1、1第七章 数学物理定解问题（1）依据物理规律（同一类物理现象的共同规律） ，将具体的物理问题化为数学问题数学物理方程，称此方程为泛定方程（共性，一般规律） 。（2）列出具体问题的初始条件（历史状态）和边界条件（所处环境）称为定解条件（个性） 。（3）泛定方程提供解决问题的依据，定解条件提出具体的物理问题，作为一个整体，叫做定解问题。【定解条件：边界条件与初始条件物理规律用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程泛定方程（不带定解条件的数学物理方程）定解问题：在给定的定解条件下求解数学物理方程】7.1 数学物理方程的导出本小结导出的偏微分方程主要分为三类（）以波动方程（1-6，14）为代表的双曲型方
2、程；2齐次方程 ，22220(7)uuatx其中 ，就是振动在弦上传播的速度。上式也Ta2称为弦不受外力的横振动方程（自由振动方程）比如弦在振动过程中还受到外加横向力（与 同方向）的作用，引入力密度),(txF2T/),(, txFtf（7）修改为（8）),(2 txfuauxt （7）称为弦的自由振动方程，（8）称为弦的受迫振动方程。再比如考虑重力，作用在此段上的重力为 ，则gdx，重力与 同向。则有：txudTgdx1T。2t xaug3（）以输运方程（扩散，热传导，7，8）为代表的抛物型方程；， （7.1.25）02uaut )(2Da如果仅在 x 方向有扩散，则一维扩散方程为， （7.
3、1.26）02xtuau )(2a（iii）稳定场问题（Poisson and Laplace equations）（九）稳定的浓度分布 见 P147-148浓度在空间的分布构成一个标量场，在一般情况下，浓度分布 是时间的函数，遵从扩散方程),(tzyxu，),(2 tzFaut )(2Da如果扩散源强度 不随时间变化，扩散运动将),yx持续进行下去，最终将达到稳定状态。空间中各点的浓度不再随时间变化，即 ，则上式变为泊松方0tu程（7.1.39）DzyxFazyxFu),(),(24为泊松（Poisson）方程如果源与汇不存在，则得到 Laplace 方程：。 （7.1.40）0u为 Lap
4、lace 方程。7.2 定解条件泛定方程表达同一类现象的共同规律。从物理的角度看，仅有方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到的外界作用有关。另外，从数学的角度看，一个微分方程的通解中往往含有若干个任意常数或任意函数，这就使得其解不能唯一确定，为了得到唯一确定的合理解，我们必须根据不同的实际问题加上相应的条件定解条件来确定这些任意常数的数值和任意函数的形式。定解条件即是初始条件和边界条件的统称，求解一个数理方程且满足一定定解条件的解的问题称为“定解问题” 。（一） 初始条件某时刻，通常取 t=0 时，作为初始条件。1.波动方程的初始条件初始条件表示如下：5t=0
5、 时刻系统中各0(,)|(,)tuxyzxyz点“位移”t=0 时刻各点的0(,)|(,)t tuxyzxyz“速度”2.输运方程的初始条件（如浓度温度等）0(,)|,tuxyzxyz没有初始条件的问题 见 P154-155稳定场方程 无需提初始条件（二） 边界条件第一类边界条件 或常数00,(,)|(,)yzuxyztfyz边 界 x弦的横振动：如果弦的两端固定，其边界条件为， 。0),(xtu 0),(lxtu1.第二类边界条件或常数,0 0| (,)yzufyzn边 界 xx即 u 在边界外法线方向上方向导数值.6表示外法线方向的单位矢量。n在一维问题中常以 代替。uux热传导举例 设流
6、入物体内的热流（单位时间通过单位截面积的热量）为 f(t),则边界条件为：|()uKftn边 界流出：则有 | ()uKftn边 界具体到细长杆的热传导问题，如一端面 x=0 流入热流为 ，另一端(x=l)流出热流为 ，于是1()t2()t，1|()uKtnx=0 2|()uKtnx=l例 考虑长为 的均匀杆的导热问题，若l（1）杆的两端温度保持零度；（2）杆的两端绝热；(3)杆的一端为恒温零度，另一端绝热；试写出该导热问题在以上三种情况下的边界条件。解：设杆的温度为 u(x,t)则（1） 0|,|0xxluu（2）因为当沿着杆长方向有热量流动时由 Fourier7实验定律（2.1.7）有，0
7、|()xuqk|xluqk其中 q 为热流强度，而杆的两端绝热，就意味着杆的两端与外界没有热交换亦即没有热量的流动（q=0） ，故有 0|,|0x xluu（3）显然，此时有 0|,|0xxluu（三） 定解问题的表述所谓定解问题，就是根据物理规律，分析问题的性质、条件等导出相应的方程（泛定方程）和应满足的初始条件，边界条件等（定解条件） 。泛 定 方 程 共 同 规 律 的 一 面初 始 条 件定 解 问 题 定 解 条 件 边 界 条 件 特 殊 具 体 的 一 面衔 接 条 件解的适定性：有解，唯一性，稳定性。87.4 达朗内尔公式（又叫行波法，定解问题）本节只要求掌握：在无界的情况下一
8、维波动方程初值问题的 Dalembert 公式及其物理意义。（一）定解问题我们研究弦、杆、传输线等是“无限长的” ，即在不存在边界条件，只存在初始条件。研究这样的定解问题或写成20(,)()(2)3,0,txtuaxta 2200|()|ttuuaxu（此为双曲型波动方程，见 P164-165）(二） 求通解11(,)()()()22xattuxtxatxat d此即一维无界波动方程的 dAlembert 公式/解。9例 1 求定解问题 220(,0)sin(,)t xtuauxux解：由 dAlembert 公式 2211sin()sin()sinco(3)22xatt tuxatxatdx
9、axat数学物理定解的定解问题的求解方法1.行波法2.分离变量法3.幂级数的解法4.Green 函数法5.积分变换法6.保角变换法7.变分法8.数值计算法10第八章 分离变数法（Fourier 级数法）基本思想：把偏微分方程分解为几个常微分方程。其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。本征值问题是分离变数法的核心。本章仅限于本征函数为三角函数的情况。主要介绍：一维波动方程、热传导方程和二维稳态场方程的解法。（8.1）本小节总结一. 分离变数法的思想、步骤1. ()()uXxYy2. 本征值问题 = 本征值 本证函数 本征解3. 叠加（得到一般解）用初始条件或非齐次边界条件确定系数二.
10、本征值问题（1）见21,23()()00, ()sinnnXxxll xXxcl11P143 介绍部分（2）20,12()()00, ()cosnnnXxxll xXxl见 P147 例 1（3）2 2()()00,1() 0,124(21)()sinnnXxxl nllxXxcl 见 P150 例 2（4） 未讲22()()00,1() 0,124(1)()cos2nnnxxXlnnllxXxl （5）()()00, ()0XxXlHXx 未讲12（6） 2() (0,12)(2)()cossinnnAB 三. 研究内容本节主要研究了齐次方程的定解问题，求本征值问题中用到（且限于）齐次边界条
11、件，具体包括：一维波动和一维热传导（有界，含时） ，二维稳定场（有界，不含时）四. 矩形区域内的稳定问题（例 3）叠加原理：（思想） 000|,| ()|,|(,),xyxxayybuuuybuUxauxyxyxy 即1300000|,| |,|0|,| |,|xy xyxxa xxayyb yybuuuU 五. （以上所有求解均是在直角坐标系下的讨论）曲线正交坐标系中的 表达式u（1）柱坐标系 中：()z2 2211uuuz（2）在平面极坐标系中 (,2 2 21111()uuuu重点研究了： ()()uR()(2) 0RR处理了圆域稳定场问题的分离变数法。14（3）在球坐标系中 (,)r
12、222 2 2111()(sin)sinsinuuuurrr r8.2 非齐次振动方程和输运方程本节：非齐次振动方程和输运方程的定解问题的解法(仅限于齐次的边界条件)（一） （Fourier 级数法）本征函数法强迫振动是一个非齐次方程。设弦长为 ，两端固定。l垂直方向受的外力分布为： 。起(,)(,)Fxtfxt始位移为 ，初始速度为 ，则定解问题的表述()x为： 20 0(,),0,()()txx xlttuaftxltux 15现用本征函数法求解：Step（1）：确定本征函数（要点：根据定解问题确定相应的本征函数）根据相应的齐次方程 在分离变量后（20txua）与相应的齐次边界条件（2）式
13、构成本()uXxTt征值问题 2,(1,23)0(0),()sin()(4nnXll xXl 归 一 化 函 数Step（2）：按本征函数展开将 ，非齐次项 皆按本征函数（ 4）展开，),(txu),(txf即：（5）1(,)()sinnnxuxtTtl（即 Fourier 系数不是常数，而是 t 的函数，记为）()nTt（6）1(,)()sinnnxfxtftlf（x，t）是给定的，故1602(),sindlnftftl l同理： 010u(0)sin()2()sid(7)nt ln nxTl Al t010u()sin()2()sid(8)nln nxTlBl要求 u，实际就是求 。 （看
14、（5）式）()nTtStep（3）：求 。nt将（5）（8）式代入定解问题有： 21 12()()sin()sin()()()(0),(0)n n nn nnnnnaxxTtTt ftl l lt tftlTATB 用 laplace 变换求解此常微分方程（见P120、P 122、P 128） 。17如下：nn()()TpLTtnn()()Fft22n nn()(0)()()()nnapTpTTpFpln n21()()(0)()(9)nnFpnapl （利用导数定理： ）(2)2()(0)()Lftpfff又因为： 2222221sincoslatLnanalpl natLnalpl （又利
15、用卷积定理：P 121 ， 1212()()()()Lftftfpfp18）12120()()()()tftftfftd由卷积定理，对(9)做反演：n0()()()sin()cossin(0)(10)tnn nl atTtf dalt atTl l 将 代入（5）式中就得：n()Tt10110101(,)()sin()()si sin+()cos(0)sisin(1)()sinsin2+()sidcosntnnn ntnnlnxuxttll at xf dallt atxTTl lll at xfallatl 0()sinsinsinl ltxalll【第二部分是齐次方程的解见 P184： 1
16、902()sindlnAl0()silnBal第一部分则是由于外力引起的贡献。 】（二）解题思想和步骤（本征函数法）总结思想：通过引入按本征函数展开的试探解，将非齐次的偏微分方程定解问题的求解，转化为非齐次的常微分方程的求解。（说明：齐次方程+齐次边界条件也可用 Fourier 级数法）（二）冲量定理法例如，初始条件不为零的两端固定弦的受迫振动，定解问题可表述为： 200(,),()()txxlttuaftu既可用本征函数法直接求解。也可：则可用叠加原理把它分解为两个定解问题，即 (,)(,)(,)IIuxtuxtuxt并且 uI，u II分别满足：202 20 00 00(,), ,(),(
17、),II IItx txII I Ixl xxlI I I It tt tuauaftu ux （8.1 节 分离变量法） （冲量定理法）（冲量定量法的前提：其它定解条件都是齐次的，否则就按叠加原理进行分解。边界条件可为第一、二、三类齐次边界条件。 ）冲量定理法要求 123非 齐 次 的 泛 定 方 程齐 次 边 界 条 件齐 次 初 始 条 件下面以受迫振动问题为例讨论冲量定理法： 200(,) ,0) (1 2 , (3)txxlttuaftltu非齐次项 表示作用力（单位长度、单位质量） ，(,)fx因此 对时间 t 的累积表示冲量。,ft21如： 表示在 时间内的冲量（阴影面积） 。(
18、,)fxdd这个冲量使系统的速度有一改变量。因 是单位(,)fxt质量受的外力，由 ，知道(,)()fxmv表现为速度的改变量。(,)fxd现在把 内速度的改变量认为是在 时刻瞬间 t得到的，而 的其余时间则认为没有冲量作用（即没d力的作用） ，故方程应是齐次方程。在 时刻集中得t到的速度可置于初始条件中。故在 的时间内， 满足的定解td(),uxt问题： ()2()() ()0() () 0, ) (1 , ( 2 , ,) (0) (3t xx xltt tuaultdtuufdxl t0fx,tfx,t22易看出， 理解为“来不及 ”产生位移；()0tu必含有因子 ，若设 ，则()u d
19、(),;)(,;)uxtvxtd 上述定解问题变为： 20 (0,) (4 , (5) (,) 0(6txx xlttvaltvvvfxl 因 表示 内的解，在从 的解应是所有(),;uxdt的叠加。当 时有：()t 0()0 0,lim,;lim(,;)(,;)(7)t t tod duxtuxtvxdvxd 即把持续作用力 看作是所有“瞬时力 ”引起(,)ft ,ft的振动的叠加。小结：冲量定理法物理内涵：把连续的冲量作用视作许多不连续的集中冲量作用（即分解为许多脉冲） 。 tfx,t0123n。 。 。 。 。23的非齐次方程定解问题(,)uxt的齐次方程定解问题(,)vxt分离变数法
20、本征函数法把解中的 更换为 ,因为这里的时间起点tt是 .t(,)(,;)touxtvxd200cosint(0,0),txxxltt xuaAxltuu 解：应用冲量定理法，变为 v 的定解问题：2420 (0,),0 (,cosin0)txxxlttva xltvxvAxll 参见 P168 例 2，分离变数法求解齐次方程的定解问题，得到本征解： 000()cossin()cos (n=1,2)nnvXTABtnaaxBtl ll所有本征振动的叠加成为一般解，即 00 1()cos()sin()cosn naanxvABtAtBtl ll 再由初始条件定出积分常数为： 0010101cos
21、 cosincos, si, (n=2,3)nt nt nnAxvAlx axv Bl llABa 于是， sinsi()coslaxv tll再由（7）式得： 0 02(,)(,;)cosinsi()1 (ini)cot tAlxauxtvxd tdallAl taxtallll 25（易看出，此解有共振的性质。当强迫力的频率 等于本征频率 时，振幅无限大。sincoxAlal）冲量法亦可用于求解非齐次的输运方程（证明略：可参见书上 P212-P213）即有：200(,)(0,0), t xx xltuauftxltu“瞬时热源”变为： 200 (,), (,) txxxltvaxltvvf
22、 求出 v 后，再由 得到 u。0(,;)tuvxtd例 2 （见书 P214 例 3） （讲简要过程）20sin(0,0), txxxltuaAtxltuu26解：定解问题转化为： 200 , sin txxx ltvavvA由本征值问题 0 (0,123) se P170(0),()nnnXXl 20+nnnTavXT 再由初始条件定积分常数，最后： 0tuvd总之，对齐次方程及齐次边界条件的定解问题，可直接用分离变量法或用傅里叶级数法；对于非齐次方程及齐次边界条件的定解问题，可用傅里叶级数法（若初始条件同时为零，可用冲量定理法） ；对非27齐次边界条件的定解问题，首先要将非齐次边界条件齐
23、次化，然后用傅里叶级数法。第九章 二阶常微分方程的级数解法与本征值问题要求解带初始条件的线性二阶常微分方程： 0001()() () , ypxyqxycc其中， 为任意指定点， 、 为常数。x级数解法：就是在某个任选点 的邻域上，把待求0x的解表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数。（一）方程的常点和奇点常点： 和 在选定的点 的邻域中是解析的，则()pzq0z是方程（2）的常点0z奇点：如 点是 或 的奇点，则 点是方程（2）0z()pzq0z的奇点（二）常点邻域上的级数解把此唯一的解析解表示成 点邻域上的 Taylor 级数0z28形式： 00()() (3)kkwzaz式中 为待
24、定系数。ka9.3 正则奇点邻域上的级数解法(一) 奇点邻域上的级数解见 P195 （略讲）()()0wpzwqzw 设 点是 q(z) 或 p(z)的奇点，则亦是方程的奇点。0z解在点 邻域上的展开式不是 Taylor 级数，而应含有负幂项。（略去证明）：在点 的邻域 上，给出0zRz0的两个线性无关解的级数形式为：11 0()()skkkwzaz22 0()()skkkzbz或 22100()()ln)()skkwzAzzbz其中 、 、 、 、 （k=0,1,2,3）为待1s2ska定常数。29可以看出，、这两个解均有无穷多的负幂项，难求系数。如果是正则奇点，则这两个级数解变成有限负幂项
25、。这种解称为正则解。(二) 正则奇点邻域上的级数解1）若 是方程的奇点，且 最多是 的一0z 0z)(zp阶极点， 的二阶极点，即)(q，10)()(k kkzpzp（9.3.5）20)()(k kkzqzq则 称为方程的正则奇点。0z2）在 的邻域 上，方程 的两个线性无关Rz0解的级数表达式：（只含有限个负幂项）11 00()()skkkwzaz22 00()()skkkzbz30或 221000()()ln)()skkwzAzzbz其中 、 是“ 判定方程”：1s2s的两个根。0)( 21qsps且 2 201202100120(),(,)()()ln)(),(0,12,)skk skkbzswzAzzbzs 其中系数 、 、 、 等由把上述解代入原方程逐个kb1s2s确定。举例：第十章 球函数7-3 轴对称球函数球函数方程（9.1.37）0)1(sin1sinsi122YlY的解 称为球函数。把（9.1.37）进一步分离变),(数
