1、 中国首家中小学在线学习会员制服务平台1突 破 数 学 命 题 难 点 很 简 单一 、 定 位 整 体新 课 程 标 准 对 “常 用 逻 辑 用 语 ”的 定 位 为 :“正 确 使 用 逻 辑 用 语 是 现 代社 会 公 民 应 该 具 备 的 基 本 素 质 ， 无 论 是 进 行 思 考 、 交 流 ， 还 是 从 事 各 项 工 作 ，都 需 要 正 确 的 运 用 逻 辑 用 语 表 达 自 己 的 思 想 .在 本 模 块 中 ， 同 学 们 将 在 义 务教 育 的 基 础 上 ， 学 习 常 用 逻 辑 用 语 ， 体 会 逻 辑 用 语 在 表 述 和 论 证 中 的
2、作 用 ，利 用 这 些 逻 辑 用 语 准 确 地 表 达 数 学 内 容 ， 更 好 地 进 行 交 流 .”因 此 ， 学 习逻 辑 用 语 ， 不 仅 要 了 解 数 理 逻 辑 的 有 关 知 识 ， 还 要 体 会 逻 辑 用 语 在 表 述 或 论证 中 的 作 用 ， 使 以 后 的 论 证 和 表 述 更 加 准 确 、 清 晰 和 简 洁 .二 、 明 确 重 点“常 用 逻 辑 用 语 ”分 成 三 大 节 ， 分 别 为 ： 命 题 及 其 关 系 ， 简 单 的 逻 辑联 结 词 ， 全 称 量 词 与 存 在 量 词 .“命 题 及 其 关 系 ”分 两 小 节 ：
3、 一 、 “四 种 命 题 ”， 此 节 重 点 在 于 四 种 命题 形 式 及 其 关 系 ， 互 为 逆 否 命 题 的 等 价 性 ； 二 、 “充 分 条 件 和 必 要 条 件 ”，此 节 重 点 在 于 充 分 条 件 、 必 要 条 件 、 充 要 条 件 的 准 确 理 解 以 及 正 确 判 断 .“简 单 的 逻 辑 联 结 词 ”重 点 在 于 “且 ”、 “或 ”、 “非 ”这 三 个 逻 辑 联 结词 的 理 解 和 应 用 .“全 称 量 词 与 存 在 量 词 ”重 点 在 于 理 解 全 称 量 词 与 存 在 量 词 的 意 义 ，以 及 正 确 做 出 含
4、 有 一 个 量 词 的 命 题 的 否 定 .中国首家中小学在线学习会员制服务平台2三 、 突 破 难 点1.“四 种 命 题 ”的 难 点 在 于 分 清 命 题 的 条 件 和 结 论 以 及 判 断 命 题 的 真 假例 1 分 别 写 出 下 列 命 题 的 逆 命 题 、 否 命 题 、 逆 否 命 题 ， 并 判 断 它 们 的 真假 .（ 1） 全 等 三 角 形 的 面 积 相 等 ；（ 2） m 时 ， 方 程 mx2-x+1=0 无 实 根 ；（ 3） 若 sin， 则 30.解 析 （ 1） 条 件 为 两 个 三 角 形 全 等 ， 结 论 为 它 们 的 面 积 相
5、 等 .因 此 ， 原命 题 即 为 “若 两 个 三 角 形 全 等 ， 则 它 们 的 面 积 相 等 ”， 逆 命 题 为 “若 两 个三 角 形 面 积 相 等 ， 则 它 们 全 等 ”， 否 命 题 为 “若 两 个 三 角 形 不 全 等 ， 则 它们 的 面 积 不 相 等 ”， 逆 否 命 题 为 “若 两 个 三 角 形 面 积 不 相 等 ， 则 它 们 不 全 等 ”.根 据 平 面 几 何 知 识 ， 易 得 原 命 题 和 逆 否 命 题 为 真 命 题 ， 逆 命 题 和 否 命 题 为假 命 题 .（ 2） 原 命 题 即 为 “若 m ， 则 方 程 mx2-
6、x+1=0 无 实 根 ”， 逆 命 题为 “若 方 程 mx2-x+1=0 无 实 根 ， 则 m ”， 否 命 题 为 “若 m， 则 方 程mx2-x+1=0 有 实 根 ”， 逆 否 命 题 为 “若 方 程 mx2-x+1=0 有 实 根 ， 则m”.根 据 判 别 式 =1-4m 的 正 负 可 知 ， 原 命 题 、 逆 命 题 、 否 命 题 、 逆 否命 题 均 为 真 命 题 .（ 3） 原 命 题 即 为 “若 sin， 则 30”， 逆 命 题 为 “若 30，则 sin”， 否 命 题 为 “若 sin=， 则 =30”， 逆 否 命 题 为 “若 =30，中国首家中
7、小学在线学习会员制服务平台3则 sin=”.直 接 判 断 原 命 题 与 逆 命 题 真 假 有 些 困 难 ， 但 考 虑 到 原 命 题 与 逆否 命 题 等 价 ， 逆 命 题 与 否 命 题 等 价 ， 因 此 可 以 先 考 虑 逆 否 命 题 和 否 命 题 ； 由三 角 函 数 的 知 识 ， 可 知 原 命 题 和 逆 否 命 题 为 真 命 题 ， 逆 命 题 和 否 命 题 为 假 命题 .突 破 对 于 判 断 命 题 的 真 假 ， 我 们 需 要 先 弄 清 何 为 条 件 、 何 为 结 论 ， 然 后根 据 相 应 的 知 识 进 行 判 断 ， 当 原 命 题
8、 不 容 易 直 接 判 断 时 ， 可 以 先 判 断 其 逆 否命 题 的 真 假 性 ， 从 而 得 到 原 命 题 的 真 假 性 .2.“充 分 条 件 和 必 要 条 件 ”的 难 点 在 于 充 要 性 的 判 断例 2 在 下 列 命 题 中 ， 判 断 p 是 q 的 什 么 条 件 .（ 在 “充 分 不 必 要 条 件 ”、 “必 要 不 充 分 条 件 ”、 “充 要 条 件 ”、 “既 不 充 分 又 不 必 要 条 件 ”中 选 出 一种 ）（ 1） p:|p|2， p R； q:方 程 x2+px+p+3=0 有 实 根 .（ 2） p： 圆 x2+y2=r2 与
9、 直 线 ax+by+c=0 相 切 ；q： c2=（ a2+b2） r2， 其 中 a2+b20， r0.（ 3） 设 集 合 M=x|x 2， N=x|x 3， p： x MN； q:x M N.解 析 （ 1） 当 |p|2 时 ， 例 如 p=3， 此 时 方 程 x2+px+p+3=0 无 实 根 ，因 此 “若 p 则 q”为 假 命 题 ； 当 方 程 x2+px+p+3=0 有 实 根 时 ， 根 据 判别 式 有 p-2 或 p6， 此 时 |p|2 成 立 ， 因 此 “若 q 则 p”为 真 命 题 .故p 是 q 的 必 要 不 充 分 条 件 .（ 2） 若 圆 x2
10、+y2=r2 与 直 线 ax+by+c=0 相 切 ， 则 圆 心 （ 0， 0） 到中国首家中小学在线学习会员制服务平台4直 线 ax+by+c=0 的 距 离 等 于 r， 即 r=， 化 简 可 得 c2=（ a2+b2） r2，因 此 “若 p 则 q”为 真 命 题 ； 反 过 来 ， 由 c2=（ a2+b2） r2， 可 得 r=，即 圆 心 （ 0， 0） 到 直 线 ax+by+c=0 的 距 离 等 于 r， 由 解 析 几 何 知 识 得 圆与 直 线 相 切 ， 因 此 “若 q 则 p”为 真 命 题 .故 p 是 q 的 充 要 条 件 .（ 3） MN=（ 2，
11、 3） ， M N=R， 若 x （ 2， 3） ， 此 时 显 然 有x R， 因 此 “若 p 则 q”为 真 命 题 ； 反 过 来 ， 若 x R， 例 如 x=5， 此 时x?埸 （ 2， 3） ， 因 此 “若 q 则 p”为 假 命 题 .故 p 是 q 的 充 分 不 必 要 条 件 .突 破 从 逻 辑 的 观 点 理 解 ： 判 断 充 分 性 、 必 要 性 的 前 提 是 判 断 给 定 命 题的 真 假 性 ， 若 “若 p 则 q”为 真 命 题 ， 则 p 是 q 的 充 分 条 件 ； 若 “若 q则 p”为 真 命 题 ， 则 p 是 q 的 必 要 条 件
12、； 若 两 者 都 是 真 命 题 ， 则 p 是 q的 充 要 条 件 ； 若 两 者 都 是 假 命 题 ， 则 p 是 q 的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 .从 集 合 的 观 点 理 解 ： 建 立 命 题 p， q 相 应 的 集 合 .p： A=x|p（ x） 成 立 ，q： B=x|q（ x） 成 立 .那 么 :若 A?哿 B， 则 p 是 q 的 充 分 条 件 ； 若 B?哿A， 则 p 是 q 的 必 要 条 件 ； 若 A=B， 则 p 是 q 的 充 要 条 件 .若 A?芫 B 且B?芫 A， 则 p 是 q 的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
13、.例 3 已 知 数 列 an的 前 n 项 和 Sn=pn+q（ p0 且 p1） ， 求 证 :数 列an为 等 比 数 列 的 充 要 条 件 为 q=-1.解 析 充 分 性 :当 q=-1 时 ， a1=p-1； 当 n2 时 ， an=Sn-Sn-1=pn-1（ p-1） .于 是 当 n1 时 ， =p， 即 数 列 an为 等 比 数 列 .必 要 性 ： 当 n=1 时 ， a1=S1=p+q； 当 n2 时 ， an=Sn-Sn-1=pn-1（ p-1） .因 为 p0 且 p1， 于 是 =p.又 因 为 数 列 an为 等 比 数列 ， 所 以 =p， 即 =p， 解
14、之 得 q=-1.中国首家中小学在线学习会员制服务平台5综 上 所 述 ， q=-1 为 数 列 an为 等 比 数 列 的 充 要 条 件 .突 破 证 明 p 是 q 的 充 要 条 件 需 要 分 两 步 ： 充 分 性 ， 把 p 作 为 已 知条 件 ， 结 合 命 题 的 前 提 条 件 ， 推 出 q； 必 要 性 ， 把 q 作 为 已 知 条 件 ， 结合 命 题 的 前 提 条 件 ， 推 出 p.最 后 综 上 所 述 ， 可 得 p 是 q 的 充 要 条 件 .特 别注 意 :充 分 条 件 的 意 义 只 在 于 保 证 结 论 成 立 ， 而 不 管 它 对 结
15、论 成 立 是 否 必 要 ；必 要 条 件 的 意 义 只 在 于 要 使 结 论 成 立 它 必 不 可 少 ， 而 不 管 它 对 结 论 成 立 是 否充 分 .因 此 ， 在 进 行 恒 等 变 形 或 探 求 充 要 条 件 的 过 程 中 ， 只 注 意 推 导 过 程 的充 分 性 ， 其 结 果 有 可 能 缩 小 范 围 ； 只 注 意 推 导 过 程 的 必 要 性 ， 其 结 果 有 可 能扩 大 范 围 .3.“简 单 逻 辑 联 结 词 ”的 难 点 在 于 复 合 命 题 的 真 假 性 判 断 以 及 “命 题的 否 定 ”与 “否 命 题 ”的 区 分例 4
16、指 出 下 列 命 题 的 真 假 .（ 1） -1 是 奇 数 或 偶 数 ；（ 2） 属 于 集 合 Q， 也 属 于 集 合 R；（ 3） A?埭 （ A B） .解 析 （ 1） 此 命 题 为 “p 或 q”的 形 式 ， 其 中 p： -1 是 奇 数 ； q： -1是 偶 数 .因 为 p 为 真 命 题 ， 所 以 原 命 题 为 真 命 题 .（ 2） 此 命 题 为 “p 且 q”的 形 式 ， 其 中 p： 属 于 集 合 Q； q： 属 于 集合 R.因 为 只 有 q 为 真 命 题 ， 所 以 原 命 题 为 假 命 题 .中国首家中小学在线学习会员制服务平台6（
17、3） 此 命 题 为 “非 p”的 形 式 ， 其 中 p： A?哿 （ A B） .因 为 p 为真 命 题 ， 所 以 原 命 题 为 假 命 题 .突 破 判 断 如 “p 或 q”、 “p 且 q”、 “非 p”形 式 的 复 合 命 题 的 真 假 时 ，首 先 要 确 定 命 题 的 构 成 形 式 ， 然 后 判 断 其 中 各 简 单 命 题 的 真 假 ， 最 后 再 利 用真 值 表 判 断 复 合 命 题 的 真 假 .例 5 写 出 下 列 各 命 题 的 否 定 和 否 命 题 .（ 1） 若 x+y 是 偶 数 ， 则 x， y 都 是 奇 数 ；（ 2） 若 xy
18、=0， 则 x=0 或 y=0.解 析 （ 1） 命 题 的 否 定 ： 若 x+y 是 偶 数 ， 则 x， y 不 都 是 奇 数 ； 否 命题 ： 若 x+y 不 是 偶 数 ， 则 x， y 不 都 是 奇 数 .（ 2） 命 题 的 否 定 :若 xy=0， 则 x0 且 y0； 否 命 题 :若 xy0， 则x0 且 y0.突 破 命 题 的 否 定 只 是 否 定 命 题 的 结 论 ， 而 否 命 题 既 否 定 题 设 ， 又 否 定 结论 .需 注 意 “x=0 或 y=0”的 否 定 是 “x0 且 y0”而 不 是 “x0 或y0”； “x， y 都 是 奇 数 ”的
19、否 定 是 “x， y 不 都 是 奇 数 ”而 不 是 “x， y都 不 是 奇 数 ”.4.“全 称 量 词 与 存 在 量 词 ”的 难 点 在 于 全 称 命 题 和 存 在 性 命 题 的 真 假性 判 断 以 及 含 有 一 个 量 词 的 命 题 的 否 定中国首家中小学在线学习会员制服务平台7例 6 判 断 下 列 命 题 是 否 为 全 称 命 题 或 存 在 性 命 题 ， 并 判 断 真 假 .（ 1） 有 一 个 实 数 ， tan 无 意 义 ；（ 2） 任 何 一 条 直 线 都 有 斜 率 ；（ 3） ?埚 x 0， 使 x2+x+5 0；（ 4） 自 然 数 的
20、 平 方 是 正 数 .解 析 （ 1） 存 在 性 命 题 ， 当 =时 ， tan 无 意 义 ， 因 此 原 命 题 为 真 命题 .（ 2） 全 称 命 题 ， 当 倾 斜 角 为 时 ， 该 直 线 斜 率 不 存 在 ， 因 此 原 命 题 为 假命 题 .（ 3） 存 在 性 命 题 ， 由 判 别 式 可 知 =1-45=-19 0， 所 以 对 ?坌x R， x2+x+5 0， 因 此 原 命 题 为 假 命 题 .（ 4） 全 称 命 题 ， 存 在 自 然 数 0， 其 平 方 不 是 正 数 ， 因 此 原 命 题 为 假 命题 .突 破 要 判 定 全 称 命 题 “
21、?坌 x M， p（ x） ”为 真 命 题 ， 需 要 对 集 合M 中 每 个 元 素 x， 证 明 p（ x） 成 立 ； 如 果 集 合 M 中 找 到 一 个 元 素 x0，使 得 p（ x） 不 成 立 ， 那 么 这 个 全 称 命 题 为 假 命 题 . 要 判 定 存 在 性 命 题 “?埚x0 M， p（ x） ”为 真 命 题 ， 只 需 在 集 合 M 中 找 到 一 个 元 素 x0， 使 得p（ x0） 成 立 即 可 ； 如 果 在 集 合 M 中 ， 使 p（ x） 成 立 的 元 素 x 不 存 在 ，中国首家中小学在线学习会员制服务平台8那 么 这 个 存
22、在 性 命 题 是 假 命 题 .例 7 写 出 下 列 命 题 的 否 定 .（ 1） 面 积 相 等 的 三 角 形 是 全 等 三 角 形 ；（ 2） 有 些 质 数 是 奇 数 ；（ 3） 对 ?坌 x R， x2+x+1=0 都 成 立 ；（ 4） ?埚 x R， x2+2x+5 0.解 析 （ 1） 原 命 题 是 全 称 命 题 ， 故 其 否 定 为 :存 在 面 积 相 等 的 三 角 形 不是 全 等 三 角 形 .（ 2） 原 命 题 是 存 在 性 命 题 ， 故 其 否 定 为 :所 有 的 质 数 都 不 是 奇 数 .（ 3） 原 命 题 是 全 称 命 题 ，
23、故 其 否 定 为 :?埚 x R， 使 x2+x+10.（ 4） 原 命 题 是 存 在 性 命 题 ， 故 其 否 定 为 :对 ?坌 x R， x2+2x+50都 成 立 .突 破 全 称 命 题 与 存 在 性 命 题 的 区 别 在 于 构 成 两 种 命 题 的 量 词 不 同 .实质 上 ， “全 称 量 词 ”与 “存 在 量 词 ”正 好 构 成 了 意 义 相 反 的 表 述 ， 因 此 在 书写 全 称 命 题 与 存 在 性 命 题 的 否 定 时 ， 一 定 要 抓 住 决 定 命 题 性 质 的 量 词 ， 从 对量 词 的 否 定 入 手 书 写 命 题 的 否
24、定 .全 称 命 题 的 否 定 是 存 在 性 命 题 ， 而 存 在 性中国首家中小学在线学习会员制服务平台9命 题 的 否 定 是 全 称 命 题 .1.（ 2011 年 安 徽 理 科 卷 ） 命 题 “所 有 能 被 2 整 除 的 数 都 是 偶 数 ”的否 定 是 _.2.（ 2011 年 山 东 文 科 卷 ） 已 知 a， b， c R， 命 题 “若 a+b+c=3，则 a2+b2+c23”的 否 命 题 是 _.3.（ 2011 年 湖 南 文 科 卷 ） “x 1”是 “|x| 1”的_条 件 .4.（ 2011 年 福 建 理 科 卷 ） 若 a R， 则 “a=2”
25、是 “（ a-1） （ a-2）=0”的 _条 件 .5.（ 2011 年 浙 江 理 科 卷 ） “=”是 “cos2=”的 _条 件 .6.（ 2011 年 山 东 理 科 卷 ） 对 于 函 数 y=f（ x） ， x R， “y=|f（ x） |的图 像 关 于 y 轴 对 称 ”是 “y=f（ x） 是 奇 函 数 ”的 _条 件 .7.（ 2011 年 浙 江 文 科 卷 ） 若 a， b 为 实 数 ， 则 “0 ab 1”是“b ”的 _条 件 .8.（ 2011 年 四 川 文 科 卷 ） 设 函 数 f（ x） 的 定 义 域 为 A， 若x1， x2 A 且 f（ x1） =f（ x2） 时 ， 总 有 x1=x2， 则 称 f（ x） 为 单 函 数 .例 如 ， 函 数 f（ x） =2x+1（ x R） 是 单 函 数 .中国首家中小学在线学习会员制服务平台10
