1、 高斯德国著名大科学家高斯(17771855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。数学家们则称呼他为“数学王子” 。他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁
2、的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。“你们今天替我算从 1 加 2 加 3 一直到 100 的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1 加 2 等于 3，3 加 3 等于 6，6 加 4 等于10”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。 “老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。 ”他想不可能这么快就会有答案了
3、。可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的。 ”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是 5050，这个 8 岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+n 的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。 2.塞乐斯 塞乐斯生于公元前 624 年，是古希腊第一位
4、闻名世界的大数学家。他原是一位很精明的商人，靠卖橄榄油积累了相当财富后，塞乐斯便专心从事科学研究和旅行。他勤奋好学，同时又不迷信古人，勇于探索，勇于创造，积极思考问题。他的家乡离埃及不太远，所以他常去埃及旅行。在那里，塞乐斯认识了古埃及人在几千年间积累的丰富数学知识。他游历埃及时，曾用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及国王阿美西斯钦羡不已。塞乐斯的方法既巧妙又简单：选一个天气晴朗的日子，在金字塔边竖立一根小木棍，然后观察木棍阴影的长度变化，等到阴影长度恰好等于木棍长度时，赶紧测量金字塔影的长度，因为在这一时刻，金字塔的高度也恰好与塔影长度相等。也有人说，塞乐斯是利用棍影与塔影长度的比等
5、于棍高与塔高的比算出金字塔高度的。如果是这样的话，就要用到三角形对应边成比例这个数学定理。塞乐斯自夸，说是他把这种方法教给了古埃及人但事实可能正好相反，应该是埃及人早就知道了类似的方法，但他们只满足于知道怎样去计算，却没有思考为什么这样算就能得到正确的答案。 在塞乐斯以前，人们在认识大自然时，只满足于对各类事物提出怎么样的解释，而塞乐斯的伟大之处，在于他不仅能作出怎么样的解释，而且还加上了为什么的科学问号。古代东方人民积累的数学知识，王要是一些由经验中总结出来的计算公式。塞乐斯认为，这样得到的计算公式，用在某个问题里可能是正确的，用在另一个问题里就不一定正确了，只有从理论上证明它们是普遍正确的
6、以后，才能广泛地运用它们去解决实际问题。在人类文化发展的初期，塞乐斯自觉地提出这样的观点，是难能可贵的。它赋予数学以特殊的科学意义，是数学发展史上一个巨大的飞跃。所以塞乐斯素有数学之父的尊称，原因就在这里。塞乐斯最先证明了如下的定理:1.圆被任一直径二等分。 2.等腰三角形的两底角相等。3.两条直线相交，对顶角相等。4.半圆的内接三角形，一定是直角三角形。5.如果两个三角形有一条边以及这条边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等。这个定理也是塞乐斯最先发现并最先证明的，后人常称之为塞乐斯定理。相传塞乐斯证明这个定理后非常高兴，宰了一头公牛供奉神灵。后来，他还用这个定理算出了海上的船与陆地的距
7、离。塞乐斯对古希腊的哲学和天文学，也作出过开拓性的贡献。历史学家肯定地说，塞乐斯应当算是第一位天文学家，他经常仰卧观察天上星座，探窥宇宙奥秘，他的女仆常戏称，塞乐斯想知道遥远的天空，却忽略了眼前的美色。数学史家 Herodotus 层考据得知 Hals 战后之时白天突然变成夜晚（其实是日蚀） ，而在此战之前塞乐斯曾对 Delians 预言此事。塞乐斯的墓碑上列有这样一段题辞：“这位天文学家之王的坟墓多少小了一点，但他在星辰领域中的光荣是颇为伟大的。3.阿基米德的事迹杂草丝中，一座古坟，墓碑已经风化，字迹模糊不清。然而一个奇怪的标帜却隐约地映入人们的眼帘：碑顶部刻着一个等边圆柱以及它内切球的图形
8、。了解数学史的人很快就会知道，这里长眠着古代最伟大的数学家阿基米德，已经有二千多年了。 阿基米德（公元前 287前 212 年）在数学上的成就很多，其中他最感兴趣的是关于球体积公式的推导，他为了找到球体积的计算方法，先用一个空心的等边圆柱（就是圆柱底面圆的直径正好等于圆柱的高）的容器，里面装满了水。然后把一个直径等于这个圆柱高的球轻轻放进容器，再小心地把溢出的水收集起来，量出水的体积就是球的体积。他经过多次这样的实验，发现球的体积正好等于圆柱容。假设圆柱底面半径为 R，我们不难用公式来验算这个结论。圆柱的体积为V 圆柱=R22R=2R3而 V 球=R3。阿基米德非常重视这个发现，嘱咐别人在他死
9、后，能在他墓碑上刻上这个图形。这就是上面所提到的古坟墓碑上所刻的图案。阿基米德研究数学时聚精会神，可以说是废寝忘食。冬天吃饭时，他常坐在火盆旁，一手端着饭碗，一手在火盆的灰烬里画着几何图形，都忘了吃饭。有一回，因为一个数学问题没解决，他埋头钻研，一直没空去洗澡，身上很脏，发出一股难闻的气味。家里人硬把他推进浴室。那时候的人有个习惯，洗完澡后要在身上擦香油膏。阿基米德在浴室里洗了好半天都不见出来，家里人感到很奇怪，在门外喊他也不见回音，便推门进去一看，原来他正坐在浴盆旁的凳子上，用手蘸着香油膏在皮肤上划几何图形哩！他研究几何图形时，脸上总是笑呵呵的，嘴里还叽里咕噜，家里人说他像被神附了体一样。阿
10、基米德为人谦逊，对待科学严肃慎重，他曾说过，他的一切发现别人都会发现，他毫不隐讳自己作品中的错误。他在自己所写的螺线论这篇文章中，坦率地承认自己在以前的著作中所犯的某些错误，让读者从中吸取教训。人们非常赞赏他这种高尚的品德。恩格斯夸奖他是对科学作了“精确而有系统研究”的代表人物之一。一位俄国数学家还在著作中写下了赞美他的诗句：“这儿阿基米德出现了，那古代的哲学家，谁也不能和他相比拟，他的功绩全世界第一。 ”4.大陆漂移我们这个星球，宛如飘浮在浩瀚宇宙中的一方岛屿，从茫茫中来，又向茫茫中去。生息在这一星球上的生命，经历了数亿年的繁衍和进化，终于在创世纪的今天，造就了人类的高度智慧和文明。然而，尽
11、管人类已经有着如此之多的发现，但仍不知道我们周围的宇宙是怎样开始的，也不知道它将怎样终结！万物都在时间长河中流淌着，变化着。从过去变化到现在，又从现在变化到将来。静止是暂时的，运动却是永恒！天地之间，大概再没有什么能比闪烁在天空中的星星，更能引起远古人的遐想。他们想象在天庭上应该有一个如同人世间那般繁华的街市。而那些本身发着亮光的星宿，则忠 诚地守护在天宫的特定位置，永恒不动。后来，这些星星便区别于月亮和行星，称之为恒星。其实，恒星的称呼是不确切的，只是由于它离我们太远了，以致于它们间的任何运动，都慢得使人一辈子感觉不出来！北斗七星，大约是北天最为明显的星座之一。在天文学上有个正式的名字叫大熊
12、星座。大熊座的七颗亮星，组成把勺子的样子，勺底两星的连线延长约 5 倍处，可寻找到北极星。在北天的夜空是很容易辨认的。大概所有的人一辈子见到的北斗七星，总是那般形状，这是不言而喻的。人的生命太短暂了！几十年的时光，对于天文数字般的岁月，是几乎可以忽略不计的！然而有幸的是：现代科学的进展，使我们有可能从容地追溯过去，和精确地预测将来。人类在十万年前、现在和十万年后应该看到和可以看到的北斗七星，它们的形状是大不一样的！不仅天在动，而且地也在动。火山的喷发，地层的断裂，冰川的推移，泥石的奔流，这一切都还只是局部的现象。更加不可思议的是。我们脚下站立着的大地，也如同水面上的船只那样，在地馒上缓慢地漂移
13、着！本世纪初，德国年青的气象学家魏根纳（Wegener, 18801930）发现：大西洋两岸，特别是非洲和南美洲海岸轮廓，非常相似。这其间究竟隐含着什么奥秘呢？魏根纳为此而深深思索着。一天，魏根纳正在书房看报一个偶然的变故，激发了他的灵感。由于座椅年久失修，某个接头突然断裂，魏的身体骤然间向后仰去，持在手中的报纸被猛然断裂。在这一切过去之后，当魏根纳重新注视手上的两半报纸时。顿时醒悟了！长期萦回在脑中的思绪跟眼前的现象，碰撞出智慧的火花！一个伟大的思想在魏根纳的脑中闪现了：世界的大陆原本是连在一起的，后来由于某种原因而破裂分离了！此后，魏根纳奔波于大西洋两岸，为自己的理论寻找证据。公元 191
14、2 年， “大陆漂移说”终于诞生了！今天，大陆漂移学说已为整个世界所公认。据美国宇航局的最新测定表明，目前大陆移动仍在持续：如北美正以每年 1.52 厘米的速度远离欧洲而去；而澳大利亚却以每年 6.858厘米的速度，向夏威夷群岛飘来！世间万物都在变化， “不变”反而使人充满着疑惑，下面的故事是在生动不过了。公元 1938 年 12 月 22 日，在非洲的科摩罗群岛附近，渔民们捕捉到一条怪鱼。这条鱼全身披着六角形的鳞片，长着四只“肉足” ，尾巴就像古代勇士用的长矛。当时渔民们对此并不在意，因为每天从海里网上来的奇形怪状的生物多得是！于是这条鱼便顺理成章地成了美味佳肴。话说当地博物馆有个年轻的女管
15、理员叫拉蒂迈，此人平时热心于鱼类学研究。当她听到消息闻讯赶来的时候，见到的已是一堆残皮剩骨。不过，出于职业的爱好，拉蒂迈小姐还是把鱼的头骨收集了起来，寄给当时的鱼类学权威，南非罗兹大学的史密斯教授。教授接信后，顿时目瞪口呆。原来这种长着矛尾的鱼，早在七千万年前就已绝种了。科学家们过去只是在化石中见到它。眼前发生的一切，使教授由惊震转为打一个大大的问号。于是不惜定下十万元重金，悬赏捕捉第二条矛尾鱼！时间一年又一年地过去，不知不觉过了十四个年头。正当史密斯博士抱恨绝望之际，公元 1952 年 12 月 20 日，教授突然收到了一封电报，电文是：“捉到了您所需要的鱼。 ”史密斯见电欣喜若狂，立即乘机
16、赶往当地。当教授用颤抖的双手打开鱼布包时，一股热泪夺眶而出那么，为什么一条矛尾鱼竟会引起这样大的轰动呢？原来现在捉到的矛尾鱼和七千万年前的化石相比，几乎看不到变异！矛尾鱼在经历了亿万年的沧桑之后，竟然既没有灭绝，也没有进化。这一“不变”的迷惑，无疑是对“变”的进化论的挑战！究竟是达尔文的理论需要修正呢，还是由于其他更加深刻的原因？争论至今仍在继续！我们前面讲过，这个世界的一切量，都跟随着时间的变化而变化。时间是最原始的自行变化的量，其他量则是因变量。一般地说，如果在某一变化过程中有两个变量 x，y，对于变量 x 在研究范围内的每一个确定的值，变量 y 都有唯一确定的值和它对应，那么变量 x 就
17、称为自变量，而变量 y 则称为因变量，或变量 X 的函数，记为：yf（X）函数一语，起用于公元 1692 年，最早见自德国教学家莱布尼兹的著作。记号 f(x)则是由瑞士数学家欧位于公元 1724 年首次使用的.上面我们所讲的函数定义，属于德国数学家黎曼（Riemann,1826-1866） 。我国引进函数概念，始于 1859 年，首见于清代数学家李善兰（18111882）的译作。一个量如果在所研究的问题中保持同一确定的数值，这样的量我们称为常量。常量并不是绝对的。如果某一变量在局部时空中，其变化是那样地微不足道，那么这样的量，在这一时空中便可以看成常量。例如读者所熟知的“三角形内角和为 180
18、”的定理，那只是在平面上才是成立的。但绝对平的面是不存在的。即使是水平面，由于地心引力的关系，也是呈球面弯曲的。然而，这丝毫没有影响广大读者，去掌握应用平面的这条定理！又如北斗七星，诚如前面所说，它前十万年与后十万年的位置是大不相同的。但在近几个世纪内，我们完全可以把它看成是恒定的，甚至可以利用它来精确地判断其他星体的位置！5.哥德巴赫猜想大约在 250 年前，德国数字家哥德巴赫发现了这样一个现象：任何大于 5 的整数都可以表示为 3 个质数的和。他验证了许多数字，这个结论都是正确的。但他却找不到任何办法从理论上彻底证明它，于是他在 1742 年 6 月 7 日写信和当时在柏林科学院工作的著名
19、数学家欧拉请教。欧拉认真地思考了这个问题。他首先逐个核对了一张长长的数字表： 6=2+2+2=3+3 8=2+3+3=3+5 9=3+3+3=2+7 10=2+3+5=5+5 11=5+3+3 12=5+5+2=5+7 99=89+7+3 100=11+17+71=97+3 101=97+2+2 102=97+2+3=97+5 这张表可以无限延长，而每一次延长都使欧拉对肯定哥德巴赫的猜想增加了信心。而且他发现证明这个问题实际上应该分成两部分。即证明所有大于 2 的偶数总能写成 2 个质数之和，所有大于 7 的奇数总能写成 3 个质数之和。当他最终坚信这一结论是真理的时候，就在6 月 30 日复
20、信给哥德巴赫。信中说：“任何大于 2 的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理“由于欧拉是颇负盛名的数学家、科学家，所以他的信心吸引和鼓舞无数科学家试图证明它，但直到 19 世纪末也没有取得任何进展。这一看似简单实则困难无比的数论问题长期困扰着数学界。谁能证明它谁就登上了数学王国中一座高耸奇异的山峰。因此有人把它比作“数学皇冠上的一颗明珠“。 实际上早已有人对大量的数字进行了验证，对偶数的验证已达到 1.3 亿个以上，还没有发现任何反例。那么为什么还不能对这个问题下结论呢？这是因为自然数有无限多个，不论验证了多少个数，也不能说下一个数必然如此。数学的严密和精确
21、对任何一个定理都要给出科学的证明。所以“哥德巴赫猜想“几百年来一直未能变成定理，这也正是它以“猜想“身份闻名天下的原因。 要证明这个问题有几种不同办法，其中之一是证明某数为两数之和，其中第一个数的质因数不超过 a 个，第二数的质因数不超过 b 个。这个命题称为（a+b） 。最终要达到的目标是证明（a+b）为（1+1） 。 1920 年，挪威数学家布朗教授用古老的筛选法证明了任何一个大于 2 的偶数都能表示为 9 个质数的乘积与另外 9 个质数乘积的和，即证明了（a+b）为（9+9） 。 1924 年，德国数学家证明了（7+7） ； 1932 年，英国数学家证明了（6+6） ； 1937 年，苏
22、联数学家维诺格拉多夫证明了充分大的奇数可以表示为 3 个奇质数之和，这使欧拉设想中的奇数部分有了结论，剩下的只有偶数部分的命题了。 1938 年，我国数学家华罗庚证明了几乎所有偶数都可以表示为一个质数和另一个质数的方幂之和。 1938 年到 1956 年，苏联数学家又相继证明了（5+5） ， （4+4） ， （3+3） 。 1957 年，我国数学家王元证明了（2+3） ； 1962 年，我国数学家潘承洞与苏联数学家巴尔巴恩各自独立证明了（1+5） ； 1963 年，潘承洞、王元和巴尔巴恩又都证明了（1+4） 。 1965 年，几位数学家同时证明了（1+3） 。 1966 年，我国青年数学家陈景
23、润在对筛选法进行了重要改进之后，终于证明了（1+2） 。他的证明震惊中外，被誉为“推动了群山，“并被命名为“陈氏定理“。他证明了如下的结论：任何一个充分大的偶数，都可以表示成两个数之和，其中一个数是质数，别一个数或者是质数，或者是两个质数的乘积。 现在的证明距离最后的结果就差一步了。而这一步却无比艰难。30 多年过去了，还没有能迈出这一步。许多科学家认为，要证明（1+1）以往的路走不通了，必须要创造新方法。当“陈氏定理“公之于众的时候，许多业余数学爱好者也跃跃欲试，想要摘取“皇冠上的明珠“。然而科学不是儿戏，不存在任何捷径。只有那些有深厚的科学功底，“在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人，才有希望达
24、到光辉的顶点。 “哥德巴赫猜想“这颗明珠还在闪闪发光地向数学家们招手，她希望数学家们能够早一天采摘到她。6.阿基米德阿基米德公元前年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古。父亲是位数学家兼天文学家。阿基米德从小有良好的家庭教养，岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称“智慧之都“的名城里，阿基米德博阅群书，汲取了许多的知识，并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生，钻研几何原本 。 后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父“的美称。其原因在于他通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演泽方法推出许多杠杆命题，给出严格的证明。其中就有著名的“阿基米德原理“，他在数
25、学上也有着极为光辉灿烂的成就。尽管阿基米德流传至今的著作共只有十来部，但多数是几何著作，这对于推动数学的发展，起着决定性的作用。 砂粒计算 ，是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。 圆的度量 ，利用圆的外切与内接边形，求得圆周率 为： ，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的 值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。 球与圆柱 ，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积
26、的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的 。在这部著作中，他还提出了著名的“阿基米德公理“。 抛物线求积法 ，研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线） ，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。“他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。 论螺线 ，是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。 平面的平衡 ，
27、是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。 浮体 ，是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。 论锥型体与球型体 ，讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体体积。 丹麦数学史家海伯格，于年发现了阿基米德给厄拉托塞的信及阿基米德其它一些著作的传抄本。通过研究发现，这些信件和传抄本中，蕴含着微积分的思想，他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。 正因为他的杰出贡献，美国的 E.T.贝尔在数学人物上是这样
28、评价阿基米德的：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。7.高斯高斯（C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23）是德国数学家、物理学家和天文学家，出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。父亲格尔恰尔德迪德里赫先后当过护堤工、泥瓦匠和园丁，第一个妻子和他生活了 10 多年后因病去世，没有为他留下孩子。迪德里赫后来娶了罗捷雅，第二年他们的孩子高斯出生了，这是他们唯一的孩子。父亲对高斯要求极为严厉，甚至有些过份，常常喜欢凭自己的
29、经验为年幼的高斯规划人生。高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。1806 年迪德里赫逝世，此时高斯已经做出了许多划时代的成就。在成长过程中，幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30 岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的在成长过程中，幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30 岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich） 。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成
30、年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才“。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。在数学史上，很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。罗捷雅直到34 岁才出嫁，生下高斯时已有 35 岁了。他性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感。高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围。当丈夫为此训斥孩子时，他总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟
31、大的事业，对高斯的才华极为珍视。然而，他也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。在高斯 19 岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友.波尔约（W.Bolyai,非欧几何创立者之一J.波尔约之父）问道：高斯将来会有出息吗？.波尔约说她的儿子将是“欧洲最伟大的数学家“，为此她激动得热泪盈眶。7 岁那年，高斯第一次上学了。头两年没有什么特殊的事情。1787 年高斯 10 岁，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳（Buttner） ，他对高斯的成长也起了一定作用。在全世界广为流传的一则故事说，高
32、斯 10 岁时算出布特纳给学生们出的将 1 到 100 的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案。不过，这很可能是一个不真实的传说。据对高斯素有研究的著名数学史家 ET贝尔（E.T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+100899。当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为 198，项数为 100） 。当布特纳刚一写完时，高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去。ET贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他写的答案是正确的，而其他的孩子们都错了。高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个
33、问题。数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。一位年仅 10 岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属很不平常。贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实，应该是比较可信的。而且，这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。高斯的计算能力，更主要地是高斯独到的数学方法、非同一般的创造力，使布特纳对他刮目相看。他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。“接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯(J.M.Bartels)建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。1788 年，11 岁的高斯进入了
34、文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。经过巴特尔斯等人的引荐，布伦兹维克公爵召见了 14 岁的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。不仅如此，这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。1792 年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795 年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大家，这样就使得高斯得以
35、按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。1799 年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克，正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时虽然他的博士论文顺利通过了，已被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了算术研究 ，使该书得以在 1801 年问世；还负担了高斯的所有生活费用。所有这一切，令高斯十分感动。他在博士论文和算术研究中，写下了情真意切的献词：“献给大公“，“你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究“。1806 年，公爵在抵抗拿破仑统帅的
36、法军时不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。大公的去世给高斯带来了经济上的拮据，德国处于法军奴役下的不幸，以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷，但他是位刚强的汉子，从不向他人透露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸。人们只是在 19 世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手搞中，突然插入了一段细微的铅笔字：“对我来说，死去也比这样的生活更好受些。“慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯必须找一份合适的工作，以维持一家人的生计。由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从 1802 年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科
37、学院不断暗示他，自从 1783 年欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着象高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建立天文台。现在，高斯又在他的生活中面临着新的选择。为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（B.A.Von Humboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥丁根大学数学和天文学教授，以及哥丁根天文台台长的职位。1807 年，高斯赴哥丁根就职，全家迁居于此。从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥丁根。洪堡等人的努力，不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥丁根
38、数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。同时，这也标志着科学研究社会化的一个良好开端。高斯的学术地位，历来为人们推崇得很高。他有“数学王子“、“数学家之王“的美称、被认为是人类有史以来“最伟大的三位（或四位）数学家之一“（阿基米德、牛顿、高斯或加上欧拉） 。人们还称赞高斯是“人类的骄傲“。天才、早熟、高产、创造力不衰、，人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过份。高斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是 1819 世纪之交的中坚人物。如
39、果我们把 18 世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把 19 世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。虽然数学研究、科学工作在 18 世纪末仍然没有成为令人羡慕的职业，但高斯依然生逢其时，因为在他快步入而立之年之际，欧洲资本主义的发展，使各国政府都开始重视科学研究。随着拿破仑对法国科学家、科学研究的重视，俄国的沙皇以及欧洲的许多君主也开始对科学家、科学研究刮目相看，科学研究的社会化进程不断加快，科学的地位不断提高。作为当时最伟大的科学家，高斯获得了不少的荣誉，许多世界著名的科学泰斗都把高斯当作自己的老师。1802 年，高斯被俄国彼得堡科学院
40、选为通讯院士、喀山大学教授；1877 年，丹麦政府任命他为科学顾问，这一年，德国汉诺威政府也聘请他担任政府科学顾问。高斯的一生，是典型的学者的一生。他始终保持着农家的俭朴，使人难以想象他是一位大教授，世界上最伟大的数学家。他先后结过两次婚，几个孩子曾使他颇为恼火。不过，这些对他的科学创造影响不太大。在获得崇高声誉、德国数学开始主宰世界之时，一代天骄走完了生命旅程。8.笛卡儿笛卡儿（Descartes， Rene） ，1596 年 3 月 31 日生于拉埃那，今称拉埃耶一笛卡儿（图尔附近）1650 年 2 月 11 日卒于瑞典斯德哥尔摩。法国哲学家，数学家，物理学家，解析几何学奠基人之一。他认为
41、数学是其他一切科学的理论和模型，提出了数学为基础，以演绎为核心的方法论，对后世的哲学。数学和自然科学发展起到了巨大的作用。 在笛卡儿的时代，拉丁文是学者的语言，他也如当时常见的那样，在他的著作上。签上他的拉丁化的名字一 RenatusCartesius（瑞那图斯卡提修斯） 。正因为如此，笛卡儿的哲学体系也称作卡提修（Castesian）体系，由他首创的画出方程所表示的曲线的常用坐标系也称卡提修坐标系。然而，笛卡儿用法文写作而不用拉丁文，这也表示拉丁文作为欧洲学者的通用语言正不断趋于废弃。笛卡儿一岁时，他母亲就死了，他似乎由他母亲遗传来坏的体质。他患有慢性气管炎，们学生时代，他可以在床上休息多久
42、都行。 （他是个天才的学生使他受到照顾。 ）在他的后半生中，他保持许多工作在床上做的习惯。他没有结婚因而免除许多家务之累，从而使得自己保养得很好。从他受那稣会教育的时候起，他一直小心谨慎，非常虔诚。例如， 1633 年他听到伽利略”被宣告为异端罪，他马上放弃了他正在写的论宇宙的著作，其中他接受了哥白尼的观点。1644 年左右，他就另外搞出一套理论，根据这个理论，整个空间充满着物质，这些物质形成许多转动着的旋涡。他认为地球们一个旋涡的中心静止着，而这个旋涡又绕着太阳转。这个妥协的学说，正如第谷布拉赫”的学说一样，虽然很巧妙，可是毫无价值。但它却被当时许多学者所接受，一直到一代人以后，中顿”的引力
43、理论才把所有的这种小理论完全赶掉。然而，笛卡儿的旋涡理论却和三个世纪以后韦茨泽克”的旋涡理论有着奇妙的相似之处。他在法国军队里呆了几年，但他没有打过仗，有大量时间去研究哲学。其后，他在新教的荷兰定居下来。他的后半生几乎完全住在荷兰，一直到 1649 年 9 月这个倒霉的时刻，他极为勉强地屈从于瑞典官廷对他的邀请。当时，瑞典的统治者是克里斯蒂娜，她迫切需要著名哲学家的侍奉以求光耀她的官廷。（在十八世纪也就是所谓理性时代，欧洲王室对于智力的光荣的渴望特别强烈。 ）不幸，克里斯蒂娜是王座上的一个最古怪的统治者，她对笛卡儿侍奉的想法就是一个星期三次在清晨五点去拜见她，教她哲学。在瑞典的冬夜里最冷的时候
44、了星期到宫中拜见三次对于肺部不健康的笛卡儿简直是太多了。这个冬天还没过去，笛卡儿就死于肺炎。他的身体除了头以外，全部运回法国。1809 年白则里”得到了笛卡儿的头颅骨，他把它转交给居维叶“，这样笛卡儿才最终回到老家。笛卡儿是机械论者。他认为宇宙可以通过广延及运动而构成，他想首先必须由无可争辩的事实开始，也就是从大家都接受的事物开始。他们 1637 年出版的方法论一本中，一开始就怀疑所有的事物，似乎他所找的无可争辩的事实就是这种怀疑，怀疑的存在意味着某种正在怀疑的东西存在，也就是他自己的存在。他用拉丁文句子“Cogito,ergosum”（我思故我在）来表达这种思想. 他由此出发建立十分重要的体
45、系使得他得到（有时给他的） “近代哲学之父”的称号。笛卡儿甚至把他的机械观点用到人体上，虽然他还没有用到人类的灵魂或上帝上面。他由维萨里及哈维( 笛卡儿帮助普及哈维的血液循环理论）的工作得出自己的结论，他试图把纯粹动物的身体的活动表成为一套机械装置。心灵在肉体之外并且其活动与肉体无关，心灵与肉体以松果腺为媒介彼此相互作用。松果，腺是与脑相接的小体，盖伦”认为它是调节思想流的通道及阀门。笛卡儿可能受到这种观点的影响，但是他选中松果腺还因为他认为这个器官只有人有而低等动物没有，因而低等动物缺乏心智及灵魂，只是个活机器。 （他在这个问题上搞错了，几十年后，斯旦诺”发现低等动物也有松果腺，现在我们知道
46、有一类很原始的爬虫类，其松果腺比人的发育得好得多。 ）不管怎样，笛卡儿对科学的最重要的贡献是在数学方面。例如，他是头一个用开头的一些字母表示常量，用靠近结尾的一些字母表示变量。韦达的记法这样一改革就站住脚了，因此我们所熟悉的代数中的 x y 是来自笛卡儿。他还引进指数和平方根的记号。笛卡儿在军队服役时对数学逐渐感到兴趣，他不参加军事活动使他有时间思考问题。他的伟大发现是在床上得到的，有个故事说他盯着空中飞的苍蝇，于是他想到苍蝇在每一时刻的位置可以用苍蝇所在的位置处曾交的三个互相垂直的平面所确定。们二维平面上，象在一张纸上，每一点都可以由在这点相交的两条互相垂直的直线来确定。这个发现本身倒是并非
47、什么独创。地球表面上所有点都可由经度及纬度确定，这就是平面上的笛卡儿坐标在球面上的表现。使世界震惊的是笛卡儿看到，利用他的坐标系，平面上每一点都可以用两个数的有序组来表示，如（2，5）或（一 3一 6）这可以解释为“由始点东边二个单位和北边五个单位”或“由始点西边三个单位和南边六个单位” 。对于空间中的点，需要用三个数的有序组，第三个数表示上下的单位。一个代数方程表示一个变量 y 如何按照某种固定的格式依赖于另外一个变量 x 的涨落。例如 y= 2x 一 5，对于 x 的每一个数值，都有 y 的某个确定的值。若令 x 等于 1，y 就成为一 3；如 x 是 2，y 就是 3；如 x 是 3，y
48、 就等于 13，如此等等。如果把这些 x，y 的组（1，一 3）l （2，3） ， （3，13） ，】所代表的点变成们笛卡儿坐标系下平面上的点，就得到一条光滑曲线，在这个例子中是一条抛物线。每一条曲线通过笛卡儿坐标系表示一个特殊的方程；每一个方程表示一条特殊的曲线。笛卡儿把这个概念写到 1637 年出版的论述太阳系的旋涡及其结构一书中的长达二百页的附录中。们科学史中，一本书中的非正式的附录比书的正文重要得多的情形，这还不是唯一的一次。另一个例子是两个世纪后的鲍那的附录。笛卡儿的概念的价值在于把代数和几何结合起来而使两者都得到极大的发展。两者结合们一起使得解决问题要比单独使用一种工具容易得多。正
49、是这种代数对几何的应用铺平了牛顿”发展微积分的道路，微积分实质上就是把代数应用于光滑变化的现象（如加速运动）上，而它可以用几何表示为各种曲线。因为从韦达的时代起， “解析”就是代数的同义词，笛卡儿把数学上两个分支融合为一的体系后来就被称为解析几何 ，思格斯把它称为数学的转折点，以后人类进入变量数学阶段。9.黎曼黎曼于年出生在德国的一个农村！岁到哥廷根大学读书，成为高斯晚年的一名高才生。哥廷根大学在后来的多年里一直是世界数学的研究中心。黎曼毕业后留校任教。年后（）死于肺结核。 黎曼的一生是短暂的，不到个年头。他没有时间获得象欧拉和柯西那么多的数学成果。但他的工作的优异质量和深刻的洞察能力令世人惊叹。我们之所以要介绍黎曼，是因为尽管牛顿和莱布尼兹发现了微积分，并且给出了定积分的论述，但目前教科书中有关定积分的现代化定义是由黎曼给出的。为纪念他，人们把积分和称为黎曼和，把定积分称为黎曼积分。 德国数学家希尔伯特曾指出：“世纪最有启发性、最重要的数学成就是非欧几何的发现。 ”年俄国数学家罗巴切夫斯基首先在保留欧氏几何前四个公设的同时，提出与欧氏几何第五
