1、,第十一部分：无穷级数 习题课以及练习题解答,习题课,第十一部分 无穷级数,一 重点与难点1.无穷级数及其收敛、发散的概念；无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；正项级数的比较审敛法及几何级数和 p-级数的收敛性；正项级数的比值审敛法和根值审敛法；交错级数的莱布尼茨定理，级数绝对收敛和条件收敛的概念和判别方法。 2.理解函数项级数的收敛域与和函数的概念；熟练掌握确定幂级数收敛域的方法；会求简单的幂级数的和函数；3.函数可展为幂级数的充要条件；,掌握ex,sinx , cosx , ln(1+x) , (1+x) 的麦克劳林展开式会用间接法把函数展开成幂级数。 5. 掌握傅立叶级数的收敛定理，熟练
2、地把周期为 2（或2l )的函数展开成傅立叶级数；掌握函数延拓思想，会把0,(或0,l )上的函数展开成正弦级数和余弦级数；会用傅立叶级数求某些简单的数项级数的和。,习题课,4.,一 重点与难点.,充 要,几何,|r| 1,|r| 1,它的前n项和序列Sn,级数,的敛散性,.,+,1.几个基本概念和理论.,(1) 填空,.,P级数,P 1,P 1,比较法,比值法,根值法,积分法,交错级数,.,., u1, un+1,.,必定发散,仍然收敛,不变,.,.,.,.,.,先求出R,令 y = xx0,.,先考虑,再换回 x 的收敛区间。,2. 确定幂级数收敛域,.,.,.,.,再考虑端点x=R处的敛
3、散性.,.,3. 函数可展为幂级数的充要条件,为函数 f (x)的泰勒级数。,为函数 f (x)的麦克劳林级数。,.,.,.,.,.,4. 五个重要函数的幂级数展开式,f (x): 1o. 连续或只有,有限个第一类间断点；,2o. 至多有有限个极值点。,充 分,.,.,.,5.傅立叶级数,.,.,.,5.傅立叶级数,.,.,.,.,.,.,.,.,.,答：如果仅要求在有限区间内把非奇函数展开成正弦级数，是可以的。,例如：,这就是奇延拓。,把F(x)按周期2延拓后展成正弦级数,则当 x(0, )时，这就是 f (x)的正弦级数。,.,.,采用奇延拓的方法。,.,(9) 奇函数以外的函数可以展开成
4、正弦级数吗？,一 判断是非,（是：；非：, 后者请举反例.）,.,例：,练习题解答,.,例：,.,1,2,.,.,0,.,1,.,(正),(0),.,二、填空题,三 计算题,1,.,.,.,.,.,.,解：,2,.,.,解：,三 计算题,由比值法：,由收敛的必要条件：,.,.,.,解：,3,.,.,解：,4.,.,（为什么？）,R = 2,解：,.,.,？,展开式4,=,（由原级数知.）,5,解：,.,.,.,.,.,.,.,6,解：,= 2e (e 1 ),= e + 1 .,.,.,.,展开式 1,.,7,解：,= 0,n = 1, 2, ,n = 1, 2, ,.,8.,解：,和函数 s (x)的图形如下：,函数 f (x) 的图形如下：,.,.,.,3,3,f (x),.,s (x),8,
