1、第十章 数学命题及其教学,勾股定理的教学正弦定理的教学,数学命题的逻辑基础中学数学命题的教学,什么叫命题？ 数学命题的分类？ 数学命题真假的判断方法？ 假言数学命题的四种形式？ 充分条件和必要条件？ 中学数学命题的构成？（公理、定理、公式等）,数学命题的逻辑基础,数学命题的意义在数学中，用来表示数学判断的语句或符号的组合叫做“数学命题”。对于无法判断其真假的语句，称为开（语）句。 注：形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的内容，只从真值的角度研究命题的形式及各种命题之间的关系。但在数学中，既研究命题的内容，又研究命题的形式，把内容和形式统一起来研究数学命题。 如在形式逻辑中，命题“如果13,
2、那么1+23+2.”但在数学中,数学命题有真假之分。不是所有的语句或数学式子都是数学命题。在命题逻辑中，通常用“p,q,r,s,t”等表示命题，这种命题符号称为命题变元（变量、变项），命题变元的取值只能是“真”和“假”，分别用“1”和“0”表示。,请大家判断以下语句是否是数学命题： （1）数学是一门科学； （2） ； （3）63; （4）你在干什么？ （5）禁止吸烟！ （6）2比3大吗？ （7）哎呀！那还得了！ （8）a+b=b+a （9）lg(a+b)=lga+lgb,数学命题一般可分为简单命题和复合命题两大类。简单命题就是不包含其他命题的命题，又可分为性质命题和关系命题两种。象“一切矩形都
3、是平行四边形”、“自然数不是无理数”、“有些奇数是素数”等都是性质命题；象“一切正数都大于零”、“直线a平行于直线b”等都是关系命题。,数学命题的分类:,简单命题 （1）性质命题 性质命题：判断某事物具有（不具有）某种性质的命题。 性质命题的结构：主项、谓项、量项和联项。有些 一元二次方程 没有 实数根 （量项） （主项） （联项） （谓项） 量项有“全称”和“特称”之分，联项有“肯定”和“否定”之分，将之组合，可以得到四种形式的性质命题：全称肯定、全称否定、特称肯定、特称否定。此外还有单称肯定和单称否定。,（2）关系命题 关系命题：判断事物与事物之间关系的命题 关系命题的结构：主项、谓项和量
4、项直线a 平行于 直线b（主项） （谓项） （主项）（前项） （后项） 数学中常见的是二元关系：aRb,复合命题复合命题是由两个或两个以上简单命题通过逻辑联结词结合起来而构成的命题。常用的逻辑联结词有以下五种：否定、合取、析取、蕴涵、等价 形成的命题分别称为：负命题、联言命题、选言命题、假言命题和充要条件假言命题,1.否定（非），其真值表如下：,否定（非）：在一个语句之前加上“并非”，就构成一个新的语句，叫原来语句的否定。,2.合取（与，且）,合取（与、并且）：两个语句p和q用“与”联接起来构成新的语句“p与q”称为合取式，亦称为联言命题，“p q”,3.析取（或）,析取（或）：两个语句p、q
5、用或联接起来所构成的新的语句“q或p”称为析取式，亦称为选言命题,4.蕴涵（如果，则）,P:a和b都是偶数， Q:a+b也是偶数。,当前件为假时，无论后件为真还是假，都不与原来的命题矛盾。,蕴涵（如果。，那么。）：把命题p、q用“如果。，那么。联接起来，得到新的命题”如果p，那么q”，pq，这个式叫蕴涵式，“p蕴涵q”，p、q分别叫前后件（即前提和结论）。,5.等价（当且仅当）,等价（当且仅当）：将两个命题p、q用“当且仅当”联接起来，构成复合命题“p当且仅当q”，pq,例如：（1）2+3=5（真）（2）47=30（假），等价式：（ 2+3=5） （ 47=30）（假） 例如：（1）三角形两边
6、之和小于第三边（假）（2）李白是清朝文人（假）。等价是：“三角形两边之和小于第三边”当且仅当“李白是清朝文人”（真）,几点说明： 一个命题中如果没有逻辑联接词出现，那么该命题一定是简单命题。 以上五种式子是复合命题中最简单的形式，由这些基本形式经过各种组合，可以得到更加复杂的复合命题。 简单命题的真假由数学内容来决定，而经过复合后的命题其真假值则由真值表来决定。,复合命题的值,求复合命题的值，可先穷尽地列出p、q取值可能，然后再根据联结词的强弱顺序，逐步得出各层复合命题的值，直到最后求出整个复合命题的值。联结词的强弱顺序：,恒真命题：一个命题在任何情况下都为真 恒假命题：一个命题在任何情况下都
7、为假,1111,1000,0111,0101,1010,1100,恒真命题,1 0 1 1 1 0 1 1,1 1 1 1 0 1 0 1,1 1 1 1 1 0 0 1,1 0 1 1 0 0 0 1,1 1 1 1 1 1 1 1,逻辑等价,如果两个复合命题A、B的真值表相同，我们就称A、B逻辑等价。记为“ ”,可以验证下列逻辑等价式：,幂等律,数学命题的四种形式及其关系为了更好地研究数学命题：若p则q，有必要研究命题的四种形式及其关系 命题的四种形式：（1）原命题：pq；（2）逆命题：qp；（3）否命题：pq；（4）；逆否命题：qp。 四种命题的关系：原命题和逆命题是互逆的，否命题和逆否
8、命题是互逆的，原命题和否命题是互否的，逆命题和逆否命题是互否的，原命题和逆否命题是互为逆否的，逆命题和否命题是互为逆否的。,假言命题的四种形式及其之间的关系,例子： 1.原命题：如果两个三角形全等，则这两个三角 形等积。,逆命题：如果两个三角形等积，则这两个三角 形全等。,否命题：如果两个三角形不全等，则这两个三 角形不等积。,逆否命题：如果两个三角形不等积，则这两个 三角形不全等。,真,假,假,真,2.原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它 的对角线互相平分。,逆命题：如果一个四边形的对角线互相平分，则它是平行四边形。,否命题：如果一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相平分。,逆否命
9、题：如果一个四边形的对角线不互相平分，则它不是平行四边形。,真,真,真,真,3.原命题：如果一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相垂直。,逆否命题：如果一个四边形的对角线不互相 垂直，则它不是平行四边形。,逆命题：如果一个四边形的对角线互相垂直， 则它是平行四边形。,否命题：如果一个四边形不是平行四边形， 则它的对角线不互相垂直。,假,假,假,假,它们之间的关系可以用真值表来证明：,从真值表中可以得出：原命题和逆否命题等价；逆命题和否命题等价。所有四种命题中实质不同的只有两种，其它两种只是形式不同而已。 在数学论证中经常用到具有逆否关系命题的等价性，在证明一个命题时，可以将之转换成它的逆否命
10、题的形式加以证明。,同一原理互逆的两个命题未必等价。但是,当一个命题的条件和结论都唯一存在,它们所指的概念的外延完全相同,是同一概念时,这个命题和它的逆命题等价。这一性质通常称为同一原理或同一法则。例如,“等腰三角形底边上的中线是底边上的高线”是一个真命题, 命题的条件和结论所指概念的外延完全相同,是同一概念。因此,这个命题的逆命题“等腰三角形底边上的高线是底边上的中线”也必然为真。同一原理是间接证法之一的同一法的逻辑根据。对于符合同一原理的两个互逆命题,在判定其真假时,只要判定其中的一个就可以了。在实际判定时,自然要选择易判定的那个命题。,充分条件和必要条件,数学数学命题中的条件分成充分条件
11、、必要条件和充分必要条件。 充分条件：如果命题“若p则q”为真，则条件p就称为使q成立的充分条件 必要条件：如果命题“若q则p”为真，则条件p就称为使q成立的必要条件 （显然若p是q成立的充分条件，则q一定是使p成立的必要条件，反过来也对。） 充分必要条件：如果“若p则q”和“若q则p”均为真，则p是q成立的充分必要条件。 在解题或证明中要明确充分条件和充要条件,关于公理和公理化方法 （新概念旧概念更旧的概念原始概念） 定理旧命题更旧的命题公理 不加定义的原始概念称为基本概念；不加证明而承认的命题称为公理。 公理化方法：从尽可能少的基本概念和公理出发，运用逻辑推理，建立数学分支的方法。公理系统
12、中的公理应满足的三个条件： （1）相容性：同一公理系统中的公理本身不能矛盾，由公理推导的结果也不能矛盾 （2）独立性：任一公理不能由其它公理推出 （3）完备性：该系统中的全部命题均可推出而不能借助直观,演绎数学的兴起,欧几里得 Euclid (ca. 325-ca. 270BC),公理化方法与欧几里得的几何原本,原本(Elements),共十三卷，包括五条公理、五条公设、一百一十九个定义和四百六十五条命题,第11、12、13卷：立体几何及穷竭法,第10卷：不可公度量,第7、8、9卷：数论的内容,第5卷：比例理论 第6卷：比例理论的几何应用,第1卷：23个定义、公理、公设 第1、3、4卷：平面几
13、何内容 第2卷：几何代数内容,基本定义,1、假定从任意一点到任意一点可作一直线2、一条有限直线可不断延长3、以任意中心和直径可以画圆4、凡直角都彼此相等5、若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小 于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交,公理,1、等于同量的量彼此相等 2、等量加等量，和相等 3、等量减等量，差相等 4、彼此重合的图形是全等形 5、整体大于部分,公设,点、线、面、圆等,定理：根据已知概念和真命题，遵照逻辑规律，运用正确逻辑方法来证明其真实性的命题。 定理的结构：条件（题设或已知）、结论（题断或求证）逆定理：一个定理的逆命题若为真，则称其为该定理的
14、逆定理。判定定理：用来确定某个对象存在的充分条件的定理。性质定理：确定某个对象存在的必要条件的定理。引理：为证明一个主要定理作准备，先证明的一个或几个“小定理”。推论（或系）：从公理或定理直接推出来的定理。证明题：在教材中通常列入例题或习题，作为推理 论证的练习。,关于定理 ：,简单定理条件和结论中所含事项都只有一个的定理称为简单定理。例如：同一个三角形中，大角对大边。 复合定理条件和结论中所含事项不只是一个的定理叫做复合定理。 例如：等角的邻补角相等,二、数学命题的教学,数学命题学习的心理分析命题教学的基本要求和教法探讨,学生学习数学命题的心理分析,对公理、定理、公式的学习很大程度上依赖于直
15、接感知难以从条件与结论的关系上把握条件命题孤立地学习定理、公式,数学命题的教学设计（见书P314）,命题的提出 命题的明确（已知条件、结论和适用范围） 命题的证明与推导（思路、方法、技巧） 命题的运用与系统化,命题的引入方法：(1)通过对具体事物观察和实验与实践活动，做出猜想 （2）通过推理直接发现结论 （3）通过命题间的关系，对一个命题做出变形（逆命题、偏逆命题等）,公理、定理、公式的教法探讨,1、公理的教法: 思考：探索三角形全等的条件（一）应如何进行教学设计？采用学生熟知的具体事例或生活经验出发 让学生了解什么是公理：它的真实性不能由逻辑推理来确定，是人们长期实践的总结，是数学的基石或出
16、发点。 在教学中要让学生体会引入公理的必要性：如果没有公理的引入，则进一步的推理便无法进行。 引入公理也要有个过程，通过引导学生对实际事物的观察，进行一定的实验和检验，从而不但让学生对公理的真实性确信不疑，也便于学生对公理的理解和记忆。,了解定理的由来：在教学过程中一般不先提出命题的内容，最好通过实验、演算等手段，先让学生自己思考，估计出命题的内容，然后再去论证。 明确定理的条件和结论（定理的结构）：中学数学里，命题大部分是以充分条件形式出现的，要对命题的结构进行分析，使学生分清已知条件和结论（“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”“如果一点在一个角的平分线上，那么这点到这个角的两边的
17、距离相等”）,2、定理的教学,讲清定理证明的思路和方法：一般以口头分析探索证明的途径，然后用综合法简练地表达出来，在该过程中学生的积极参与是重要的。先分析后综合不仅在几何中，在代数中可同样运用。,定理的应用：懂得不等于会用，使学生会用（甚至熟练）定理解决有关的问题是定理教学中的重要一环。可通过例题、习题（反馈、修正）等使学生逐步掌握定理的应用。 把所学定理纳入定理系统中：教学中的定理都是定理系统中的一个，要让学生弄清定理在系统中的地位和作用以及和其它定理之间的关系等，这样做可以使学生更加深刻地理解定理，同时也使对定理的记忆更加容易。 定理证明中要注意的： 1、注意图形的正反方面的作用；2、严密
18、的推理是论证的核心；3、重视书写的格式。 思考：余弦定理的教学设计？,3、公式的教学 公式是定理的另一种形式，是用字母和符号表示的命题。因此原则上公式的教学和定理的教学并没有什么区别。 要重视公式的推导，要在教师的指导下让学生自己进行推导，教师作必要的提示。公式的推导可以帮助学生对公式的记忆、明确公式的条件以及培养学生的推理能力。 利用公式的外形和特征进行记忆 注意公式的条件，忽视公式的条件是发生错误的原因之一。 注意公式的正反使用： 思考：等差数列的前N项和的教学设计？,4、法则的教学 法则是揭示对象之间普遍联系的一种命题形式，一般是围绕运算展开的。 法则可以分成定义型和公式型两类。定义型法
19、则的教学类似于概念的教学，公式型法则的教学则类似于数学公式的教学。 法则教学的重点在应用：正确运用熟练运用迅速而合理简化运算过程。 向量的加法及其几何意义的教学设计,谢谢！,设解：因为x0, y0, 所以 从而而所以 的最小值为,数学推理与证明,形式逻辑的基本规律 数学推理 数学证明,形式逻辑的基本规律,同一律 矛盾律 排中律 充足理由律,1.同一律：在同一个论证过程中，使用的概念和判断必须保持同一性,亦即确定性。它的公式是“A就是A”或“pp”。多项式 能否分解？当a、b是非负实数时，公式 成立。在三角形内角和公理中，角的概念是“从一点引出两条射线所成的0到180以内的角”。同一律的作用在于
20、保证思维的确定性。,2.矛盾律：在同一论证过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断不能同时为真，其中至少有一个是假的。其公式是“A不是 A”或“ (p p)”例如：两个数相等和不相等不能认为同时成立。两条直线相交与不相交也不能认为同时成立。 注意：矛盾律只是指两个矛盾的判断是不相容的，即不能同时为真，但是两个矛盾的判断可能同假。例如：空间两直线相交与平行。矛盾律所讲的矛盾是逻辑上的矛盾，与现实的矛盾是两回事，不能混为一谈。,3.排中律：在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断与否定判断这两个判断必有一个是真的，它的公式是“或者是A或者是 A”或“p p ”.例如：要证明“ 不是有理数”，只要证明“
21、 是有理数”不真就可以了。, 同一律、矛盾律、排中律三者之间的联系是:三者是从不同的角度去陈述思维的确定性的,排中律是同一律和矛盾律的补充和深入,排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾,违背了排中律就必然违背矛盾律。同一律、矛盾律、排中律三者之间的区别是:同一律要求思维保持确定、同一,而没有揭示思维的相互对立或矛盾的问题,矛盾律是同一律的引申和发展,它指明了正确的思维不仅要求确定,而且不能互相矛盾或对立,即指出对于同一个思维对象所作的两个互相矛盾或对立的判断,只要承认不能同真,至少必有一假即可,并不要求作出肯定或否定的表示。排中律又比矛盾律更深入一层,明确指出正确的思维不仅要求确定、不互相矛盾,而且
22、应该明确地表示出肯定或否定,指出对于同一个思维对象所作的两个“肯定判断”和“否定判断”,不能同假,必有一真,要么“肯定判断”真,要么“否定判断”真,二者必居其一。,4.充足理由律：任何判断都必须有充足理由才被认为是真的，其公式是“所以有B是因为A”或“A是B的充足理由”。 正确的判断必须有充足的理由。可表示为:因为有A,所以有B,即由A一定能推出B,其中A和B都表示一个或几个判断,A称为B的理由,B称为A的结论(推断)。例如,三组对应边成比例,两组对应角相等、两组对应边成比例且夹角相等都是两三角形相似的充足理由。,充足的理由必须具备真实性、完备性、相关性,否则就不是充足理由 例如： 等式两边乘
23、以 得 两边减去 得 两边分解因式得 两边除以 得 以 代 得 两边除以 得,显然,所得结论是错误的。错误的原因在于用a-b除以等式两边,因为a=b,a-b=0,用零做除数是不允许的,也就是理由不真实。,同一律、矛盾律、排中律是保证概念或判断在同一论证过程中的确定性,无矛盾性和明确性(明确性是指对两个相互矛盾的概念或判断要明确地表示出肯定还是否定),充足理由律是保证判断之间的内在联系的合理性。因此,在同一思维(论证)过程中,如果违背了同一律、矛盾律、排中律,那么必然导致违背充足理由律。,充足理由律和同一律、矛盾律、 排中律也有着密切的联系：,数学中的推理,推理是从一个或几个判断中得出一个新判断
24、的思维形式,例1 角平分线上任一点到这个角两边的距离相等,因此,到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上。 例2 矩形的对角线互相平分且相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线互相平分且相等。以上两例都是数学推理。推理在实践中有两个方面的作用。一是帮助人们从已知的知识推出新的知识;二是证明的工具。,推理的结构,任何推理都是由前提和结论两部分组成。前提是在推理过程中所依据的已有判断,它告诉人们已知的知识是什么。推理的前提可以是一个,也可以是几个。例1中有一个前提“角平分线上任一点到这个角两边的距离相等”。例2中有两个前提“矩形的对角线平分且相等”、“正方形是矩形”。结论是根据前提所作出的判断,它
25、告诉人们推出的知识是什么。例1中的结论是“到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上”。例2中的结论是“正方形的对角线平分且相等”。逻辑思维对推理的要求是:推理要合乎逻辑。所谓推理合乎逻辑,就是指在进行推理时要合乎推理形式,遵守推理规则。,推理的种类：,归纳推理：从个别的或特殊的事物所作的判 断扩大为同类一般事物的判断的一种推理。 例如：由 推得 或者由 推得 这就是由特殊到一般的推理。,根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同， 可把归纳推理分为完全归纳法和不完全归纳法。 完全归纳法 如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与 结论中判断的范围完全相同，则这种归纳推理称为完 全归纳
26、法。如证明三角形三条高线共点。 不完全归纳法 如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的 范围，则这种归纳推理叫做不完全归纳法。,完全归纳法的推理形式：具有性质F； 具有性质F；具有性质F； 具有性质F； 和 具有性质F； 具有性质F；A类事物具有性质F A类事物具有性质F.不完全归纳法的推理形式：具有性质F具有性质F具有性质FA类事物具有性质F,在完全归纳法中，如果前提为真，则结论也为真，所以可以作为严格的数学证明。 不完全归纳法所得结论是不可靠的，所以不可以作为严格的数学证明 不完全归纳法在数学发现和数学教学中具有重要的价值,演绎推理,又叫演绎法,它是由一般到特殊的推理,也就是由一般原
27、理推出特殊场合知识的思维形式。 演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系,只要前提是真的,推理合乎逻辑,得到的结论就一定正确。因此,演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。,简单的演绎推理一般是通过三段论的形式来实现。它 的理论基础是下面公理：如果集合M的所有元素具有 （或不具有）性质P，如果 是集合M的元素 （即 ），则 也具有（或不具有）性质P。 其形式如下： 大前提：集合M的所有元素具有（或不具有）性质P 的一般判断，可表示为MP 小前提：集合S M，即S是M的子集，可表示为SM 结论：集合S也具有（或不具有）性质P，可表示为 SP.,三段论的例子： 1、大前提：矩形中的对角线相等小前提：正
28、方形是矩形结 论：正方形的对角线相等 2、大前提：所有循环小数都是有理数小前提：0.22222是循环小数结论：0.22222是有理数 3、证明任意直角三角形二锐角之和为90度因为任意三角形三内角之和为180度（大前提）直角三角形是三角形（小前提） 所有直角三角形三内角之和为180度（x+y+90=180）（小前提） 因为等量减等量差相等（大前提） 而（x+y+90）-90=180-90是等量减等量（小前提） 所有 x+y=90成立（结论）, 三段论的原理：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是什么。,S,P,M,S,复合三段论：几个三段论联接在一起所构成的，其中前一
29、个三段论的结论作为后一个三段论的前提。例如：平行四边形是多边形（大前提） 菱形是平行四边形（小前提） 所有，菱形是多边形（结论）（大前提） 四边形ABCD是菱形（小前提） 所以，四边形ABCD是多边形（结论） 三段论是一种重要的推理形式，但不是唯一的推理形式，把演绎推理都归之为三段论的说法是不恰当的，除三段论外，还有关系推理、联言推理、选言推理、假言推理等。,归纳推理和演绎推理既有区别又有联系。可从两方面看它们之间的关系:第一,演绎以归纳为基础,归纳为演绎准备条件。从演绎的前提看,最初的前提是数学公理,这些公理是人们经过长期反复实践归纳得来的,从演绎所得到的结论看,这些结论都还需要经过实践检验
30、,并且在实践中又归纳出新的结论加以补充和发展。第二,归纳以演绎为指导,演绎给归纳提供理论根据。,是由特殊到特殊的推理。 以两个对象有某些相似的属性，并且其中一个对象还有另外一些属性，从而推出另一个对象也有类似的属性。 例如：代数式中根据分式与分数都具有分子、分母这 个相同的形式，从而推出分式可以如同分数一样进行 化简和运算。 注：这是一种从特殊到特殊的推理，所得结论不一定 真实。 如把 与 或 类比;把 与 类比.,类比推理：,类比推理的推理形式： A具有性质 B具有性质 B具有性质P.,类比推理的结论的真实性是不能肯定的，因此不能作为严格的数学证明方法 在数学的发现在数学教学中类比推理有着重
31、要的使用价值 要防止学生进行胡乱的类比，特别是在数学符号上进行胡乱的类比。,数学中的证明1.数学证明的意义和结构数学证明是根据已经确定其真实性的公理、定理、定义、公式、性质等数学命题来论证某一数学命题的真实性的推理过程。数学证明过程往往表现为一系列的推理。证明是数学科学的重要部分，是数学知识得以确证的唯一方式。数学证明是中学数学的一个及其重要的部分，不论是代数、几何，或者是微积分均要涉及到证明，没有证明就没有数学。,从逻辑结构方面来分析、任何证明都由论题、论据、论证三部分组成。 论题,是指需要确定其真实性的那个命题。,“三角形内角和等于180”就是论题。任何论题都包含条件和结论两个方面,论题告
32、诉人们已知什么,要证明什么。 论据,是指用来证明论题真实性所引用的命题,论题中的条件以及数学中的公理、定理、定义、性质等,都可作为证明的论据。论据告诉人们是用什么来证明的。 论证,是由论据出发进行一系列推理来确定论题真实性的过程。论证告诉人们是怎样证明的,论据和论题是怎样联系的。 数学证明也可分为已知(论据)、求证(论题)、证明(论证)三个组成部分。中学数学证明是采用了这种叙述形式。,证明和推理之间的联系和区别,证明过程其实质也就是推理过程，就是把论据作为推理的前提,应用正确的推理形式,推出论题的过程。一个证明可以只含一个推理,也可以含有一系列的推理,可以只用演绎推理,也可以只用归纳推理,也可
33、以即用演绎推理又用归纳推理,是一种特殊形式的推理,但是,就具体问题来分析,证明和推理又是不同的。首先,从它们的结构上看,推理包含前提和结论两部分,前提是已知的,结论是根据前提推出来的;证明由论题、论据、论证三部分组成,论题相当于推理结论,是已知的,论据相当于推理的前提,是事先不知道的,因此,它们的思维过程正好相反。其次,从它们的作用来看,推理只解决形式问题,对于前提和结论的真实性是管不了的。比如由类比推理和不完全归纳推理得到的结论,只具有偶然的性质,而证明却要求论据必须是真实的,论题经过证明后真实性是确信无疑的。证明是一种特殊形式的推理；结构不同、思维过程相反、作用不同。,证明必须遵守逻辑规则
34、：,论题要明确 论题应始终如一 论据要真实 论据不能靠论题来证明 必须能推出论题 严谨,数学证明方法有直接证法、间接证法和数学归纳法。 直接证法：从命题的条件出发，根据已知的定义、 公理、定理，直接推证结论的真实性。 其一般形式是：,2. 常用的证明方法：,按寻求论证的思路来分，可分为分析法和综合法两种。,分析法 从命题的结论出发一步一步地探索其能成立的条件,最后探索到命题的已知条件或已知事实为止,这种证明方法叫做分析法。简单地说,分析法就是“从未知看需知,推已知”的方法。,综合法 从命题的条件出发,利用已知的公理、定理、定义、公式、性质经过逐步的逻辑推理,推出结论真实性的证明方法叫做综合法。
35、,分析和综合有着密切的联系。在解答数学题时,一般总是先进行分析,寻找解题途径,再用综合法写出解答过程,当论题较为复杂时,常常联合运用分析法与综合法找解题途径,分别从题设和结论出发,经过“顺推”和“逆索”推演到一个结果上去,找到解题途径,而后加以整理并用综合法写出。这种方法称为“两头凑法”。,间接证法：不是从正面证明确定论题的真实性，而是证明它 的反论题为假或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的. 间接证法有反证法和同一法两种. a.用反证法证明命题“pq”的全过程和逻辑依据 可以用下图来表示：,所谓反证法就是:把否定的结论纳入到原条件中,使二者共同作为条件,在正确的逻辑推理下,导致逻辑矛盾,
36、根据矛盾律知道否定结论的错误性,再根据排中律知道原结论的正确性。反证法可简要地概括成:否定推理否定。,用反证法证明命题“若P则q”其一般步骤是: 第一,反设。将结论的反面作为假设,即作出与命题结论“q”相矛盾的假设“ ”。 第二,归谬。将“反设”和“原设”作为条件,即从“P”和 出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果。 第三，结论。说明“反设”不成立,从而肯定原结论是正确的,这就间接地证明了命题“Pq”为真。第二步所说的矛盾结果,一般指的是推出的结果与已知条件矛盾,与已知定义矛盾、与已知公理矛盾,与已知定理矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况。根据反设的情况不同，反证法又可分为“归谬法
37、”和“穷举法”两种，反设只有一种情况的反证法叫做“归谬法”；反设有多种情况的反证法叫做“穷举法”。,例： 求证大于1的任何整数一定有质因数。 证明 假定至少有一个大于1的整数n没有质因数,即n1且不是质数(因为质数本身是质因数)，则n必为合数。因此,n必有一个不等于n的真因数n1,故nn11,这里n1也必不是质数(否则,n有质因数);同理,n1也有一个真因数n2,使n1n21,n2也必不是质数。仿此类推,可得nn1n21这表明,在n与1之间有无限多个不同的整数,这与一个确定的正整数n与1之间只能有有限个不同的整数相矛盾,所以“假定”是错误的,因此,大于1的任何整数一定有质因数。,反证法与直接证
38、法相比较,就会发现反证法具有如下的特点:,第一,从推理论证的前提看反证法增加了“反设”这个新的条件,根据这一特点,下述情况常常采取反证法。 在一门科学开始阶段,对一些最基本的性质的证明,由于这些最基本性质予以成立的条件简明扼要,同时要供使用的定理甚少,因而直接证明常常发生困难。这时使用反证法正是为了增加论证的前提条件,使人们的思路能顺着新增加的条件开拓出去。 有些命题虽然不属于学科的基本性质,但从原设出发直接论证,所知甚少,往往感到无从下手,此时也可考虑使用反证法,加进“反设”这一新的前提条件,常常有利于打开思路。 由于反证法新增加的条件是结论的反面,如果它比结论本身更具体、更明确,则此时宜于
39、采用反证法。如“否定式命题”;结论被表成“至多”或“至少”形式的命题;“唯一性”命题,要证的结论是“无限的”等命题,都宜于采用反证法。,第二,从推理论证的目标看反证法无须专门去证某一特定的结论,只要设法合理地推出一个逻辑矛盾就可以了。 正是由于“目标不明”这一特点,使反证法不易掌握,这也可说是反证法的“劣势”;另一方面,也是由于“目标不明”,只要设法合理地推出一个逻辑矛盾即可,据此,在某些情况下采用反证法比直接证法宜于奏效,这也可以说是反证法的“优势”。第三,从推理论证的方法看如同直接证法一样,反证法也属演绎推理,反证法具有分析法的特点,它们都是从命题的结论入手,所不同的是:分析法是从结论开始
40、,反证法是从结论的反面开始;分析法是得到正确的结果而结束,反证法是以得到不成立的结果而结束,从这个角度去看,反证法也可称为否定式的分析法。,同一法的根据是同一原理,对于符合同一原理的命题,当不易直接证明时,可以证明它的逆命题,只要证明其逆命题正确,这个原命题就正确。这种间接证法叫做同一法。 同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。其步骤是: 第一步,作出符合命题的图形。 第二步,证明所作图形符合已知条件。 第三步,根据唯一性,确定所作的图形与已知图形重合。 第四步,断定原命题的真实性。,b.同一法：,例 设D、E分别是ABC两腰AB、AC的中点， 求证：DE/BC.,证明 （如图）过D作 /BC，交AC于 ， 则 ，即 为AC的中点，因E是AC的中点， 所以点 与E重合,即与DE重合。故DE/BC。,比较反证法与同一法容易看出,同一法和反证法的适用范围是不同的。同一法是局限性较大,通常只适用于符合同一原理的命题;反证法则适用普遍,对于能够用同一法证明的命题,一般都能够用反证法证明,如果我们把同一法的步骤作适当的改造,即在同一法的第一步前加一步:“作出与命题结论相矛盾的假设”,把同一法的第三、四步改作“根据同一性而出现两个不同图形这是矛盾的,由此原理得证”,那么原来的同一法就变成了反证法。,
