1、求解最值问题的几种思路最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多变，越含着丰富的数学思想方法，对发展学生的思维，提升学生解题能力起着十分重要的作用.本文举例介绍这类问题的常见思路和方法.一、利用非负数的性质在实数范围内，显然有 ，当且仅当 时，等号成立，即2mnp0mn的最小值为 .2mnp例 1 形码 设 、 为实数，求 的最小值.ab22aba解析 =22(1)= 2314b= .2()()ba当 ，即 时，上式等号成立.10,2ba0,1故 的最小值为-1.ab二、均值代换法在一些数学问题中，常遇到含有 型条件的问题，若用mnp来代换，往往能获得简捷的妙法.,2pmqn例 2 已知 、 为实数
2、，且 ，求 的最值.xy2xy(2)xy解析 由 得 ，易得最小值为 .213设 ,其中 ,21,xkyk,22()4()xyk又 ，2033k即 .的最小值是 ，最大值是 2.(2)xy三、局部换元法例 3 若 ，求 的最小值.1abc22abc解析 设 ,1,3abJ则 .()c2222211()()33ab.22故 的最小值为 .22abc13四、积化和差法完全平方公式 ；22()ab.2()ab将这两个公式的左右两边分别相减，得结论 1 .224()()ab由于 ，故由又可得如下积化和的完全平方不等式.2()0结论 2 ，当且仅当 时，等号成立.2()ab结论、表明两个代数式之积可化为
3、它们的和差的关系式.应用上述公式解题，方法独特，别致新颖，给人一种清晰、明快的感觉.例 4 设 ，求 的最大值.22,1xya221Sxy解 把 两边平方得1Sy，2222()xx即 ，1ay.2221()xySa由积化和差公式，得 22222211()()xyxyxy代人上式，得.22221()()xySSa,22211()04xySa,224Sa.20,Q又 时,xya，2214S.2a最 大 值注 有时将积化和差公式 224()()bab化为如下形式: ,22()()ab用起来比较方便.五、配方法解题时把题中所给的代数式，应用配方法化成一个或几个完全平方式与常数的代数和的形式;再根据 ，
4、可求出代数式的最小值，根据 ，可求出代数式2()0ab2()0ab的最大值.例 5 求函数 的最值.421yx解析 .223()()4,20xQ的最小值是 0， 最小也是 0.x当 时， 的最小值为:xy.213(0)4注 本题如果机械地套用二次函数求极值的公式去求 的最值，那就错了.事实上，当y时， 取得极小值，这是不可能的。一般情况下，如果自变量取值范围有2bxay一定限制，不能轻易套用极值公式，而应先通过配方，再求极值，这样做才不会得出错误的答案.六、增加辅助量例 6 若实数 、 、 、 、 满足条件 和abcdf 8abcdf，求 的最值.22216abcdff解 ,Q8.cf设 ，
5、， ， ,84fa4b4fc84fd则 ,0而 222 228()()f fcd.(8)4f，即 .22()16ff25160f.05f故 的最大值为 ，最小值为 .160七、数形结合法例 7 已知 、 都是小于 1 的正数，求ab222(1)abb22(1)()ab的最小值.解 对形如 的问题，不妨考虑利用勾股定理和题中所给的已知条件，构造相2应的几何图形，并根据图形中边与边之间的关系解决问题.如图 1，构造边长为 1 的正方形 ， 是正方形内一点，它到 、 的距离ABCDPABC分别为 、 ，即 ， ，则由勾股定理，易得abPGaHb2BPab2(1)()D2A2()PCab.BD， ,A
6、QPBD则 ,2AC22(1)abb22()(1)ab2()ab即所求最小值 .八、构造一元二次方程例 8 若 ，求 的最小值.2231xyxy解 将 配方，得2()1xyx设 k则 ()xyy方程可构造为以 为主元的一元二次方程:x2()()10xyk是实数，QV即 214()k解之得 98即 的最小值xy点评 此题巧妙运用了构造方程的思想，并利用一元二次方程根的判别式求得 的最k值.九、构造函数由于最值问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此解决最值问题离不开函数，我们常利用构造函数法使问题得到解决.例 9 求代数式: 的最值.21x解 设 ，()Q再令 ， 则有sinx2x211sinsicon2Q最小值为 ，最大值为112十、零点分段讨论法例 10 当 时，求函数 的最大值.6x1yx分析 先由条件 ，求出 的取值范围，再用“零点分段讨论法”去掉函数 中1 y的绝对值符号，然后求出 在各个区段上的最大值并加以比较，从中确定出在取值范围内的最大值.解 由 6，知 .x75x当 时，70221()y当 时，5x22()故当 时，函数 有最大值 16.y对于最值问题，还有更多的方法(如消元法、共轭配对法、数形结合法、和差代换法、判别式法、参数法、等式变形法、待定系数法、平均值不等式法等)，这里不再赘述.
