洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案.docx-道客多多

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1、1第 1 章集合1、列举下列集合的元素(1) 小于 20 的素数的集合(2) 小于 5 的非负整数的集合(3) 2|,10451iIii且答：(1) 37,9(2) ,2(3) 568,102、用描述法表示下列集合(1) 12345,a答： |,iIi(2) ,8答： 2|iN(3) 0,41答： |,50iZi3、下面哪些式子是错误的？(1) 答：正确a(2) 答：错误(3) 答：正确,(4) 答：正确a4、已给和，指出下面哪些论断是正确的？哪些是2,34S,341Ra错误的？(1) 错误a2(2) 正确aR(3) 正确,43S(4) 正确1(5) 错误R(6) 正确aS(7) 错误(

2、8) 正确R(9) 正确a(10) 错误S(11) 错误R(12) 正确3,45、列举出集合的例子，使其满足，且,ABCABCA答：，，显然，，显然，但是。aaC6、给出下列集合的幂集(1) ,b答：幂集 ,ab(2) 答：幂集 ,aa7、设，给出和的幂集Aa2A答： 2,8、设由和所表示的的子集各是什么？应如何表示子128, 17B3A集和2,67a3a答： 10148,B3310145678,Ba，2,67010aB1310160aB9、设，，，，确定集合：,U,A,25,4C(1) (2) (3) (4)AB()C()()()A(5) (

3、6) (7) (8) (9) (10)()B2CAC答：(1) ，3,44A(2) ，，1AB,5C()1,35C(3) ，2()1,2(4) ，，,44A()()1,24AB(5) (6) ，()3,5AB ,35 ,35(7) ，1,2C()BC(8) ，，4,(9) ，，,A2,42C，， 1,4AC(10) 2C10、给定自然数集的下列子集：N，，1,78A2|50Bi|330Cii可被整数，|2,6kDiZk求下列集合：(1) ()C答：，1,2345,67B，0918,247,301,2486,3D()05689527,064ACD(2) B4(3) ()

5、)()EADB(6) |68,430n是的倍数 C12、判断以下哪些论断是正确的，哪些论断是错误的，并说明理由。(1) 若，则aAB5答：正确，根据集合并的定义(2) 若，则aAB答：显然不正确，因为根据集合交运算的定义，必须同时属于和aAB(3) 若，则 a答：正确(4) 若，则AB答：错误(5) 若，则 A答：正确(6) 若，则aAB答：错误(7) 若，则答：正确13、设是任意的集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理,ABC由(1) 若，则答：不正确，反例，设，则不论是什么集合，都有，,BCABC但显然不一定相等。,BC(2) 当且仅当，

6、有；A答：正确，证明如下：若，则对，有，则有a，因此有。反之，若，则显然成立。aAB(3) 当且仅当，有B答：正确，证明如下：若，则对，因此，则，aABa则有。若，则，有，因此由，可以得出Aa，因此，又，有。a (4) 当且仅当，有C()AB答：不正确，因为，因此不一定需要满足，而若CAC也可以满足。例如：，，，AB,abc,Bde,ab成立，而不成立。()CA6(5) 当且仅当，有BC()AB答：不正确，因为若，有成立，但是反之不成立，反例如CA下: ，，，而，1,2345A1,6,22,345B，但是不成立。(),BCB1

7、4、设是集合，下述哪些论断是正确的？哪些是错误的？说明理由。,D(1) 若，则,ABC()ABD答：正确，证明：对，则或，因为，因此aCaAC,ABD或，因此，即成立。aD()(2) 若，则,ABC()ABD答：正确(3)若，，则D()C答：正确(4) 若，则,ABC()ABD答：不正确。例如若，但是，，则,ABD。()D15、设是两个集合，问：,AB(1)如果，那么和有什么关系？AB答：因为，而，即对有，因此aB,Aa。(2) 如果，那么和有什么关系？AB答：充要条件是。证明：因为的，AB()()B从而有，即，同理可证明，

8、因此。A16、设是任意集合，下述论断哪些是正确的？哪些是错误的？说明理由。,7(1) 2ABB答：不正确。例如，，则,ab,c,ABabc, ,ABacab，2b2,Bc显然不成立。AB(2) 答：成立。证明：对，则且，则，则ABC2ABC,ACB，因此。反之，若，则，则且C2，因此，且，因此，即。BABAB2ABB(3) 2()A答：显然不成立，因为左边集合肯定含有，而右边不含有。17、在一个班级的 50 个学生中，有 26 人在离散数学的考试中取得了优秀的成绩；21 人在程序设计的考试中取得了优秀的成绩。假如有 17 人在两次考试中都没有取得优秀成绩

9、，问有多少人在两次考试中都取得了优秀成绩?答：分别用表示在离散和程序设计的考试中取得优秀成绩的学生集合，,AB表示全体学生集合：则，，，则两U#()26A()1B#()50173AB次考试中都取得了优秀成绩的学生人数为 26+21-33=14 人。18、设是任意集合，运用成员表证明：,ABC(1) ()()()()AB 证明： ABCACB左边右边0 0 0 1 1 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 1 1 1 0 1 1 10 1 1 1 1 1 0 1 1 11 0 0 0 0 1 0 0 0 01 0 1 0 1 1 1 0 1 11 1

10、0 0 0 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1 1 0 1 18(3) ()()()ABCAC证明： ()()BAC()ABC0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 1 00 1 1 0 0 0 1 01 0 0 1 1 1 0 11 0 1 1 0 0 1 01 1 0 0 1 0 1 01 1 1 0 0 0 1 0由上得证左右两边相等。19、由和的成员表如何判断？应用成员表证明或否定 STST()()ABCAB答：先分别给出集合和的成员表如下：ABCBC()()()ABCBA0 0 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 1

11、0 0 1 00 1 0 1 1 0 0 0 00 1 1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 0 1 1 1 11 0 1 1 1 0 0 1 11 1 0 1 1 0 0 0 01 1 1 1 1 0 0 0 0观察上述表格，我们发现所标记的列中，仅在第五列为 1，这()()ABC意味着当元素且时，，而在其他情形下，,uu()AB元素。而集合所标记的列中，第五和第六行均为()()ABC1，这意味着且时，，当，且时，, ,uuC也有。所以当元素时也有，反之不然，u()()uABCAB因此成立。()()ABC920、为的子集，至多能产生多少不同的子集？12

12、,rA U12,rA答：构造由所产生的集合的成员表，显然该成员表由个行所组成。,r 2r在该成员表中不同的列可由为的二进制数 000 01111 1 分别表示，而不r 同的列所标记的集合不相同的，因此由至多可以产生个不同的12,rA 2r集合。21、证明分配律、等幂律和吸收律 91 分配律 ()()()ABCC证明：对，则有且，即有，且或aaABaAB，也即有或，即，因此左边右()()C边。对，则或，即且，()()aABCaa或且，即有或，因此，因此右边左B()AB边。2 吸收律 ()证明：显然成立，对，则显然有，因此有ABaa，因此有

13、成立。()a()AB22、设是任意集合，运用集合运算定律证明：,C(1) ()BAU证明：()()()BABU 左边右边(2) ()()()()()()ABCCA证明： ()()()ABA左边右边10(3) ()()()()()()ABCABACB证明：()()()()()()()()BAABCC右边由上题的证明可知左边=右边，得证。23、用得摩根定律证明补集是()()ABC。()()ABC证明：()()()()(ABC24、设为某些实数的集合，定义为iA0|1|(,2)iai试证明： 01iA证明：设，则比存在整数，使得，因此有，于是 ,1iakkaA1aka因

14、此。另一方面，设，则有，若，则有，因此0A0aA101A。若，则令，，令，其中表1iabbkb11示的整数部分，则有，因此，即，于是1b1kb1akbkaA，因此得证。1iaA25、设是集合的一个分划，试证明中所2,r A12,rABAB有非空集合构成的一个分划。B证明：因为是集合的一个分划，因此由分划的定义，可得12,rA，且，而，且1ri,ijij()(),ijABij，因此中所有11()()(rri iiAB分配律 )12,rAB非空集合构成的一个分划。26、个元素的集合，有多少中不同的方法可以分划成两块？n答：当奇数时有种不同的方

15、法，当为偶数时有1212nnC n种不同的方法。12/2nC第 2 章关系1、若 , ，确定集合：01A,B(1) (2) (3) 2A2()BA解： (,)0,1,),1122(0,)1(,)(,01,)(0,)2(,1)(,0)2(1,)AB2、在通常的具有 X 轴和 Y 轴的笛卡尔坐标系中，若有试给出笛卡尔积的几何解释解：表示横坐标的范围在，纵坐标的范围在的二维点集x32xy20y所构成的集合。3、设 A，B，C 和 D 是任意的集合，证明(1) ()()()BAC(2) (3) )D证明：(3) 首先，因为，，所以()()ABA类似地，，所以有：CB()()反之，若

16、，则，(,)xyD,()xyAC(,)xyBD则，且，即，A,y所以， ,(B所以 ()()()CA所以 C4、对下列每种情形，列出由 A 到 B 的关系的元素，确定的定义域和值域，构造的关系矩阵：(1) 0,12,4(,)|ABab解：，024,(10)2,()关系矩阵(2) 21,2345,1,23(,)|ABab2,2,()()()()1,0,1,21|,0xRxyM13解： (1,)42关系矩阵 =M5、设，对下列每一种情形，构造 A 上的关系图，并确定的1,2345,6A 定义域和值域(1) (,)|ij解：图略 1,2,(3)4,(5),6定义域，DAR(2

18、(6,3)定义域，1R6、设和，试求出，1(,),()2(,)4,(2)1212,，，，和，并证明： =D 12()D12R解： 12(,)4,(3)1,(42)，，，1,D2,1,3R2,412()3,412()R证明： =12()12设，则必存在，使得，所以或者12()xDy12(,)xy1(,)xy，因此，或者，即，所以2(,)y12D1212()D；1反之，设，则或者，所以存在，使得x12x12x1y，或者存在，使得，由并集的定义知，1(,)xyy2(,)y(1,),(),(),(,),(3)6,(,),(),3,24352435(46)

19、5,(),6,6，2 2D121()15，或者，总之有，故1(,)xy22(,)xy1212xD12。12()D证明： 1212()R设，则必存在，使得，，因此且12yx(,)y1(,)xy21bR，由交集的定义，故。2b11bR1212()R7、和是分别具有基数和的有限集，试问有多少个到的不同关系？1A21n2 1A2答：的所有子集都是到的一个关系，所以共有个不同的关系。211A2 )21(#8、找出集合上普遍关系和恒等关系的关系矩阵和关系图的特,21naA征。答：上的普遍关系的关系矩阵是全 1 矩阵，而恒等关系的关系矩阵是单位矩阵。9、下列是集合

20、上的关系：，3,210A 2/|),(1 ijiji或者，试确定如下的复合关系：|),(2ji（1）（2）（3）（4）1 12 12131解：（1），),(0),(,)( ),(0021（2） ,（3） )2(1)(121（4） ),(0,3,)1,2(30110、设是集合上的关系，试证明：如果，则有：321,A21（1）（2）（3） 2313 证明：（1）对，由复合关系的定义，，使得，1),(yx Az，，因为，所以，所以，所1),(zx3z22),(x32),(yx以 23（2）对，由复合关系的定义，，使得，，13),(y z3,z16，因为，

21、所以，所以，所以1),(yz212),(yz23),(yx。233（3）对，有，因为，所以，所以1),(x1,x212,，也即。2),(y211、给定，求一个基数最小的关)4,3(),0(1 )3,(4),(21系，使满足的条件。一般地说，若给定和，能被唯一的确定吗？2 12基数最小的能被唯一确定吗？答：。一般地说，若给定和，不能被唯一的),(),3(2 12确定。基数最小的也不能被唯一确定。212、给定集合，设是由得关系，和是由得关系，321,A121A到 2332A到试证明：（1） =)(321 )()(3121证明：根据并集和复合关系的定

22、义，和都是)(32)()(3121上的关系，下只需要证明它们由完全相同的序偶组成。31A到设，必存在，使得，，所以)(),(321ca2Ab1,ba32,c有或者，所以有或者，也即b,cb21),(c1)(，也即；反之，若, 3121 321 3，也即或者，若)(c)(),a1,c)1),(ca，则存在，使得，，则，21 2A)(b2),(ba，则，若同理可得，因此有3,b,321ca31。则 = 。)()(121 321 )312（2） )()(3213证明：设，则存在，使得，，,3c2Ab1,(ba，则，且，所以，且32),(b2,b3,c

23、2)c，即，所以1a )()()11a。(3213213、给定是什么？nijIij,|),答：，0 I ),43(,2)1(,0),(1,2 ，则)53(,4),1(2,(,13,2 |nijIijn14、对第 9 题中的关系，构造关系矩阵17（1）（2） 1M1解： ),2(0),3(,)0( )1,3(0(3) 12解： )1,3(02),(15、设是有个元素的有限集，是上的关系，试证明必存在两个正整数AnA，使得。tk,tk证明：因为是上的关系，所以对于任意正整数，也是上的关系，另rrA一方面，因为，所以，，也即上)(#2)(#n2)(#)(#nA只有

24、个不同的关系，因此在关系中必有两个是相同的，2n 123, n也即存在两个正整数，使得，其中。tk,tk tk16、设是由到的关系，是由到的关系，试证明。1AB2BC121证明：由题设知道和都是由到的关系，因此只要证明它们由完211A全相同的序偶组成。设，则，因此必存在元素，2),(ac21),(caBb使得，，所以，，所以。1),(ba2,1,bb12),(ac反之，设，则必存在元素，使得，，12cB 2),(所以，，所以，所以，所以1,2),( 21),(c1。2117、（1）设和是由到的关系，问成立吗？12AB2

25、121答：成立（2）设是集合上的关系，如果是自反的，则一定是自反的吗？答：是的。证明：若是自反的，则对所有的，有，则一定有Aa),(a，则也是自反的。),(a（3）若是对称的，则也是对称的吗？答：是的。（4）若是可传递的，则也是可传递的吗？答：是的证明：若是可传递的，由定义可知，若，，则一定有),(yx),(z，由逆关系的定义，也即，若，，一定有，),(zx ),(xz，则也是可传递的。10M2101818、图 2-9 给出了集合上的关系的关系图，试画出关系和的6,5432,158图，并利用关系图求出关系的传递闭包。解：图 2-9关系 )6,(

26、3),45(,)2(,51)3,(642 ,3 )()()(4因为，所以，23528传递闭包。 19、试证明：若是基数为的集合上的一个关系，则的传递闭包为nAin1证明：由定义，要证明，因为，所以只要证明i1 ini1in1i即可。设，则必存在正整数，使得，若i1in1),(bai1 kkba),(，则，若，则在中必存在个元素，k),(in1kA121,kii使得：bakiii 121,因为，所以在这个元素中必有两个元素（nkbaki,21 triia，记为，记为），因此下述关系tr0a0i ktrr iii 1111 , 成立，这表明，

27、。若，用类似的方法又可找到bkt)(n，使，最后必可找到一正整，使且，因此 12k,2 hbah),(ba，故。20、下列关系中哪一个是自反的、对称的、反对称的或者可传递的？（1）当且仅当时，有；),(10|22Iii21i答：是自反的，对称的，非可传递的，例如，，但不成立。93132ni 1nii19（2）当且仅当时，有；),(82121Nn21n答：非自反的，因为不成立，但。对称的，非可传递的，因为， 10，但是不成立。10（3）当且仅当时，有。),(|211Rrr21r答：自反的，非对称的，非可传递的，因为，，但是不成立。)8(51521、设

28、和是集合上的任意两个关系，判断下列命题是否正确，并说明理12A由：（1）若和是自反的，则也是自反的；1221答：正确。因为和是自反的，因此对任意，有，因此12 Aaa21,，所以也是自反的。a21（2）若和是非自反的，则也是非自反的；2 21答：错误；例如，,cbaA，，和都是非自反的，但)(,),(1 ),(),(2cab12是是自反的。,2（3）若和是对称的，则也是对称的；1221答：错误，设，，，显然和,cbaA),(),(2ac1是对称的，但是是非对称的。2 ),(21（4）若和是反对称的，则也是反对称的；12 21答：错误，

29、设，，，显然和,c),(cba),(2cb1是反对称的，但是不是对称的。2 ,21（5）若和是可传递的，则也是可传递的；12 21答：错误，设，，，,cbaA),(),(c ),(),(2abc显然是可传递的，但是却是不可传递的。12 21 aba22、证明若是对称的，则对任何整数，也是对称的。1kk证明：数学归纳法，当时，若，则根据复合关系的定义，存在k2),(元素，使得，因为是对称的，所以，c),(),(bca ),(),(cbac所以，因此是对称的，假设当时成立，则当时，若2),(b2 kn1kn，则存在元素，使得，因为和是对称

30、1ka1 ),(),(11bca的，因此，所以，因此：),(,cck k时成立，即得证。n23、已知和定义在上的关系，试1,234AA(1,2)43,()2,1(3)20证明不是可传递的。求出一个关系，使得是可传递的，你能求出另11一个关系也是可传递的嘛？2答：证明：显然不是可传递的，因为，，但是。(,2)(,)(1,)，能找出另一个关系。1(,)43,(),1(3),4。,1,324、图 2-10 表示在上的 12 个关系的关系图。试对每一个这样的图，确,2定其表示的关系是自反的还是非自反的；是对称，非对称还是反对称；是可传递的还是不可传递的？答：自反的、非对称的

31、、非反对称的，非可传递的自反的、对称的，非反对称的、可传递的非自反的、非对称的、反对称的、可传递的21自反的、非对称的、反对称的、可传递的25、图 2-11 给出了上的两个关系的关系图，这些关系是等价的吗？1,23答：(a) (b)答：图(a)表示的关系具有自反性，对(1,)2,(3)1,2(),3(,1)称性，但是不具有传递性，因为有，但是，因此不是等2价关系。图(b)表示的关系，具有自反性，对称性，传递(,),(),()性，因此是等价关系。26、在上的关系定义为当且仅当可以用形式表示时，有，这N/ijn2mijn里是任意整数：m(1)证明是等价关系证明：对，，因

32、此，所以关系具有自反性。n0/12对，若，即存在，使得，则有，因此有,ijijm/2mij/2mji。所以关系具有对称性。j对，若，且，即存在，使得，,ijkNijk12,1/ij，则，因此有，所以关系具有传递性。2/mj12/mi综上可得关系是等价关系。(2) 找出的所有等价类答： 1,24816,2,01,343 ,5,0,5,2kk 22 1,35,21Nk 27、有人说，集合上的关系，如果是对称的且可传递的，则它也是自反的，A其理由是，从，由对称性得，再由可传递性便得。ijajiaia答：这种说法是错误的。例如，，，显然是1,23(1

33、,2),()对称的，且是可传递的，但是它不是自反的。28、设有集合和上的关系，对于所有的，若由和A,ijkaAija可推得，则称关系是循环的，试证明当且仅当是等价关系时，jkakia是自反且循环的。证明：先证充分性若是等价关系，则是自反的，对称的，可传递的。对于所有的， ,ijkaA若且，则，由对称性则有，因此关系是循环的。ijajkikakia再证必要性若对于所有的，若有，又由自反性，有，则由是循环,ijkAij j的，可得成立，即具有对称性。j若对于所有的，若由和，由是循环的有，由对,ijkaijajkkia称性可得，因此具有可传

34、递性。ik又由是自反的，则是等价的。29、设和是上的等价关系，试证明：当且仅当中的每一等价类都包12A1A含于的某一等价类中时，有。2A12证明：先证充分性设中的每一个等价类都包含于的某一个等价类中，对任一，1 2A 1(,)ija有，因此。又由假设必有某元素存在，使得ija11,iijiaabA，因此有，，所以，故有。12b2b2j 2(,)ija12再证必要性：设，并设是中任一等价类，对任一，有，即121i1A1ix1iax，由假设，即，故有。(,)iax2(,)ax2ix2i30、已知和是集合上分别有秩和的等价关系，试证明也

35、是12 1r2 2123上的等价关系，它的秩最多为，再证明不一定是上的等价关系。A21r21A证明：由交集的定义 1212(,)|(,)abab且对于，因为都是自反的，所以，且，因为a, 2(,)，所以是自反的。12(,)12对于，若，则，，由和的对称bA(,)ab1(,)2,12性知，且，因而有，故是对称的。1, 2ba对于，若，，则有，ac1,12,c1(,)ab，，，由的传递性知，，1(,)2(,)2()c2c2(,)c因而，故是可传递的。所以也是上的等价关系。1 21A对于，由并集的定义知121212(,)|(,)abab

36、或者对于，因为是自反的，所以，因而，所以aA1 11是自反的。对于，若，则或者12,abA2,，由于和都是对称的，因此有或者，因而有(,)b12 1(,)2()，故也是对称的。12对于任意的，若，，则或者,c12(,)12,bc1,ab；或者，因为和不一定能同时属于，2(,)a1()2b()a也不一定能同时属于，所以无法推出或者，因而也就无法2 1,2(,)推出，这说明的可传递性不一定能成立，因此推不出1,c12是上的等价关系。12A反例：设，上的关系，,3A1(,)2,(3),(1)，显然和均是等价关系。2(,)(),()，这

37、里是自反的，对称的，1,1, 12但是不可传递的。31、设是集合上的一个关系，。1A2 11(,)|,()(,)abcacb存在使且试证明：若是一个等价关系，则也是一个等价关系。证明：因为是自反的，因此对，有，由，因此1 A1,1,有，故是自反的。2(,)a2对于任意的，若，则必有元素，使得且,abA2(,)abc1(,)ac，由的对称性又有且，因而有，故1,cb1 1c1(,)a2b是对称的。2对任意的，若，，则必有元素，使得：,c2(,)2, ,deA2411(,),()adbec由的可传递性，又有，，于是又有，故11,b2,

38、2(,)ac是可传递的。2由上得证是一个等价关系。232、设是由 4 个元素组成的集合，试问在上可以定义多少个不同的等价关AA系？答：根据等价关系与分划一一对应，将分划为一块：有一种方法，将分划A为两块：2+2 方式有 1/2 种，1+3 方式有种24C14C将分划为三块：只能是 1+1+2 方式，有种A2将分划为四块：有一种方法因此集合上不同等价关系的个数为 15 种。33、设和是集合上的等价关系，下列各式哪些是上的等价关系？为什12AA么？(1) 1()A答：不是等价关系，因为不具有自反性(2) 12答：不是等价关系，因为不具有自反性(3) 1答：是等价关系，证

39、明如下：是自反的，显然也是自反的。若，12121(,)ab则有复合关系的定义，存在，使得，，由的对称性cA(,)ac1(,)b1有，，由复合关系的定义有，因此是对称的。1(,)ca1(,)bc 22若，由复合关系的定义，2由对称性，，所以，由的对称性，，因此具有传递性。因此是21(,)ca21 21(,)ac21 21上的等价关系。A(4) 12r答：不一定是上的等价关系。例如，,23A，为上的普遍关系，则2(,),(3),(2)1不具有传递性，因为1 ,(),r 11,()()ddeec111(,),()(,)dbebce25，但是。12(2,)

40、3()r12(,3)r34、对于下列集合中的整除关系，画出次序图：(1) ,46,8答： (2) 1,2345,6789,102答：35、对于下列集合，画出偏序关系整除的次序图，并指出哪些是全序(1)2,64答：是全序(2)3,51答：非全序(3)1,236答：26非全序(4)2,4816答：是全序(5) 3,92754答：是全序36、如果是集合中的偏序关系，且，试证明：是上的ABA()B偏序关系。证明：对任意的，必有，又因为及的自反性，所以aB(,)aa，因此，故是自反的。(,)a(,)()对任意的，若，且，则有，,bbB,()bB(,)ab且，由的反对称性

41、，有，因此是反对称的。,对任意的，若，，则，,cB(,)()a(,c,且，由的可传递性必有，由的定义，，(,),()cB于是，因此是可传递的，由上得证是aB上的偏序关系。B37、给出一个集合的例子，使得包含关系是幂集上的一个全序。A2A答：，1,23,12,3,1,3,上的关系。A2738、给出一个关系，使它既是某一集合上的偏序关系又是等价关系答：，，显然具有自反性，对称性，可传递1,23A(1,)2,(3)性，还具有反对称性，因此既是上的；偏序关系，也是等价关系。A39、图 2-12 表示上的四个偏序关系图。画出每一个的次序图，并指出,4其中

42、哪些是全序，哪些是良序答： (a)(1,)2,(3)4,(12),3(,1)4,()不是全序，也不是良序(b)不是全序也不是良序(1,)2,(3)4,(13),2(,4)28(c)(1,)2,(3)4,(1),2(3,)14,(),2是全序也是良序(d)非全序，也不是良序。(1,)2,(3)4,(1),3(4,)240、一个集合上的自反和对称关的关系称为相容关系(1) 设是人的集合，是集合上的关系，定义为当且仅当是的朋友时，AAab有，试证明是上的相容关系。ab证明：对，因为任何的人都是自己的朋友，也就是有，因此具有自反性，若，也就是是的朋友，那么一定有是的朋

43、友，则有，abba因此是对称的，因此是上的相容关系。A(2) 是正整数集上的关系，当且仅当两个正整数和中有相同的数字时，N1n2，试证明是一个相容关系；12n证明：显然，对，有，因此具有自反性；若，则表示和nn121n中有相同的数字，因此和也有相同的数字，因此。所以具有对2 21称性，所以是上的一个相容关系。(3) 再举出一个相容关系的例子答：等价关系都是相容关系，反之则不成立。(4) 设和是上的两个相容关系，是相容关系吗？是相容关12A1212系吗？答：和都是相容关系，前题 30 中证明了若和是上的等价121212A关系，则也是等价

44、关系，而具有自反性和对称性。1229第 3 章函数1. 以下关系中哪一个构成函数？(1) 1212(,)|,0nNn答：不构成函数。象的唯一性不能满足，因为都属于这个集合。而(1,2)3等这样的数在中无像，所以象的存在性也不能满足。,3(2) 1221()|, 小于的素数的个数答：是函数，象的唯一性和存在性都能满足。2. 设，，给定由到的关系：UAUBAB1221(,)|,fSSU是函数吗？若是的话，的值域吗？为什么？f ffR答：是函数。的值域。因为对，则，则对，fUf 2C(,)C，因此象的像源为。CC(,)3. 下列集合能够定义函数吗？如果能，试指出它们的定义域和值域？(1)

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