1、1,例1、（生产计划问题）某厂在一个计划期内拟生产甲、乙两种大型设备，生产过程中有A、B两种原材料的供应受到严格限制。可供原料总量、每台设备所需原料的数量及利润如下表所示，问该厂应如何安排生产使总利润最大。,第3章 整数线性规划,2,3,例2、某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内 所需司机和乘务人员数如下： 班次 时间 所需人数6：00 10：00 6010：0014：00 7014：0018：00 6018：0022：00 2022：002：00 202：00 6：00 30设司乘人员在各时间段一开始时上班，并连 续工作8小时，问该公司线路至少应配备多少司 乘人员。,4,解：设x1， x2
2、，x3，x6为各班新上班人数。 目标函数：minZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：,5,一、整数规划问题 1、整数规划模型的一般形式：,整数规划分为： （1）纯整数规划； （2）混合整数规划； （3）0-1整数规划 。,6,、解的特点,结论：PIP的最优解“不优于”其松弛问题的最优解。,7,二、割平面法,1、基本思想：先不考虑整数约束，求解松弛问题LP，若不是整数解，则不断增加约束，割掉原可行域中不含整数解的部分，最终得到一个具有若干整数顶点的可行域，其中有一个顶点为LP的整数解。适用于求解纯整数规划问题。 2、基本步骤： （1）求解松弛问题，若为整数解或无解，停止； （2）增加
3、线性约束，对可行域进行“切割”，去掉不含整数的可行域。,8,3、求法：,9,例1、用割平面法求解整数规划问题：,10,最优表：,（2）构造割平面方程：,11,12,13,14,4、切割的几何意义：,15,16,三、分枝定界法可解：纯整数规划、混合整数规划问题基本思路：先求松弛问题的最优解，若不是整数解，则添加两个约束条件，舍弃一部分非整数的可行解，并将原松弛问题分解为两个子问题。分枝后，某些整数点就有可能处于可行域的边界上，有机会找到最优解。,17,例1、用分枝定界法求解整数规划问题：,解：（1）求解松弛问题L：最优解：,18,（2）分枝：对L分别增加约束：将 L 分解为两个子问题 L1，L2
4、原可行域 D 变为 D1，D2,19,（3）继续对L1分解： 添加约束：将 L1 分解为两个子问题 L3，L4,20,（4）继续对L2分解： 添加约束：将 L2 分解为两个子问题 L5，L6,21,22,优点：可解纯整数规划、混合整数规划问题。 优于穷举法，仅在一部分可行的N解中寻找最优解。 缺点：若变量数目很大，计算工作量很大，可结合割平面法使用。,23,四、01整数规划一般表示式：,24,例1、（投资选择问题）某公司有n个拟选择的投资项目，其中项目j所需投资额为aj，期望收益为cj ，j=1,2,n。项目之间有下述联系：（）项目，和至少选两项； （）选项目，则必选项目，反之不一定； （）项
5、目与项目要么同时选中，要么同时不被选中。该公司总共筹集资金为万元，问怎样选择项目，才使收益最大？ 解：,25,01整数规划的解法：（只介绍小规模的）1、穷举法：n个变量，2n个组合。2、隐枚举法：不全检查，只检查一部分。,26,例2、求解01整数规划：,27,最优解： x2=0 ，x1 =1，x3 =1,28,五、指派问题指派n个人去完成n项不同的任务，如何给每个人分配任务，使总效率最高。,29,例1、今欲指派甲乙丙丁四人加工ABCD四种不同的零件， 每人加工四种零件所需要的时间如下表所示，问应该派谁加 工何种零件，可使总的花费时间最少。,30,31,32,33,3.3 指派问题及其解法,当指
6、派第i人去完成第j项工作 否则,引例：假设有4个人去完成4项任务，每个人由于技术、专长不同，完成任务的时间如下表，且规定每人只能做一项工作，每项工作只能由一人完成，问应如何分配任务使总费用最小？,34,35,诸如此类，有n项任务，恰好有n个人可承担这些任务，但由于每人的技术专长不同，完成任务的效率(所费时间不同，为使完成n项任务的总效率最高（即所需总时间最少），应如何指派（分派）人员的问题统称为指派（分派）问题。,一、指派问题的数学模型及其特点,1.数学模型：,36,2.特点（1）给定一个指派问题时，必须给出效率矩阵（系数矩阵）C=(Cij)nxn,且Cij0，因此必有最优解( )。,（2）指
7、派问题是一种特殊的平衡运输问题，由于模型结构的特殊性（看作每个产地的产量均为1，每个销地的销量均为1），故可用更为简便的匈牙利算法进行求解。,（3）若从效率矩阵(Cij)nxn的一行（列）各元素中分别减去该行（列）的最小元素，得到的新效率矩阵(bij)nxn不改变原指派问题的最优解。,这条性质可用如下语言来解释,37,对同一项工作（任务）j来说，同时提高或降低每人相同的效率（常数ti），不影响其最优指派；同样，对同一个人i来说，完成各项工作的效率都提高或降低相同的效率（常数dj），也不影响其最优指派。将效率矩阵C=(Cij)nn变换后，得到新的效率矩阵(bij)nxn，其中bij=Cij+ti
8、+dj （对所有的i,j）,38,匈牙利法是求解指派问题的一种好算法，它只能求解目标函数为最小化的情况，它由匈牙利数学家柯尼格（D.Konig)提出，因此而得名。,二、指派问题的解法匈牙利法,这说明Z与Z同时达到最小值。因而最优解相同。,2.匈牙利法的计算步骤见P88-89,1、匈牙利法的基本思想匈牙利法主要基于指派问题的第（3）个特点。即从效率矩阵的每行或每列减去一个常数，指派问题的最优解不变。由此，我们可以让每行或每列减去一个数后，出现0元素，然后，再给费用为0元素的相应变量指派为1，以使变换后的目标函数为0，从而达到最优。,39,例1: 用匈牙利法求解费用矩阵如下的指派问题.,40,例2: 用匈牙利法求解费用矩阵如下的指派问题.,41,
