1、.第 1 页 共 4 页111 正弦定理（2） 一、课题：正弦定理（2）二、教学目标：1掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形， 解决实际问题；2熟记正弦定理 （ 为 的外接圆的半2sinisinabcRABCABC径）及其变形形式。三、教学重点：正弦定理和三角形面积公式及其应用。四、教学难点：应用正弦定理和三角形面积公式解题。五、教学过程： （一）复习：1正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： （ 为 的外接圆的半径） ；2sinisinabcRABCABC2三角形面积公式： 11isinsi2ASacb （二）新课讲解：1正弦定理的变形形式： ；si
2、n,2si,siaRbBcR ；n2AC sisi:a2利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示） 。AbasinbaAsinbaba一解 两解 一解 一解 3正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化：例如，判定三角形的形状时，经常把 分别用 来替代。,c2sin,i,2sinRABRC4例题分析：例 1 在 1 2 的 （ ABC中 ， siniAB）A1 只能推出 2 B
3、2 只能推出 1C1、2 可互相推出 D1、2 不可互相推出CBA cabB2aCA B1ba b aCA BaBACb.第 2 页 共 4 页解：在 ，因此，ABC中 ， 2sinsiinsiabRABA选 说明：正弦定理可以用于解决 角与边的相互转化问题。BC中 ，例 2 在 若 ，且 为锐角，试判断此三角形的形中 ， lglsilgc状。解：由 ，lglsinl2ac得： ，2si4509BBinsaAcC将 代入，得 。1352sini(135)C ， ，故 ，sinicoco09， 是等腰直角三角形。4AB说明：（ 1） 判 断 三 角 形 的 形 状 特 征 ， 必 须 深 入 研
4、 究 边 与 边 的 大 小 关 系 ： 是 否 两 边 相 等 ？是 否三 边 相 等 ？ 还 要 研 究 角 与 角 的 大 小 关 系 ： 是 否 两 角 相 等 ？ 是 否 三 角 相 等 ？ 有 无 直角 ？ 有 无 钝 角 ？（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断。例 3 某人在塔的正东方沿南 西的道路前进 40 米后，望见塔在东北方向上，若沿途测60得塔的最大仰角为 ，求塔高。3解：如图，由题设条件知： ，19603CAB，45105ABC，80851 又 米，在 AB中 ，4s
5、in15i3A ，02sin(4530)2(1)iC在图中，过 作 的垂线，设垂足 ，则沿 测得塔的最大仰角是 ，ABEABCED ，在 中， ，3EDRtCsinsin301()CABCDE北 1.第 3 页 共 4 页在 中，塔高 （米）RtDCE 10(3)tan10(3)tanCED例 4 如图所示，在等边三角形中， 为中心，过 的直线交 于 ，交,ABOABMA于 ，求 的最大值和最小值。N21OM解：由于 为正三角形 的中心， ， ，ABC3Aa6MANO设 ，则 ，在 中，由正弦定理得：23ON， ，sinsin()6OMA36sin()a在 中，由正弦定理得： ，A36sin()aON ，21OMN221sin()i66a221(sin)a ， ，334故当 时 取得最大值 ，2228所以，当 时 ，此时 取得最小值 ,3or23sin421OMN215a六、课练：七、课堂小结：1正弦定理能解给出什么条件的三角形问题？2由于有三角形面积公式，故解题时要注意与三角形面积公式及三角形外接圆直径联系在一起。 八、作业：1在 中，已知 ，试判断这个三角形的形状；ABC22tantBbABCDNA.第 4 页 共 4 页2在 中 ， 若 ， ， 试 判 断 的 形 状 。ABCsin2icosBC22insiinABCAB
