1、第一章 数学思想方法的两个源头一、数学思想方法的两个源头内容概括本章的学习主要是希望学员通过学习两个经典数学著作-古希腊的几何原本和中国古代的九章算术，来认识和理解数学中最早体现出来的基本思想和方法的特点和意义。因此，本章的主要内容有以下几个方面： 几何原本的基本内容、特点和意义； 九章算术的基本内容、特点和意义； 几何原本和九章算术之比较。下面我们就从这三个方面进行讲解和分析：1.几何原本的基本内容、特点和意义 原本产生的背景在早期的数学中，我们可以看到两种不同的也是基本的数学思想的体现：演绎的公理化体系和构造的算法体系。几何原本和九章算术就是这两种思想的代表。 演绎的公理化体系演绎的公理化
2、体系是从有限的不加证明公理和定义出发，通过严格的逻辑推理推演出所有其他命题的一个有序的理论整体。几何原本是历史上最早建立的演绎的公理化的体系。约公元前 300 年，古希腊数学家欧几里得（Eucild）将希腊当时最为发达的数学-几何用公理化的思想和严格的演绎推理的逻辑方法整理在一个体系之中。几何原本的原名为原本（“Elements”），17 世纪初，翻译成中文时冠以几何原本沿用至今。几何原本中的素材并非是欧几里得所独创，它是对欧几里得之前希腊数学的一个总结。欧几里得几何原本的出现，是数学史上一个伟大的里程碑，它不仅是几何学建立的标志，同时也是公理体系在具体学科中应用成功的标志。 基本内容欧几里得
3、的几何原本是一本极具生命力的经典著作。全书共十三卷，总共有 475个命题（包括 5 个公设（Postulate）和 5 个公理（Axiom） 。除几何外，还包括初等数论，比例理论等内容。第一篇有 5 个公设、5 个公理和 48 个命题，讨论全等形，平行线，毕达哥拉斯（Pythagoras）定理，初等作图法，等价形（有等面积的图形）和平行四边形。所有图形都是由直线段组成的。欧几里得在这篇中给出了 23 个定义提出了点、线、面、圆和平行线等概念。接着是五个公设：（I）从任意一点到任意一点可作直线。（II）有限直线可以继续延长。（III ）以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆。（IV ）所
4、有直角都相等。（V）同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。其中第五个公设称为欧几里得平行公设，简称第五公设。公设之后是五个公理：（I）和同一量相等的诸量彼此相等。（II）等量加等量，总量仍相等。（III ）等量减等量，余量仍相等。（IV ）可以重合的量，彼此相等。（V）整体大于部分。现代数学把“公设” 和“ 公理 ”看作同义词，使用时不加区别。但是欧几里得采纳了古希腊哲学家兼逻辑家亚里士多德（Aristotle）的观点，即公理是适用于一切研究领域的原始假设，而公设则仅仅是适用于正在考虑的这一特定学科的原始假设。例如我们熟悉
5、的毕达哥拉斯定理（即勾股定理）就是本篇的命题 47 和命题 48。第二篇有 14 个命题，利用线段代替数来研究数运算的几何代数法。比如，两数的乘积变成两边长等于两数的矩形的面积。第三篇有 37 个命题，讨论圆以及与之有关的线和角等。第四篇有 16 个命题，讨论圆的内接和外切多边形。第五篇有 25 个命题，讨论量和量之比的比例理论。第六篇有 33 个命题，利用比例理论讨论相似形。第七、八、九篇共有 102 个命题，讲述数论，即讲述关于整数和整数之比的性质。本篇把数看成线段，但论证并不依赖于几何。第十篇有 115 个命题，对于给定量不可公度的量进行分类。第十一篇有 39 个命题，讨论空间直线与平面
6、的各种位置关系。第十二篇有 18 个命题，讨论面积和体积。第十三篇有 18 个命题，主要讨论五种正多面体。 特点（1）封闭的演绎体系几何原本是数学中最早形成的演绎体系。在形式上，它是以少数原始概念（不定义概念） ，如点、线、面（虽然几何原本中“定义”了这三个概念，但后来的推演中却没有利用这些定义，而且这些定义只是几何形象的直观描述，严格他说并不能算作定义。因此一般仍将这三个概念看作几何原本中的不定义概念）等等，和不证明的公设和公理为基础，运用亚里士多德所创立的逻辑学，把当时所知的几何学中的主要命题（定理）全部推演出来，从而形成一个井然有序的整体。在这个整体中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个
7、定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。因此， 几何原本是一个封闭的体系。当然， 几何原本在证明某些命题时确实运用了除公设、公理和逻辑之外的“直观”。但是那只是个别现象，并不影响整个体系。另外，从几何原本与当时的社会生产、生活的关系看，它的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。所以， 几何原本是一个比较完整的、相对封闭的演绎体系。（2）抽象化的内容希腊人在研究几何方面的功绩之一是把数学变成抽象化的科学。他们竭力主张寻找事物的普
8、遍性，想从自然界和人的思想的千变万化的过程中，分离抽象出某些共同点，这对数学方法和科学方法是非常重要的。他们追求理性、讲究逻辑的哲学思想对使数学形成一门科学有着巨大的影响。从而使几何不再停留在经验的数量变化上，而逐步提高到理性阶段，使对数学的认识从感性阶段提高到理性阶段。因此， 几何原本中研究的都是一般的、抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，从一些给定的概念和命题出发演绎出另一些概念和命题。它不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。在几何原本中研究了所有的矩形（即抽象的矩形概念）的性质，但是从未讨论一个具体的矩形实物的大小。
9、几何原本探讨了数（自然数）的若干性质，却不涉及具体的数的计算及其应用。它排斥各种理论的实际应用，对抽象的尺规（无刻度的直尺和圆规）作图却推崇备至。重视抽象理论、而不注重数学理论的现实原型及其具体应用，乃是该著作的显著特点。 （3）公理化的方法古希腊时期的数学主要是研究几何。他们不仅把几何形成了系统的理论，而且创造了研究数学的方法。作为现代数学的一种基本表述方法和发展方式的公理化方法，在数学上就是以欧几里得几何原本为开端的。根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从初始原理中演绎出的结论。欧几里得几何原本恰恰体现了这一想法，欧几里得用尽可能少的原始概念和一组不证
10、自明的命题（公设和公理） ，利用逻辑推理法则，对当时的几何知识重新组织，建成一个演绎系统。具体地看，在第一篇中开头的 5 个公设和 5 个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出 23 个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。 意义（1） 几何原本的内容几乎概括了古希腊当时所有的理论-数论及几何学，成为近代西方数学的主要源泉。（2） 几何原本的数学观念是对数学认识的一个飞跃。根据几何材料的内在联系，用概念作为判断和推理
11、的基础逐步形成了数学证明的观念，这是对数学认识的一个质的飞跃。（3） 几何原本是古希腊数学思想的集中表现，它把古希腊数学的特点、数学思想方法的特点发扬光大了，可以说是古希腊数学的最高成就。 几何原本的思想方法使得数学理论成为一个严谨的系统性理论。它使得人们能够在一定程度上超越当时的实践，充分发挥自己的主观能动性，得到意义深远的理论结果，再利用这些成果指导人们的实践，提高人们认识世界、改造世界的能力。几何原本的成功是希腊数学的成功，是公理演绎体系的成功。它被奉为数学教育的依据，人们正是从这本书里认识到数学是什么，证明是什么。有志于数学的人更把它作为必修经典，从中吸收丰富的营养得到莫大的效益和鼓舞
12、。几何原本自成书之后，在数学界产生巨大而深远的影响。正如斯威克（J. Swick）所说：“几何原本对于职业数学家，这书常常有着一种不可逃避的迷惑力，而它的逻辑结构大概比世界上任何其他著作更大地影响了科学思想。 ”它曾经统治几何学的学习，在世界各地以各种不同的文字，共出了千余版，仅次于圣经 ，大约成为西方世界历史中翻版和研究最广的书，称得上是世界上最杰出的课本。我国在明清两代也有过译本。多少年来，千千万万人通过欧几里得几何的学习得到了逻辑的训练，从而步入科学的殿堂。 几何原本所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式而且还被移植到其它学科，并且促进它们的发展。物理学家兼数学家牛顿（I. Newt
13、on）在其名著自然哲学之数学原理的序中写道：“从那么少的几条外来的原理就能够取得那么多的成果，这是几何学的光荣”。斯宾诺莎（B. Spinoza）的伦理学也采用几何原本的体例。2 九章算术的基本内容、特点和意义 九章算术 产生的背景秦始皇建立统一的封建帝国之后，统一了文字和度量衡制度；到了西汉，社会经济和文化得到迅速发展，因此有必要，也有可能对先秦时期已经积累起来的、丰富的数学知识，进行较为系统的整理，形成专门的数学理论。据史书记载，秦时掌管过国家图书的张仓，西汉时的大司农耿寿昌以及许商、杜忠等人都编写过，或校订过算书， 杜忠算术和许商算术都已经失传。他们大多是执管天文历法、农业、水利等方面的
14、官员，所编的算书也大多为了培养行政官吏，或教习官家子弟。因此，这些算书都是采取问题集的形式，对提出的问题，给出一种具体算法和答案。虽然秦和西汉时算书大多失传，但从算数书中仍可以看到一个大概情形。算数书是 1983 年在湖北江陵张家山出土的西汉早年（约前 180）的竹简算书，无具名。它已初具问题集形式，并按算法将问题分类。分类的小标题为“分乘”、 “增减分”等 60多个，其中大部分算法术语，都出现在以后的九章算术之中，它很可能是九章算术的取材来源之一。九章算术就是在这些算书的基础上，系统总结了先秦和东汉初年我国数学成就，经历代名家补充、修改、增订而逐步形成的。至迟在 1 世纪时，已有了现传本的内
15、容。现传世的九章算术是三国时魏晋数学家刘徽于 263 年注释的版本。 基本内容九章算术是中国古代的一本著名数学著作。 “算”指算筹，简称“筹”， “术”指解题的方法，因而“算术” 是指用筹演算的原理和方法，包括现在所说的算术、代数和几何的各种算法。又因其分九章，故由此得名。九章算术每一章都包括若干道问题，数目不等，大致从简到繁排列，全书共有246 道题，每道问题后给出答案，一些问题后还给出“术”。现将各章内容简介如下：第一章“方田” ，列题 38 个，立术 21 条。着重介绍各种形状地亩面积的计算与分数的运算。 “方”有单位面积的意思， “方田”则是计算一块田含多少个单位面积的方法。分数的运算
16、包括分数的四则运算、约分、大小比较和求几个分数的算术平均数等。第二章“粟米” ，列题 46 个，立术 33 条，讨论各种粮食之间互相兑换的问题。 “粟”是谷类。这类问题都通过比例来解决。第三章“衰分” ，列题 20 个，立术 22 条，涉及的内容比较杂，其算法大体上多属于比例配分问题。 “衰（音崔 cui） ”是按比例， “分”是分配。第四章“少广” ，列题 24 个，立术 16 条，专讲开平方、开立方问题。 “少”是多少， “广”宽广。 “少广”是由已知面（体）积，求其一边的宽广是多少的问题。本章给出了“开方术”、“开圆术”、 “开立方术 ”和“开立圆术”这四种重要算法。第五章“商功” ，列
17、题 28 个，立术 24 条，专讲各种土木工程中所提出的各类几何体体积的求解。 “商”是商量或度量， “功”是工程。第六章“均输” ，列题 28 个，立术 28 条，主要讲处理行程和合理解决征税的问题。第七章“盈不足” ，列题 20 个，立术 17 条，主要讲运用“盈不足术”解应用问题，涉及的内容多与商业有关。第八章“方程” ，列题 18 个，立术 19 条，专讲线性方程组的解法。 “方”就是把一个算题用算筹列成方阵的形式， “程”是度量总名，程式之意。另外本章还提出了正负数的不同表示法和加减运算法则。第九章“勾股” ，列题 24 个，立术 19 条，主要研究勾股定理及其应用。本章继承和发展了
18、商高提出的勾股定理，并且开创了直角三角形相似法和出入相补原理。 特点（1）开放的归纳体系从九章算术的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。从篇章的名称来看，方田、粟米、衰分、少广、商功、均输各章都属当时社会生产和生活方面需要解决的数学问题。书中所涉及的具体问题，如，田亩测量、工程建设、交通运输、税收商业等，几乎包括了当时社会生产和生活的各个领域。通过这些篇章中给出的算法，解决了当时社会生产和生活所提出的各种计算问题。还有盈不足、方程、勾股三章，则分别研究了三种常用的数学模型及其用法，是为在以上各个领域中的应用服务的。因此， 九章算术的
19、全部理论是以寻求各种应用问题的普遍解法为中心的，是一个具有浓厚的“应用数学”色彩的开放性理论体系，这与几何原本追求逻辑的完美形成了鲜明的对照。另外， 九章算术的表述体系是按照由个别到一般的推导方式建立起来的。书中通常是先举出某一社会生活领域中的一个或几个个别问题，从中归纳出某一类问题的一般解法，即算法（术） ；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法，从而构成一章；最后，把解决社会生产生活各领域中问题的数学方法全部综合起来，就得到整个九章算术 。该书的归纳特点还有另一层含意，即按照解决问题的不同数学方法进行归纳。许多不同领域的实际问题可能需用相同的计算方法，从这些方法中提炼出数学模
20、型，最后再以数学模型立章写入九章算术 。盈不足、方程、勾股三章就是如此。因此，综观全书， 九章算术是一个开放的归纳体系。（2）算法化的内容九章算术在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。以后遇到其它同类问题，只要按“术”，给出的程序去做就一定能求出问题的答案。历代数学家受到追求实用、讲究算法的传统思想的影响，使他们对九章算术的注、校，主要集中在对“术”进行研究，即不断改进算法。因此我们说，内容的算法化是九章算术思想方法上的特点之一。以下列举九章算术中约分术加以说明。约分术（第一章中的一个算法）是在假设读者已具备正整数四则运算方法的基础上
21、展开的，其术文是：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 ”这也就是说：分母、分子若都是偶数，先同被 2 除；若不都是偶数，则用“更相减损”术求其“等数”，即最大公约数，再用最大公约数去同除分母、分子。所谓“更相减损” 就是辗转相减，与辗转相除原理相同。如九章算术第一章中第 6题,有九十一分之四十九，问约之得几何?此问题关键是求 91 与 49 的最大公约数（等数） ，其方法如下：于是 。九章算术中的多数“术”都与“ 约分术”相似，它们是这部著作的主要内容，问题是为了引出术或作为术的应用而给出的。由于九章算术的主要内容为算法，因而促进了对各种算法的
22、研究，取得了诸如方程术、正负术、开方术、割圆术等著名算法和一大批与之有关的数学成果。（3）模型化的方法从数学方法论的角度看， 九章算术普遍使用了数学模型方法。各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化成数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型，例如， “勾股”、 “方程”等章，其标题就是数学模型的名称。 意义（1） 九章算术的成书标志着中国传统数学体系的形成。其问题及思想方法对后世的影响巨大而深远。九章算术从问世起，人们便由它来学习数学。到隋唐时期开始建立国立学校，其中有算学科，该书被
23、列为重要的教科书。在民间此书也广泛流传，所以，古代研究数学的人大都是从九章算术开始，有些人正是通过对它的研究取得重要成就，成为历史上杰出的数学家，其中最著名的有刘徽、祖冲之父子、贾宪等。也就是说， 九章算术不但在普及数学知识方面起过巨大作用，而且还在培养和造就数学家方面起到了促进作用。 九章算术在我国的影响还表现在著作体例方面。 九章算术以后的许多数学著作都按其格式编写，注重实用，不注意逻辑结构，采用“问题一答案一算法”的体例。甚至一些著作的书名都沿用“九章” 两字，如数书九章 、 详解九章算法等。（2） 九章算术中的数学成就是多方面的。它是世界上最早系统叙述分数运算的著作；关于负数的论述也是
24、世界上最早的。印度发现负数的记录最早见于 7 世纪。表示负数的梵文，与汉人的“负”字相同，这证明我国负数概念对印度数学是有影响的。至于西欧，直到 17 世纪才认识负数。当九章算术中的各种比例算法传到欧洲时，引起了欧洲人的极大兴趣，他们称之为“黄金算法”，认为它是各种算法中最宝贵的算法。我国古代叫这种算法为“今有术”，它早于印度数学书籍所载的“三率法” 。 九章算术用“ 盈不足术”来解决算术中的难题。这种算法约在 9 世纪传入阿拉伯，13 世纪转传入欧洲后，得到广泛的运用和发展。阿拉伯人把盈不足术叫做“契丹算法”，从这个名称演变出“ 震旦”（中国）一词，可见它确系由我国传播出去的。（3） 九章算
25、术对中国周边国家数学及社会的发展也有一定的作用。在隋唐时期九章算术就已传入朝鲜、日本。对日本、朝鲜等东方诸国的数学发展有过很大作用。人们现在越来越认识到九章算术不仅对我国古代数学影响极大，而且对世界数学的发展也起着重要的作用，因而引起各国学者、专家的重视，前苏联、日本、德国、英国等国都有九章算术译本。（4） 九章算术的思想方法不仅对古代数学的发展产生了重大影响，而且也是现代数学思想发展的源泉。在现代数学的发展过程中，一再重现这种思想。如在 17 世纪微积分产生初期，就不是靠理论的严格，而是靠实际应用的成功来保证其“可靠性”的。现代应用数学是按应用方向或主要应用的数学模型来分类的。现代数学是一个
26、开放的系统，成为各门科学的方法或工具。随着电子计算机的蓬勃兴起，更进一步肯定了以发展算法和计算技术为中心的中国传统数学的长处。中国科学院院士、著名数学家吴义俊教授在几何定理的机器证明领域所取得的成就，正是以九章算术为代表的中国传统数学特色在现代条件下的发扬光大。二、学习重点、难点解析重点为几何原本和九章算术思想方法的特点和意义。理解几何原本与九章算术思想方法的特点可能是本章较为困难的内容，为此我们补充下面的内容来加深对它们的理解。1古希腊数学与中国古代数学的比较解释古希腊数学和中国古代数学有许多共同之处。但是，由于希腊和中国这两个文明古国的社会制度、数学和哲学的关系、文化背景及统治阶级对数学的
27、态度等方面的差异又决定了希腊与中国古代数学的很大不同。首先，从内容上，古希腊数学以定性研究为主，以几何研究为中心；中国数学则以定量研究为主，以算法研究为中心。其次，希腊数学不是用来解决实际问题的，他们所研究的内容都是离开具体应用对象的相当抽象的性质。相反，中国古代数学的目的就是实际应用，并在应用中发展。离开实际应用的纯理论数学在中国未占主流。第三，从形式上说，希腊数学都包括命题的证明，并试图构成一个演绎体系。与此不同，中国传统数学的特色是构造性、计算性和机械化。中国古代数学著作则采取应用问题集的形式。第四，由于中国古代数学家追求实际应用的效果，而古希腊数学家强调逻辑的严密，因此中国古代数学家没
28、有像希腊人那样受悖论困扰。几何原本是古希腊数学的代表，而中国古代数学以九章算术为代表。 几章算术确立了中国古代数学应用题的形式，以算法为中心的特点，理论联系实际的风格，构筑了中国古代数学的基本框架。在中国和东方影响深远。今天，电子计算机的广泛应用使人们重新认识到中国算法的重要意义。2模型化的方法、开放性的归纳体系及算法化的内容之间的关系解释。模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容之间是互相适应并且互相促进的。虽然，各个数学模型之间也有一定的联系，但是它们更具有相对独立性。一个数学模型的建立与其它数学模型之间并不存在逻辑依赖关系。正因为如此，所以可以根据需要随时从社会实践中提炼出新的数学模
29、型。而一定的算法必与一定的数学模型相匹配。因此，开放性的归纳体系和算法化的内容为模型化方法的发展提供了可能和需要。另一方面，由于运用模型化的方法研究数学，新的数学模型从何产生？只有寻找现实原型、立足于现实问题的研究，这就不可能产生封闭式的演绎体系。解决实际问题还提出了这样的要求：对由模型化方法求得的结果必须能够检验其正确性和合理性，为了能够求得实际可用的结果，于是算法化的内容也就应运而生。三、学习方法辅导和习题解答认真阅读教材，还可以阅读几何原本和九章算术原著和相关的著作或文章，以达到认识理解古典数学思想的目的。1简单叙说几何原本的体例。2简单叙说九章算术的体例。3简单叙说叙说几何原本思想方法的特点。4简单叙说九章算术思想方法的特点。
