数学圆周率.doc

1、圆 周 率 圆 周 率 是 一 个 常 数 （ 约 等 于 3.1415926） ， 是 代 表 圆 周 长 和 直 径 的 比 例。 它 是 一 个 无 理 数 ， 即 是 一 个 无 限 不 循 环 小 数 。 但 在 日 常 生 活 中 ， 通 常 都用 3.14 来 代 表 圆 周 率 去 进 行 计 算 ， 即 使 是 工 程 师 或 物 理 学 家 要 进 行 较 精 密的 计 算 ， 也 只 取 值 至 小 数 点 后 约 20 位 。 (pai)是 第 十 六 个 希 腊 字 母 ， 本 来 它 是 和 圆 周 率 没 有 关 系 的 ， 但 大 数学 家 欧 拉 在 一 七

2、三 六 年 开 始 ， 在 书 信 和 论 文 中 都 用 来 代 表 圆 周 率 。 既 然他 是 大 数 学 家 ， 所 以 人 们 也 有 样 学 样 地 用 来 表 示 圆 周 率 了 。 但 除 了表 示 圆 周 率 外 ， 也 可 以 用 来 表 示 其 他 事 物 ， 在 统 计 学 中 也 能 看 到 它 的 出 现 。 =Pai（ =Pi） 古 希 腊 欧 几 里 德 几 何 原 本 （ 约 公 元 前 3 世 纪 初 ） 中 提 到 圆 周 率 是常 数 ， 中 国 古 算 书 周 髀 算 经 （ 约 公 元 前 2 世 纪 ） 中 有 “径 一 而 周 三 ”的 记 载

3、， 也 认 为 圆 周 率 是 常 数 。 历 史 上 曾 采 用 过 圆 周 率 的 多 种 近 似 值 ， 早期 大 都 是 通 过 实 验 而 得 到 的 结 果 ， 如 古 埃 及 纸 草 书 （ 约 公 元 前 1700） 中 取pi=（ 4/3） 4 3.1604 。 第 一 个 用 科 学 方 法 寻 求 圆 周 率 数 值 的 人 是 阿 基 米德 ， 他 在 圆 的 度 量 （ 公 元 前 3 世 纪 ） 中 用 圆 内 接 和 外 切 正 多 边 形 的 周 长确 定 圆 周 长 的 上 下 界 ， 从 正 六 边 形 开 始 ， 逐 次 加 倍 计 算 到 正 96 边

4、形 ， 得 到（ 3+（ 10/71） ） （ 3+（ 1/7） ） ， 开 创 了 圆 周 率 计 算 的 几 何 方 法 （ 亦称 古 典 方 法 ， 或 阿 基 米 德 方 法 ） ， 得 出 精 确 到 小 数 点 后 两 位 的 值 。 中 国 数 学 家 刘 徽 在 注 释 九 章 算 术 （ 263 年 ） 时 只 用 圆 内 接 正 多 边 形就 求 得 的 近 似 值 ， 也 得 出 精 确 到 两 位 小 数 的 值 ， 他 的 方 法 被 后 人 称为 割 圆 术 。 他 用 割 圆 术 一 直 算 到 圆 内 接 正 192 边 形 ， 得 出 根 号 10 （ 约 为

5、 3.16） 。 南 北 朝 时 代 著 名 数 学 家 祖 冲 之 进 一 步 得 出 精 确 到 小 数 点 后 7 位 的 值（ 约 5 世 纪 下 半 叶 ） ， 给 出 不 足 近 似 值 3.1415926 和 过 剩 近 似 值 3.1415927， 还 得 到 两 个 近 似 分 数 值 ， 密 率 355/113 和 约 率 22 7。 他 的 辉 煌 成 就 比欧 洲 至 少 早 了 1000 年 。 其 中 的 密 率 在 西 方 直 到 1573 才 由 德 国 人 奥 托 得 到， 1625 年 发 表 于 荷 兰 工 程 师 安 托 尼 斯 的 著 作 中 ， 欧

6、洲 不 知 道 是 祖 冲 之 先 知道 密 率 的 ， 将 密 率 错 误 的 称 之 为 安 托 尼 斯 率 。 阿 拉 伯 数 学 家 卡 西 在 15 世 纪 初 求 得 圆 周 率 17 位 精 确 小 数 值 ， 打 破 祖冲 之 保 持 近 千 年 的 纪 录 。 德 国 数 学 家 柯 伦 于 1596 年 将 值 算 到 20 位 小 数 值 ， 后 投 入 毕 生 精 力， 于 1610 年 算 到 小 数 后 35 位 数 ， 该 数 值 被 用 他 的 名 字 称 为 鲁 道 夫 数 。 无 穷 乘 积 式 、 无 穷 连 分 数 、 无 穷 级 数 等 各 种 值 表

7、 达 式 纷 纷 出 现 ， 值 计 算 精 度 也 迅 速 增 加 。 1706 年 英 国 数 学 家 梅 钦 计 算 值 突 破 100 位小 数 大 关 。 1873 年 另 一 位 英 国 数 学 家 尚 可 斯 将 值 计 算 到 小 数 点 后 707位 ， 可 惜 他 的 结 果 从 528 位 起 是 错 的 。 到 1948 年 英 国 的 弗 格 森 和 美 国 的 伦奇 共 同 发 表 了 的 808 位 小 数 值 ， 成 为 人 工 计 算 圆 周 率 值 的 最 高 纪 录 。 电 子 计 算 机 的 出 现 使 值 计 算 有 了 突 飞 猛 进 的 发 展 。

8、 1949 年 美 国 马里 兰 州 阿 伯 丁 的 军 队 弹 道 研 究 实 验 室 首 次 用 计 算 机 （ ENIAC） 计 算 值 ，一 下 子 就 算 到 2037 位 小 数 ， 突 破 了 千 位 数 。 1989 年 美 国 哥 伦 比 亚 大 学 研究 人 员 用 克 雷 2 型 和 IBM VF 型 巨 型 电 子 计 算 机 计 算 出 值 小 数 点 后 4.8亿 位 数 ， 后 又 继 续 算 到 小 数 点 后 10.1 亿 位 数 ， 创 下 最 新 的 纪 录 。 至 今 ， 最新 纪 录 是 法 国 一 工 程 师 将 圆 周 率 算 到 小 数 点 后

9、27000 亿 位 亿 位 。 在 历 史 上 ， 有 不 少 数 学 家 都 对 圆 周 率 作 出 过 研 究 ， 当 中 著 名 的 有 阿 基 米德 （ Archimedes of Syracuse） 、 托 勒 密 （ Claudius Ptolemy） 、 张 衡 、祖 冲 之 等 。 他 们 在 自 己 的 国 家 用 各 自 的 方 法 ， 辛 辛 苦 苦 地 去 计 算 圆 周 率 的 值。 下 面 ， 就 是 世 上 各 个 地 方 对 圆 周 率 的 研 究 成 果 。 亚 洲 ： 中 国 ： 魏 晋 时 ， 刘 徽 曾 用 使 正 多 边 形 的 边 数 逐 渐 增 加

10、 去 逼 近 圆 周 的 方 法 （ 即“割 圆 术 ”） ， 求 得 的 近 似 值 3.1416。 汉 朝 时 ， 张 衡 得 出 的 平 方 除 以 16 等 于 5/8， 即 等 于 10 的 开 方（ 约 为 3.162） 。 虽 然 这 个 值 不 太 准 确 ， 但 它 简 单 易 理 解 ， 所 以 也 在 亚 洲 风行 了 一 阵 。 王 蕃 （ 229-267） 发 现 了 另 一 个 圆 周 率 值 ， 这 就 是 3.156， 但没 有 人 知 道 他 是 如 何 求 出 来 的 。 公 元 5 世 纪 ， 祖 冲 之 和 他 的 儿 子 以 正 24576 边 形 ，

11、 求 出 圆 周 率 约 为 355/113， 和 真 正 的 值 相 比 ， 误 差 小 于 八 亿 分 之 一 。 这 个 纪 录 在 一 千 年 后 才 给打 破 。 印 度 ： 约 在 公 元 530 年 ， 数 学 大 师 阿 耶 波 多 利 用 384 边 形 的 周 长 ， 算 出 圆 周率 约 为 9.8684。 婆 罗 门 笈 多 采 用 另 一 套 方 法 ， 推 论 出 圆 周 率 等 于 10 的 平 方 根 。 欧 洲 ： 斐 波 那 契 算 出 圆 周 率 约 为 3.1418。 韦 达 用 阿 基 米 德 的 方 法 ， 算 出 3.1415926535 3.14

12、15926537 他 还 是 第 一 个 以 无 限 乘 积 叙 述 圆 周 率 的 人 。 鲁 道 夫 万 科 伦 以 边 数 多 过 32000000000 的 多 边 形 算 出 有 35 个 小 数 位 的圆 周 率 。 华 理 斯 在 1655 年 求 出 一 道 公 式 /2=22446688./33557799 欧 拉 发 现 的 e 的 i 次 方 加 1 等 于 0， 成 为 证 明 是 超 越 数 的 重 要 依据 。 之 后 ， 不 断 有 人 给 出 反 正 切 公 式 或 无 穷 级 数 来 计 算 ， 在 这 里 就 不 多说 了 。 与 电 脑 的 关 系 在 1

13、949 年 ， 美 国 制 造 的 世 上 首 部 电 脑 ENIAC（ Electronic Numerical Interator and Computer） 在 亚 伯 丁 试 验 场 启 用 了 。 次 年 ， 里 特 韦 斯 纳、 冯 纽 曼 和 梅 卓 普 利 斯 利 用 这 部 电 脑 ， 计 算 出 的 2037 个 小 数 位 。 这 部电 脑 只 用 了 70 小 时 就 完 成 了 这 项 工 作 ， 扣 除 插 入 打 孔 卡 所 花 的 时 间 ， 等 于平 均 两 分 钟 算 出 一 位 数 。 五 年 后 ， NORC（ 海 军 兵 器 研 究 计 算 机 ） 只

14、 用 了 13分 钟 ， 就 算 出 的 3089 个 小 数 位 。 科 技 不 断 进 步 ， 电 脑 的 运 算 速 度 也 越 来越 快 ， 在 60 年 代 至 70 年 代 ， 随 着 美 、 英 、 法 的 电 脑 科 学 家 不 断 地 进 行 电 脑上 的 竞 争 ， 的 值 也 越 来 越 精 确 。 在 1973 年 ， Jean Guilloud 和 M. Bouyer 发 现 了 的 第 一 百 万 个 小 数 位 。 在 1976 年 ， 新 的 突 破 出 现 了 。 萨 拉 明 （ Eugene Salamin） 发 表 了 一 条新 的 公 式 ， 那 是 一

15、 条 二 次 收 敛 算 则 ， 也 就 是 说 每 经 过 一 次 计 算 ， 有 效 数 字 就会 倍 增 。 高 斯 以 前 也 发 现 了 一 条 类 似 的 公 式 ， 但 十 分 复 杂 ， 在 那 没 有 电 脑 的时 代 是 不 可 行 的 。 之 后 ， 不 断 有 人 以 高 速 电 脑 结 合 类 似 萨 拉 明 的 算 则 来 计 算 的 值 。 目 前 为 止 ， 的 值 己 被 算 至 小 数 点 后 51,000,000,000 个 位 。 为 什 么 要 继 续 计 算 其 实 ， 即 使 是 要 求 最 高 、 最 准 确 的 计 算 ， 也 用 不 着 这

16、么 多 的 小 数 位 ， 那么 ， 为 什 么 人 们 还 要 不 断 地 努 力 去 计 算 圆 周 率 呢 ? 这 是 因 为 ， 用 这 个 方 法 就 可 以 测 试 出 电 脑 的 毛 病 。 如 果 在 计 算 中 得 出 的数 值 出 了 错 ， 这 就 表 示 硬 体 有 毛 病 或 软 体 出 了 错 ， 这 样 便 需 要 进 行 更 改 。 同时 ， 以 电 脑 计 算 圆 周 率 也 能 使 人 们 产 生 良 性 的 竞 争 ， 科 技 也 能 得 到 进 步 ， 从而 改 善 人 类 的 生 活 。 就 连 微 积 分 、 高 等 三 角 恒 等 式 ， 也 是

17、由 研 究 圆 周 率 的 推动 ， 从 而 发 展 出 来 的 。 圆 周 率 的 发 展 年 代 求 证 者 内 容 古 代 中 国 周 髀 算 经 周 三 径 一 ； 圆 周 率 3 西 方 圣 经 元 前 三 世 阿 基 米 德 （ 希 腊 ） 1. 圆 面 积 等 于 分 别 以 半 圆 周 和 径 为 边 长的 矩 形 的 面 积 2.圆 面 积 与 以 直 径 为 长 的 正 方 形 面 积 之 比 为 11： 14 3. 圆 的 周 长 与 直 径 之 比 小 与 31/7 ， 大 于 310/71 三 世 纪 刘 徽 中 国 用 割 圆 术 得 圆 周 率 3.1416 称

18、为 “徽 率 ” 五 世 纪 祖 冲 之 中 国 1. 3.1415926 圆 周 率 3.1415927 2. 约 率 22/7 3. 密 率 355/113 1596 年 鲁 道 尔 夫 荷 兰 正 确 计 萛 得 到 小 数 点 后 35 位 数 字 1579 年 韦 达 法 国 “韦 达 公 式 ”以 级 数 无 限 项 乘 积 表 示 1600 年 威 廉 .奥 托 兰 特 英 国 用 ?/ 表 示 圆 周 率 是 希 腊 文 圆 周 的 第 一 个 字 母 是 希 腊 文 直 径 的 第 一 个 字 母 1655 年 渥 里 斯 英 国 开 创 利 用 无 穷 级 数 求 的 先

19、例 1706 年 马 淇 英 国 “马 淇 公 式 ”计 算 出 的 100 位 数 字 1706 年 琼 斯 英 国 首 先 用 表 示 圆 周 率 1789 年 乔 治 .威 加 英 国 准 确 计 萛 ?至 126 位 1841 年 鲁 德 福 特 英 国 准 确 计 萛 ?至 152 位 1847 年 克 劳 森 英 国 准 确 计 萛 ?至 248 位 1873 年 威 廉 .谢 克 斯 英 国 准 确 计 萛 ?至 527 位 1948 年 费 格 森 和 雷 恩 奇 英 国 美 国 准 确 计 算 ?至 808 位 1949 年 赖 脱 威 逊 美 国 用 计 算 机 将 ?计

20、算 到 2034 位 现 代 用 电 子 计 算 机 可 将 ?计 算 到 亿 位 古 今 中 外 ， 许 多 人 致 力 于 圆 周 率 的 研 究 与 计 算 。 为 了 计 算 出 圆 周 率 的 越来 越 好 的 近 似 值 ， 一 代 代 的 数 学 家 为 这 个 神 秘 的 数 贡 献 了 无 数 的 时 间 与 心 血。 十 九 世 纪 前 ， 圆 周 率 的 计 算 进 展 相 当 缓 慢 ， 十 九 世 纪 后 ， 计 算 圆 周 率 的世 界 纪 录 频 频 创 新 。 整 个 十 九 世 纪 ， 可 以 说 是 圆 周 率 的 手 工 计 算 量 最 大 的 世纪 。

21、进 入 二 十 世 纪 ， 随 着 计 算 机 的 发 明 ， 圆 周 率 的 计 算 有 了 突 飞 猛 进 。 借 助于 超 级 计 算 机 ， 人 们 已 经 得 到 了 圆 周 率 的 2061 亿 位 精 度 。 历 史 上 最 马 拉 松 式 的 计 算 ， 其 一 是 德 国 的 Ludolph Van Ceulen， 他 几乎 耗 尽 了 一 生 的 时 间 ， 计 算 到 圆 的 内 接 正 262 边 形 ， 于 1609 年 得 到 了 圆 周率 的 35 位 精 度 值 ， 以 至 于 圆 周 率 在 德 国 被 称 为 Ludolph 数 ； 其 二 是 英 国 的威

22、 廉 山 克 斯 ， 他 耗 费 了 15 年 的 光 阴 ， 在 1874 年 算 出 了 圆 周 率 的 小 数 点后 707 位 ， 并 将 其 刻 在 了 墓 碑 上 作 为 一 生 的 荣 誉 。 可 惜 ， 后 人 发 现 ， 他 从 第528 位 开 始 就 算 错 了 。 把 圆 周 率 的 数 值 算 得 这 么 精 确 ， 实 际 意 义 并 不 大 。 现 代 科 技 领 域 使 用的 圆 周 率 值 ， 有 十 几 位 已 经 足 够 了 。 如 果 用 鲁 道 夫 算 出 的 35 位 精 度 的 圆 周率 值 ， 来 计 算 一 个 能 把 太 阳 系 包 起 来 的 一 个 圆 的 周 长 ， 误 差 还 不 到 质 子 直 径的 百 万 分 之 一 。 以 前 的 人 计 算 圆 周 率 ， 是 要 探 究 圆 周 率 是 否 循 环 小 数 。 自 从1761 年 兰 伯 特 证 明 了 圆 周 率 是 无 理 数 ， 1882 年 林 德 曼 证 明 了 圆 周 率 是 超 越数 后 ， 圆 周 率 的 神 秘 面 纱 就 被 揭 开 了 。 现 在 的 人 计 算 圆 周 率 ， 多 数 是 为 了 验 证 计 算 机 的 计 算 能 力 ， 还 有 ， 就 是为 了 兴 趣 。