1、线性代数及其应用一、行列式1、余子式，代数余子式2、几个定理(定理 2.2，2.3，2.4)按行展开： 12,12,A iiinaaAn按列展开： jjj定理 2.4 ；120,ijijinji.ijijijaaj3、行列式的性质 (1) .T|A(2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和，则行列式可以拆成两个行列式之和，即.1 11,jjnjnjn (2) 若行列式有两列(行)成比例，则行列式等于零.(3) 初等变换性质 ;.iijiijk+l k 或或或 rcrcABA4、行列式计算：三角化法(性质)；降阶法(性质+展开定理)；范德蒙德、三对角行列式的结论.5、分块矩阵的行列式
2、AOCABBD(1)Ammnn二、矩阵1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)(1) 乘法的结合律(2) 方阵的幂的求解 3.75.9二 项 式 定 理 -例矩 阵 列 行 例 8、 例可 对 角 化 例(3) 转置的性质：TT()()ABk(4) 方阵的行列式： T|;|.nkAB(5) 分块运算(转置、乘法-例 3.13、3.14)2、初等变换及初等矩阵(1) 左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示) ();();.rrccABEABCCAE 初 等 行 变 换初 等 列 变 换 iijijijiijkm+lkn+l nikjli,kijl,(2) 初等矩
3、阵都是可逆的，且初等矩阵的逆仍是初等矩阵，即 1 11()();()();,.E kikiijlijljj3、可逆矩阵(1) 定义、性质1T1T()()AB|()k(2) 伴随矩阵 1|()()nrAE与 的 关 系 书 页 38题(3) 判定： 可逆 |0(4) 逆矩阵的求法 11(3.7), 行伴 随 矩 阵 法 :及 运 算 律 命 题初 等 变 换 法 :AABEE(5) 分块矩阵的逆 1 111, .AOOABBBO (6) 矩阵方程的求解： ，其中 可逆.XC法 1 .1法 2 .1,ACEA 初 等 行 变 换 n4、矩阵的秩与矩阵的相抵(1) 矩阵的秩与性质(101 页，105
4、-107 页) ；0()mi,r 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩； ,0;kkA ；T()r ；()rOB ；(r 或 ；)()(AAnr)r若 ，则 ，其中 ， .B+mnPnsB 设 ，则mnRT()()(.=(2) 求矩阵的秩 (理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)(行阶梯形矩阵)，AR 初 等 变 换则 的非零行的个数.()rA(3) 矩阵的相抵(等价) (),.BPQAB可 逆 使 得r ，其中 可逆.()(rPQA, 或 .()rrEOArE三、线性空间1、向量组的线性相关性的判断(命题 4.2、4.3、4.4、4.5、定理 4.1、4.2、4.4)(1) 证明方法- - ,定
5、义 转 化 为 齐 次 线 性 方 程 组 的 求 解秩 矩 阵 、 向 量 组 的 秩 (定 理 4.1定 理 .命 题 4.5-6)坐 标 化 方 法 定 理 .基 本 结 论(2) 基本结论判断向量组线性相关（命题 4.2，命题 4.3(2),定理 4.1 及推论 1，定理 4.2）充要： 线性相关 其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.12,s 充分： 线性相关12,s 12,ss某 一 个 部 分 向 量 组 线 性 相 关向 量 的 个 数 大 于 向 量 分 量 的 个 数被 个 数 少 于 的 向 量 组 线 性 表 示判断向量组线性无关（命题 4.3(3)，命题 4.4 的
6、推论）2、等价向量组(1) ()可由()线性表示，则 () ().r(2) ()与()等价，则 () ().3、子空间的验证(1) 非空、加法和数量乘法的封闭；(2) 命题 4.1(生成子空间)-例 4.9，例 4.354、向量组的秩及极大无关组(命题 4.6，定理 4.4 及推论 2)、(线性)子空间的基与维数(1) 写成列向量作初等行变换，确定向量组的秩与极大无关组.(2) 对于 ，则 ， 即生成子空间的维数12(,)sWL 12dim(,)sWr与基就是向量组 的秩与极大无关组.5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式坐标： 在基 下的坐标 .12nxx 12,n T12,nx基变换公式
7、： (,)(,) S坐标变换公式：或1212,(),nn XY1SX四、线性方程组(含参量、不含参量)1、解的情况(1) (),rnAX无 解 唯 一 解无 穷 多 解若 是方阵，则0(),r唯 一 解 无 穷 多 解无 解A(2) 齐次线性方程组 有非零解 .AXn若 是方阵，则齐次线性方程组 有非零解 .A0AX0A2、解的结构齐次 ：0X(1) 解空间 、 基础解系所含向量的个数N()dim()()nr(2) 基础解系不唯一， 的线性无关的解均可作为 的一个基础解系.0X(2) 结构式：通解=基础解系的任意线性组合非齐次 ：A(1) 非-非=齐(2) 结构式：通解=特解 导出组 的通解0
8、AX五、线性变换1、线性变换的验证 (定义 5.4)2、线性变换在一个基下的矩阵(定义 5.7)、命题 5.81212(,)(,),nn AXY3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似) 定理 5.912121(,)(,),nn BSA六、内积空间 nR1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关)2、施密特正交化3、正交矩阵(1) 定义、性质；(2) 阶实矩阵 是正交矩阵的充要条件是 的列(行)向量组是 的一个标准正交nAAnR基. (命题 6.2)七、矩阵的相似对角形1、特征值和特征向量的定义、性质(1) ；1212tr();nn (2) 与 具有相同的特征值(特征向量未必相同)；
9、AT已知 可逆)(A矩阵 Akm)(f1(3) ； .()(AfW1()()AW(4) 属于不同特征值的特征向量线性无关(定理 5.3、定理 5.4 及推论).2、相似矩阵的定义、性质(秩、行列式、迹、特征值相等，但特征向量未必相同)相似的判定：若 与 可对角化(实对称矩阵)，且 与 具有相同的特征值，则BB与 相似.B若 与 相似，则矩阵多项式 与 也相似.A)Af(f3、矩阵的相似对角化可对角化 有 个线性无关的特征向量n数域 内有 个特征值，每一个特征值的几何重数等于代数重数P(充分条件) 有 个互不相同的特征值 可对角化4、实对称矩阵(1) 特征值： 阶实对称矩阵有 个实特征值.nn(
10、2) 特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.(3) 实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵(几何重数等于代数重数).(4) 若 与 均为实对称矩阵，则 与 正交相似(相似) 与 具有相同的特征ABABAB值.(正交相似 既相似，又合同)八、二次型1、二次型的矩阵及秩( (对称)1 f2、矩阵的合同：合同必相抵；正交相似 既相似，又合同实对称矩阵 合同 的正惯性指数与秩相同,AB,3、化二次型为标准形(不唯一)-正交替换法、配方法(满秩线性替换)4、惯性定理：实二次型的规范形唯一(正、负惯性指数，符号差)5、正定二次型 (1) 判定： 定义； 的特征值都大于零( 的正惯性指数等于 )；AAn 与 合同(与正定矩阵 合同的实对称矩阵 正定)； EB 存在可逆矩阵 ，使得 ；STS 的所有顺序主子式都大于零(2) 必要条件： ；(i)0,12,ain (i)|0特征值 km)(f1|A特征向量 XX
