的同态与同构, 这是讨论代数结构的又一种常用的方法. 一个重要的概念: 保持运算.了解代数结构的定义、子代数和代数结构的同态与同构, 理解半群和独异点的定义.,例1 填空题 1. 设R是实数集合，R关于数的乘法运算“”能构成( ). 2. 设集合M关于二元运算*有幺元e且满足( )和( ), 则(M, *, e)构成独异点.,2、群的定义及性质,设G , 是G上的2元代数运算,若下列3个条件成立,则称(G, )为群. (1) 满足结合律; (2) G关于有单位元, 通
42、常记为e; (3) G中每一个元素在G中都有逆元.,封闭性, 结合性, 幺元性, 逆元性.,(R, +), (R 0, .)是群. 运算可交换的群是交换群或阿贝尔群. 非阿贝尔群的最小阶是6, 例如A = 1, 2, 3上的所有置换构成的集合S3关于映射的复合运算构成的群(S3, ).,设(G, )是群, a G, 若G中任意元素均为元素a的某整数方幂, 即则称(G, )为循环群.(Zm, +m)是m阶循环群, (Z, +)是无限循环群.,设(G, )是群, H G, 若H关于群G的运算构成群(H, ),则称(H, )是(G, )的子群, 记为(H, )(G, ), 简记为HG.要求掌握群的定
43、义, 理解解阿贝尔群、循环群和群同态与群同构.记住: 若G是有限群，HG，则|H|G|.,例2 单选题 下列 G关于 *运算，( )是群. (A) G = 0, 1, 3, 5, “*”是模7加法. (B) G = Q, “*”是数的乘法. (C) G = Z, “*”是数的减法. (D) G = 1, 3, 4, 5, 9, “*”是模11乘法.,例3 设Zm= 0, 1, 2, , m- 1, +m是模m加法运算, 证明(Zm, +m)是群.(Zm, +m, .m) 是环.,3、环和域,设(R, +, )是含两个2元运算的代数结构,若 (1) (R, +)是Abel群; (2) (R, )
44、是半群; (3) 对+可分配; 则称(R, +, )是环.,例如, (Z, +, .), (R, +, .), (Zm, +m, .m)是环. 要求掌握环的定义, 理解交换环、含幺环、无零因子环、整环和除环等概念.,设(F, +, )是环, 若(F 0, )是Abel群, 则称(F, +, )是域.(R, +, )是域 (Zp, +p, .p)是域, 其中p为素数.,(1) 设(F, +, )是有限域, 则存在素数p和正整数n使得|F| = pn. (2) 对于任意素数p和正整数n, 存在pn个元素的有限域. (3) 元素个数相同的有限域是同构的.要求掌握域的定义, 记住有限域的上述3个结论.
45、,例4 填空题 设(R, +, .)是整环, 则(R, +)是_, (R, .)是运算可交换的含幺_且_零因子.,例5 单选题 整数集合Z关于数的加法“+”和数的乘法“”构成的代数结构(Z, +, )是( ). (A) 域 (B) 域和整环 (C) 整环 (D) 有零因子环.,例6 判断题 1. 若代数系统(F，+，)是域，则(F，+)和(F, )都是交换群. ( ) 2. 有限域的元素个数为pn, 其中p为素数且n为正整数. ( ),4、格与布尔代数,设(L, )是偏序集, 若L中任意两个元素都存在上确界以及下确界, 则称(L, )是偏序格.格(L, )中的运算满足(1)交换性, (2)结合
46、性,(3)吸收性.,设(L, )是格，若格中的“加法”运算和“乘法”运算相互可分配，则称格为分配格.(P(X), ), (R, ), (F, )是分配格.,不可分配格的例子: 钻石格与五角格.,设(L, +, )是有界格, a L, 若存在b L, 使得a + b = 1且a b = 0, 则称b为a的补元.设(L, +, )是有界格, 若L中每个元素都有补元, 则称(L, +, )为有补格.(P(X), ), (R, ), (F, )是有补格.,元素个数的有补分配格称为布尔代数.(P(X), ), (R, ), (F, )是布尔代数.,下述定理是有补分配格的重要性质. Theorem 设(L, +, )是有补分配格, 则De Morgan律成立: 对于任意x, y L, 有(1)(2),布尔代数的性质： I. (B, )是格; II. (B, )是分配格;III. (B, )是有补格;IV. (B, )是有补分配格.,
