1、离散数学课后答案第 2 章 习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全 总个体域. (1) 令 是鸟xF:)(会飞翔.G命题符号化为.)(xGFx(2)令 为人.xF:)(爱吃糖xG:命题符号化为 )(xGFx或者 )()(xx(3)令 为人.xF:)(爱看小说.G命题符号化为.)(xGFx(4) 为人.xF:)(爱看电视.G命题符号化为.)()(xGFx分析 1如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的 都是特性谓词。)(xF2 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 )(xGFx即用合取联结词取代蕴含联结词，这
2、是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。 ”因而符号化应该使用联结词而不能使用 。若使用 ，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。 ”这显然改变了原命题的意义。3 （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2） ， （4）中两公式各为等值的。2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(xF其中 此命题在 中均为真命,12)1(:2xxF )(,cba题。（2） 在 中均符号化为)(,cba)(xG其中 ，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中02:)(xG均为真
3、命题。（3）在 中均符号化为)(,cba)(xH其中 此命题在 中均为假命题，在(c)中.15:)(xH,ba为真命题。分析 1命题的真值与个体域有关。2 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题“人都呼吸” 。在个体域为人类集合时，应符号化为 )(xF这里， 呼吸，没有引入特性谓词。xF:)(在个体域为全总个体域时，应符号化为 )(xGFx这里， 为人，且 为特性谓词。 呼吸。xF:)() x:)(23 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。（1） 令： 是大学生， 是文科生， 是xF:)( xG:)( xH:)(理科生，命题符号化为 )()(xHx（2）令 是人， 是化，
4、喜欢，命题符 xF:)(yG:号化为 ),()()(yxHyx（3）令 是人， 犯错误，命题符号化为xF:)(xG:)(),(F或另一种等值的形式为 )(xGx（4）令 在北京工作， 是北京人，命题符号xF:)( :化为 ),(xGFx或 ),()(xx（5）令 是金属， 是液体， xyH:),(溶解在xF:)(yG:y 中，命题符号化为 ).,()()(yxyx（6）令 与 y 是对顶角， H:与 y 相等，命题xF:)(符号化为 ).,(),(yxFyx分析 （2） ， （5） ， （6）中要使用 2 无谓词，用它们来描述事物之间的关系。2.4 （1）对所有的 x，存在着 y，使得 ，在0
5、yx中为真命题，在 中为假命题。)(,ba)(,dc（2）存在着 对所有的 y，都有 ，在 中为,x0yx)(,ba真命题，在 中为假命题。)(,dc（3）对所有 x，存在着 y，使得 ，在 中均1yx)(,c为假命题，而在 中为真命题。)(d（4）存在着 x，对所有的 y，都有 ，在1yx中都是假命题。)(),(dcba（5）对所有的 x，存在着 y，使得 在 中xy )(),(dcba都是真命题。（6）存在 x，对所有的 y，都有 ，在 中为真xy)(,命题，在 中为假命题。)(dc（7）对于所有的 x 和 y，存在着 z，使得 ，在zyx中为真命题，在 中为假命题。)(,ba)(dc2.
6、5 （1）取解释 为：个体域 （实数集合） ，1IRD为有理数， 能表示成分数，在 下，xF:)( xG:)( 1I的含义为)(“对于叙何实数 x 而言，若 x 为有理数，则 x 能表示成分数” ，简言之为“有理数都能表示成分数。 ”在此蕴含式中，当前件 为真时，后件 也为真，不会出现前件)(xF)(xG为真，后件为假的情况，所以在 下， 为真命1I)(xGF题。在在 下， 的含义为1I)(xGFx“对于任何实数 x,x 既为有理数，又能表示成分数。 ”取 ，则 显然为假，所以，在 下，2x)2()(g1I为假命题.)(GF(2) 取解释 为:个体域 D=N(自然数集合), 为奇2I xF:)
7、(数, 为偶数,在 下, 的含义为xG:)(2I)(xGFx“存在自然数 x,x 发既为奇数，又为偶数。 ”取 ，则 为假，于是 为真，这表明2x)(F)2(为真命题。)(GF分析 本题说明 ),()( xGFxx)GF这里， 表示 A 与 B 不等值，以后遇到 ，含义相同。在一阶逻辑中，将命题符号化时，当引入特性谓词（如题中的 之后，全称量词 后往往使用联结词而不)(xF使用 ，而存在量词 后往往使用 ，而不使用，如果用错了，会将真命题变成假命题，或者将假命题变成真命题。26 在解释 R 下各式分别化为（1） );0(x（2） y（3） );()(zyxzx（4） .2y易知，在解释 R 下
8、， （1） ， （2）为假；， （3） （4）为真。27 给定解释 为：个体域 D=N（自然数集合） ，I为奇数， 为偶数。xF:)(xG:)(（1）在解释 下，公式被解释为I“如果所有的自然数不是奇数就是偶数，则所有自然数全为奇数，或所有自然数全为偶数。 ”因为蕴含式的前件为真，后件为假，所以真值为假。（2）在 下，公式解释为I“如果存在着自然数为奇数，并且存在着自然为偶数，则存在着自然数既是奇数，又是偶数。 ”由于蕴含式的前件为真，后件为假，后以真值为假。分析 本题说明全称量词对析取不满足分配律，存在量词对合取不满足分配律。2.8 令 在 A 中，无自由出现),()(yxLGxFyA的个体
9、变项，所以 A 为闭式。给定解释 ：个体域 D=N（整数集合） ， 为正数，1I xF:)(为负数， ，在 下，A 的含义为xG:)( yxL:),(1I“对于任意的整数 x 和 y，如果 x 为正整数，y 为负整数，则 。 ”yx这是真命题。设解释 ：个体域 D=R（R 整数集合） ， 为有理数，2I xF:)(为无理数， ，在 下，A 的含义为yG:)( yxL:),(2I“对于任意的实数 x 和 y，如果 x 为有理数，y 为元理数，则 。 ”yx这是假命题。分析 闭式在任何解释下不是真就是假，不可能给出解释 I, 使得闭式在 I 下真值不确定，这一点是闭式的一个重要特征。而非封闭的公式
10、就没有这个特征。2.9 取 和 ，则 和 都),(,(1yxgfLA),(2xyfA1A2是非土产的公式，在 中，x, y 都是自由出现的，在 中，1y 是自出现的。取解释 I 为，个体域 D=N（N 为自然数集合） ，为 。在 I 下， 为yxgyxf ),(),( ),(Lyx1A为假，所以在 I 下， 真值不确定，即在 I 下 的 1A2真值也是命题。在 I 下， 为 当 时，它为真； 时为2A),(xy00y假，在 I 下 的真值也不确定。分析 非闭式与 闭式的显著区别是，前者可能在某些解释下，真值不确定，而后者对于任何解释真值都确定，即不是真就是假。当然非闭式也可以是逻辑有效式（如
11、） ，也可)(xF能为矛盾式（如 ，也可能不存在其值不确定的解)()(xF释。210 （1）（消去量词等值式）)()()(cAbaxA（德摩根律）（消去量词等值式）)(xA（2）（消去量词等值式）)()()(cAbax（德摩根律）A（消去量词等值式）)(x211 （1） 令 为人。xF:)(长着绿色头发。xG:)(本命题直接符号化验为)(xFx而 )G（量词否定等值式）(xx（德摩根律）)(F（蕴含等值式）(xGx最后一步得到的公式满足要求（使用全称量词） ，将它翻译成自然语言，即为“所有的人都不长绿色头发” 。可见得“没有人长着绿色头发。 ”与“所有人都不长绿色头发。 ”是同一命题的两种不同
12、的叙述方法。（2）令 是北京人xF:)(去过香山。xG:)(命题直接符号化为)()(xFx而 )()(xGFx（双重否定律）)（理词否定等值式）)()(xx（德摩根律）GF（蕴含等值式）)(xx最后得到的公式满足要求（只含全称量词） ，将它翻译成自然语言，即为“并不是北京人都去过香山。 ”可见， “有的北京人没过过香山。 ”与“并不是北京人都去过香山。 ”是同一命题不同的叙述方法。2.12 （1） )()(yGxF.)( cbcbaF（2） )(yx（量词辖域收缩扩张等值式）)(G).()()cbacFba（3） ,(yxH),(),(cx,(xba),),(cHbH(,(c分析 在有穷个体域
13、内消去量词时，应将量词的辖域尽量缩小，例如，在（2）中，首先将量词辖域缩小了（因为 中不含 x，所以，可以缩小） 。否则，演算是相当麻)(yG烦的。见下面的演算： )()(yxF)()()( yGcFybFGa )(c)bF)(cGbac.)显然这个演算比原来的喾算麻烦多了。2.13 在 I 下（1） )(xGFx)6()3(2) GF,01(0(所以， 在 下为假。)xGFxI（2） 5()(R0)6()32( FRF,0)1()1所以，此公式在 I 下也是假命题。（3） )(xGFx（量词分配等值式）) )3()2()6(32( G,10)1所以，此公式在 I 下为真214 （1） ),(
14、)(yxGxF（量词否定等值式）（约束变项换名规则）),()(yxz（量词辖域收缩扩张等值式）GFy),()(yxz（2） ),(),(yxGyxF),(),(221zxyz2GF在以上演算中分别使用了德摩根律、量词否定等值式、约束变项换名规则等。分析 公式的前束范式是不唯一的。 （1）中最后两步都是前束范式，其实 )(zFy也是（1）中公式的前束范式。),(yxG215 （1） ),()(yxxFzG),()(yxy（2）),(),()( zyxHzyxGFxvu),(),()( zyxyxvHGF在以上演算中分别使用了自由变项换名规则和量词辖域收缩扩张等值式。2.16 （1）错。使用 UI
15、，UG，EI，EG 规则应对前束范式，而中公式下不是前束范式，所以，不能使用 UI规则。（2） 。中公式为 ，这时， ，因而)(xA)()(xGFxA使用 UI 规则时，应得 （或 ） ，故应有 而不ay,a可能为 ).(bGaF（3）错。应对 使用 EG 规则，其中 c)()(cGFcA为特定的使 A 为真的个体常项，而不能为个体变项。（4）错。中公式含个体变项 x，不能使用 EG 规则。（5）错。公式含两个个体常项，不能使用 EG 规则。（6）错。对使用 EI 规则得 ，此 c 应使)(GcF为真，此 c 不一定使 为真。)(cGF)(RH分析 由于的错误，可能由真前提，推出假结论。反例如
16、下：设个体域为自然数集合 为偶数， 为素数，xFN:)(. xG:)(能被 3 整除， 能被 4 整数，显然此时，xH:)( xR:)(与)(xGF)(H均为真，但 为假。其实在（6）中，应为)(xF，它是真命题，而 为假命题。对)2( )2(R使用 EI 规则，得 才为真。所以，对xRHx 1H两个公式使用 EI 规则使用同一个个体常项是会犯错误的。2.17 （1）证明 前提引入)()()( yRGyFx 前提引入 假言推理)()(yy EI)cF 附加(G UI)()cRc 假言推(R理 EG )(x（2）证明： 前提引入)(xF EIc 前提引入)()(xRyGx UI)()cRyGcF
17、 假言推理 化简)(cR 合取F EG )(xx218 令 是大熊猎。:产在中国。xG)(欢欢:a前提： )(,()(aFxx结论： G证明： 前提引入)(xFx 前提引入)a UI(G 假言推)理219 令 为有理数。xF:)(为实数。G为整数。xH:)(前提： ).(),( xHFxF结论： .Gx证明： 前提引入)()()( yRGyFx 前提引入 假言推理)()(yy EI)cF 附加(G UI)()cRc 假言推(R理 EG )(x（2）证明： 前提引入)(xHF EIc 前提引入)(xGx UI)cF 化简( 假言推)cG理 化简)(cH 与合取G EG)(xx分析 在以上证明中，
18、不能如下进行。 前提引入)(xHFx 前提引入G UI)(c EIHF至此，可能犯了错误，在中取 则 为,2c)2()(GF真，但 为假，就是说，由 UI 规则得到的 c 不一)2()(E定满足 EI 规则，但反之为真，这一点务必注意。2.20 答案 A：； B：分析 （7）式为非闭式，在个体域为整数集 Z 时，的真值不能确定，当 时为真，当 时为假，)(xy1y1y所以，它不是命题，其余各式都是命题。 （5）虽然不是闭式，但它为真。221 答案 A：； B：， C：； D：分析 注意约束变项和自由变项改名规则的使用。供选答案中， （1）的前束范式只有一个，就是。而的前束范式有 3 个，当然它
19、们都是等值的。 （3）的前束范式有2 个，就是和。注意，在（3）式中， 的辖域为x，这就决定了它们的前束范式为),(),(yxGyxF， （将自由出现的 y 改名为 z）),(z但由于 ),(),(yxGzFxy),(),(yxGzFyx所以，也是（3）的前束范式。222 答案 A：。分析 （1） ， （4）正确；可以构造证明。（1）证明： 前提引入)(yF EIc 前提引入)(xGx UI)cF 假言推(理 EG)(yG注意应先使用 EI 规则。（4）证明： 前提引入)(xHFx UI)y 前提引入( 拒取式)yF UG(x(2),(3)推理不正确,只要举出反例即可.在自然数集合中,令 是偶数, 是素数,则xF:)( xG:)(为真命题,而 为假命题,所以, )(xGFxy不是逻辑有效蕴含式,这说明(2)是推)(xGFx)(yF理不正确,读者可举反例说明(3)中推理也不正确.2.23 答案 A: B: C: D:
