1、 第 1 页 （共 8 页）概率统计随机向量部分测试题（三）一、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分）1、设随机变量 独立同分布，且 ，YX, 3.00YPX，则 （ ）7.01PYPB(A) (B) (C) (D) .585.12、设随机变量 都服从标准的正态分布 则有（ C）, ,0N服 从 正 态 分 布服 从 正 态 分 布 -XBYXA与 有相同的分布 以上均不正确C2 D3、设随机变量 ， 随机变量 ，且21(,)N2(,)YN，则必有（ ）.1YPXPB(A) . (B) . 221(C) . (D) .14、随机变量 独立同分布，且 的分布函数为 ，则, XxF的分布函数为
2、( ) YXZmaxAFA2 yB21CxD15、设二维随机变量 的概率密度为：Y,其 它,01,2yxyf则下列命题正确的（ ）C得 分 评卷人第 2 页 （共 8 页）(A) 独立同分布 (B) 独立不同分布YX, YX,(C) 不独立同分布 (D) 不独立不同分布 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1、设随机变量 独立同分布， 的概率密度为YX,X其 它,02832xxf若 ， 相互独立，且 ,则aXAaYB43BAPa342、随机变量 X 与 Y 独立且服从同一分布，且 X 的分布律为X 0 1P 1/2 1/2则随机变量 Z=max(X,Y)的概率分布为: Z0 1P433、
3、在区间 中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 ”)1,0( 56的概率为 2574、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均均得 分 评卷人第 3 页 （共 8 页）分布，则 = 1,maxYXP95、已知随机变量 XN(-3,1),YN(2,1),且 X,Y 独立，设随机变量 Z=X-2Y+7,则 Z 25,0N三、计算题（每小题 10 分，共 50 分）1、设二维随机变量（X,Y）的概率密度为 其 它 。,0,yxaeyxfy求（1）参数 （2）随机变量 X 的概率密度 （3）概率; ;1xf.YXP解： 000,1 yyy deaeadxedxyfyeayy0所以 1
4、2xedyyxffx,所以 其 它,01efx3122101 edyexdyeYXPyx2、把一枚硬币连掷 3 次，X 表示 3 次中正面向上的次数，Y 表示 3 次中正面向上的次数与反面向上的次数差的绝对值，求的联合概率分布及边缘概率分布。,得分 评卷人得 分 评卷人第 4 页 （共 8 页）解： 可能取点：YX,.3,210;,nmn321,1,00 YXPYXPPP 3,.3,2,1 120,2 YXYX3,.,130,3 YXPYPP所以联合分布律及边缘分布律为：YX 0 1 2 3 jp0 0 0 0 31 3211 0 32 0 0 32 0 30 0 323 0 0 0 31 3
5、ip0 326 0 32 13、设随机变量 X 在区间（0，1）上服从均匀分布，再的条件下，随机变量 在区间（0，x）上服从xX)0(Y均匀分布，求：（1）随机变量 X 与 Y 联合分布；（2）Y 的边缘概率密度.第 5 页 （共 8 页）解：由已知条件得： 其 它,011xf其 它,xyxyfXY所以1其 它,01,1,1 xyxyfxyfXY2,ln,1 ydxffy所以 其 它,0ln2yf4、设随机变量 和 的联合概率分布为XY-1 0 1-1 818180 01 1求：(1) 和 的边缘概率分布,并判断 和 是否独立？XYXY(2) 条件分布律 ；0yxPiYX解：（1）边缘分布率为
6、：X-1 0 1P83 2 3第 6 页 （共 8 页）Y -1 0 1P83 82 83因为 2,0YPXX所以 和 不独立。Y条件分布律为：20YX-1 0 1P21 0 25、设随机变量 相互独立， 的概率分布YX,X的概率密度为 ，记),10(3iXP其 它,01yfYYZ（1）求 ；02XZ（2）求 的概率密度 .zfZ第 7 页 （共 8 页）解： 1210,0,21021XPYXPYXZP的可能取值在 内。其分布函数 。2YXZ,zFZzPzF当 时， 当 时，1;0Z2z;1zZ当 时，有2zzYXPFZ1,i iiizYPXi 1 113zYzz第 8 页 （共 8 页）21
7、,310,113zzzFFYY,z21,3zFZ所以： 其 他,0zfZ四、应用题（每小题 10 分，共 20 分）1、假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间服从参数为 0 的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求该电路正常工作的时间 T 的概率密度 .tfT解： 为第 个电子元件无故障工作的时间，其概3,21iTi率密度均为：其 它,0tetf分布函数为：得 分 评卷人第 9 页 （共 8 页）0,1tetF相互独立。3,21iT当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，所以电路正常工作的时间 .其分布函
8、数321,minTT为：tPtPtTtF 321321 ,i,in31 tFTt0,3te所以电路正常工作的时间 T 的概率密度为：,13tetfT2、设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 20 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 ，且中途下车与否相互独立。以2Y 表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有 30 个乘客的条件下，中途有 10 人下车的概率；(2)二维随机变量( X,Y)的概率分布解：由已知可得： ,210,!2kekPknCnk,（1） ；301230XY（2）第 10 页 （共 8 页）knkenCekXYPnYkXPkkn ,10,!102!0, 20 五、证明题（5 分）设随机变量 X 的概率分布为 问 X.,21xexfx与 是否相互独立？为什么？证明： 11021, edxeXPP112dxeX111edxeP因为 1,122111 XPeeXP所以 X 与 不相互独立。得 分 评卷人
