1、英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给 10 头牛吃，可以吃 22 天，或者供给 16 头牛吃，可以吃 10 天，如果供给 25 头牛吃，可以吃几天？ 解题关键： 牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步： 1、求出每天长草量； 2、求出牧场原有草量； 3、求出每天实际消耗原有草量4、最后求出可吃天数 想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把 10 头牛 22 天吃的总量与 16 头牛 10 天吃的总量相比较，得到的 1022-1610=60，是 60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天
2、里，便知是 5 头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把 25 头牛分成两部分来研究，用 5 头吃掉新长出的草，用 20 头吃掉原有的草，即可求出 25 头牛吃的天数。 解：新长出的草供几头牛吃 1 天： （1022-161O）(22-1O） =（220-160）12 =6012 =5（头） 这片草供 25 头牛吃的天数： （10-5 ） 22（25-5） =52220 =5.5（天） 答：供 25 头牛可以吃 5.5 天。 - “一堆草可供 10 头牛吃 3 天，这堆草可供 6 头牛吃几天？ ”这道题太简单了，一下就可求出：31065（天） 。如果我们把“一堆草 ”换成“一片
3、正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。 例 1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，或者可供 15 头牛吃 10 天。问：可供 25 头牛吃几天？ 分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两
4、个不变量。 设 1 头牛一天吃的草为 1 份。那么，10 头牛 20 天吃 200 份，草被吃完；15 头牛 10 天吃 150 份，草也被吃完。前者的总草量是 200 份，后者的总草量是 150 份，前者是原有的草加 20 天新长出的草，后者是原有的草加 10 天新长出的草。 20015050（份） ，20 1010 （天） ， 说明牧场 10 天长草 50 份，1 天长草 5 份。也就是说，5 头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5 头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草 （l0 5） 20100（份）或（15 5）10100（份） 。 现在已经知道原有草 100 份，每天
5、新长出草 5 份。当有 25 头牛时，其中的 5 头专吃新长出来的草，剩下的 20 头吃原有的草，吃完需 100205（天） 。所以，这片草地可供 25 头牛吃 5 天。 在例 1 的解法中要注意三点： （1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。 （2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。 （3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。 例 2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后
6、，再打开出水管。如果同时打开 2 个出水管，那么 8 分钟后水池空；如果同时打开 3 个出水管，那么 5 分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？ 分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化， “水”相当于“草” 进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例 1 相似。 出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。 设出水管每分钟排出水池的水为 1 份，则 2 个出水管 8 分钟
7、所排的水是2816（份） ，3 个出水管 5 分钟所排的水是 3515（份） ，这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在 8-5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是 (16-15)/3=1/3(份) 假设让 1/3 个出水管专门排进水管新进得水,两相抵消,其余得出水管排原有得水, 可以求出原有水得水量为:(2-1/3)8=40/3(份)或(3-1/3)5=40/3(份) 解:设出水管每分钟排出得水为 1 份,每分钟进水量 (28-35)/(8-5)=1/3(份) 进水管提前开了(2-1/3)81/3=40( 分) 答：出水管比进水管晚开 40
8、 分钟。 例 3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可供多少头牛吃 10 天？ 分析与解：与例 1 不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例 1 的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。20 头牛 5 天吃 100 份，15 头牛 6 天吃 90份，100-90=10（份） ，说明寒冷使牧场 1 天减少青草 10 份，也就是说，寒冷相当于 10 头牛在吃草。由 “草地上的草可供 20 头牛吃 5 天”，再
9、加上“寒冷”代表的 10 头牛同时在吃草，所以牧场原有草（2010）5150（份） 。 由 1501015 知，牧场原有草可供 15 头牛吃 10 天，寒冷占去 10 头牛，所以，可供 5 头牛吃 10 天。 例 4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 分析：与例 3 比较， “总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”， “草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。 上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自
10、己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩 5 分钟走了 205 100（级） ，女孩 6 分钟走了15690（级） ，女孩比男孩少走了 1009010（级） ，多用了 65 1（分），说明电梯 1 分钟走 10 级。由男孩 5 分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有 （2010）5150（级） 。 解：自动扶梯每分钟走 （205156）（6 5）10（级） ， 自动扶梯共有（20 10）5150（级） 。 答：扶梯共有 150 级。 例 5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分
11、钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？ 分析与解：等候检票的旅客人数在变化， “旅客”相当于“草”， “检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。 旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。 设 1 个检票口 1 分钟检票的人数为 1 份。因为 4 个检票口 30 分钟通过（430）份，5 个检票口 20 分钟通过（520 ）份，说明在（ 30-20）分钟内新来旅客（430-520）份，所以每分钟新来旅客 （430-520）（30-20）=2（份） 。 假设让 2 个检票口专门通过新来的旅
12、客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为 （4-2）30=60（份）或（5-2 ）20=60（份） 。 同时打开 7 个检票口时，让 2 个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要 60（7-2）=12 （分） 。 例 6 有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14天。问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天？ 分析与解：例 1 是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。 5，6，8120。 因为
13、5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天， 120524，所以 120 公顷草地可供 1124264（头）牛吃 10 天。 因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天，120620，所以 120 公顷草地可供 1220240（头）牛吃 14 天。 120815，问题变为： 120 公顷草地可供 1915285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为： “一块匀速生长的草地，可供 264 头牛吃 10 天，或供 240 头牛吃 14 天，那么可供 285 头牛吃几天？” 这与例 1 完全一样。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。每天新长出的草有 （24014264
14、10）（14 10 ）180 （份） 。草地原有草（264 180）10840（份） 。可供 285 头牛吃 840（285 180）8（天） 。 所以，第三块草地可供 19 头牛吃 8 天。 - 牛顿在其著作普遍的算术(1707 年出版)中提出如下问题：12 条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草；21 条公牛在 9 星期吃掉 10由格尔的牧草，问多少条公牛在 18 个星期内吃掉 20 由格尔的牧草？ （由格尔是古罗马的面积单位，1 由格尔约等于 2,500 平方米） 。这个著名的公牛问题叫做“牛顿问题”。 牛顿的解法是这样的：在牧草不生产的条件下，如果 12 条公牛在四星期内吃掉
15、三又三分之一由格尔的牧草、则按比例 63 头公牛四星期内，或 16 头公牛九个星期内，或八头公牛 18 星期内吃掉 10 由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以 21 头公牛星期只吃掉 10 由格尔牧草，即在随后的五周内，在 10 由格尔的草地上新长的牧草足够 21-16=5 头公牛吃 9 星期，或足够 5/2 头公牛吃 18个星期，由此推得，14 个星期（即 18 个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供 7 头公牛吃 18 个星期，因为 5：14=5/2：7。前已算出，如牧草不长，则 10 由格尔草地牧草可供八头公牛吃 18 个星期，现考虑牧草生长，故应加上7 头，即 10 由格尔草地的牧草实
16、际可供 15 头公牛吃 18 个星期，由此按比例可算出。24 由格尔草地的牧草实际可供 36 头公牛吃 18 星期。 牛顿还给出代数解法：他设 1 由格尔草地一个星期内新长的牧草相当于面积为 y 由格尔，由于每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积看成是相等的， 根据题意，设若所求的公牛头数为 x，则（10/3+10/3）*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x 解得 x=36 即 36 条公牛在 18 个星期内吃掉 24 由格尔的牧草。 有一片牧场，已知饲牛 27 头，6 天把草吃尽。饲牛 23 头，则 9 天吃尽。如果饲牛 21 头，问几天吃尽？
17、解：假设 1 头牛 1 天吃的草为 1. 每天新长的草：（239-276） （9-6）=15 牧场原有的牧草：276-156=72 21 头牛几天把草吃尽： 72（21-15 ）=12 计算这种牛顿问题，必须明确一个道理，就是牧场上的草不是固定不变的，而是在不断地生长，计算时要把这一点考虑进去。 （江苏人民出版社小学数学袖珍手册 ） 牛顿问题是牛顿在 1707 年提出的著名命题，其思想方法在实践中有重要的应用。 没看吧主的解，试做了一下： 设原有草 X，每天长草 Y，每天每牛吃草 Z， 得方程组：1 、X+6Y=Z*27*6 2、X+9Y=Z*23*9 3、X+?Y=Z*21*? 由 1、2
18、得 Y=15Z，X=72Z，代入 3， 得到:72Z+15?Z=21?Z 得到:?=12. 小明步行从甲地出发到乙地，李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48 分钟后两人相遇，李刚到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后 16 分钟追上小明.如果李刚不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，李刚共追上小明几次？ 试解：根据题意，设李速度为 X，小明速度为 Y，得到： 16*（X-Y）=2*48Y，得：X=7Y，即李的速度是小明的 7 倍，换句话说，小明走完全程时，李刚走完了七个全程的距离，到达甲地，可知，中途和小明相会7 次，其中“追上”3 次， 牛吃草问题 1.牧场上有一片匀速生长的草地，可
19、供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供 21 头牛吃几周？ 解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：某个时间期限前草场上原有的草量；这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。 假设一头牛一周吃草一份 则 23 头牛 9 周吃的总草量：1239=207 份 27 头牛 6 周吃的总草量：1276=162 份 所以每周新生长的草量：（207-162）（9-6）=15 份 牧场上原有草量：1276-156=72 份， （或 1239-159=72 份） 牧场上的草 2
20、1 头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把 21 头牛分成两部分：一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草. 假设有 15 头牛专吃新生长的草，另一部分 21-15=6 头牛专去吃原有的草 则牧场上原有的的草够吃 726=12 周 即这个牧场上的草够 21 头牛吃 12 周. 2.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。已知某草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或供 15 头牛吃 6 天。那么它可供多少头牛吃 10 天？ 假设一头牛一天吃草一份 则 20 头牛 5 天吃的总草量：1205=100 份 15 头牛 6 天吃的总草量：1156=90 份 所以每天枯草量
21、：（100-90）（6-5）=10 份 牧场上原有草量：1205+105=150 份 牧场上的草可供多少头牛吃 10 天？ （150-1010）10=5 头牛 3.一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天，或者供80 只羊吃 12 天.如果一头牛一天的吃草量等于 4 只羊一天的吃草量，那么 10头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 由于 1 头牛每天的吃草量等于 4 只羊每天的吃草量，故 60 只羊每天的吃草量和 15 头牛每天吃草量相等， 80 只羊每天吃草量与 20 头牛每天吃草量相等。 所以问题可转化为：这片牧草可供 16 头牛吃 20 天，或者供 20
22、头牛吃 12 天.那么（10+15）=25 头牛可以吃多少天 设一牛一天吃草一份 则每天长草（11620-12012 ）（20-12）=10 份 原有草 11620-1020=120 份 假设 25 头牛中，10 头牛专吃每天新长的 10 份草，另外的 25-10=15 头牛专吃原有草 则 12015=8 天 即这块草场可供 10 头牛和 60 只羊吃 8 天。 4.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 12 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水，10 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？设 1 人 1 小时的淘水量为 “1 份” 则 12 人 3 小时淘水：
23、1123=36 份 5 人 10 小时淘水：1510=50 份 所以每小时漏进水：（50-36）（10-3）=2 份 淘水时已漏进的水：36-23=30 份 所以如果要求 2 小时淘完，要安排（ 30+22）2=17 人淘水 5.一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5 台抽水机连续 20 天可抽干；6台同样的抽水机连续 15 天可抽干 .若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？设 1 台抽水机连 1 天抽水 1 份 则 5 台抽水机连续 20 天抽水 520=100 份 6 台抽水机连续 15 天抽水 615=90 份 每天进水（100-90 ）（20-15）=2 份 原有的水 100
24、-220=60 份 所以若 6 天抽完，共需抽水机（60+26）6=12 台 6.有三块草地，面积分别为 5、6 和 8 公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天。问第三块草地可供 19 头牛吃多少天？ 将三块草地的面积统一起来： 即5，6，8=120 第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，120/5=24，变为 120 公顷草地可供1124=264 头牛吃 10 天 第二块草地可供 12 头牛吃 14 天，120/6=20，变为 120 公顷草地可供1220=240 头牛吃 14 天 120/8=15，问题变为
25、120 公顷草地可供 1915=285 头牛吃多少天 于是，假设一头牛一天吃草一份 所以 120 公顷草地每天新生长的草：（24014-26410）（14-10）=180 份 120 公顷草地原有草： 26410-18010=840 份 所以可供 285 头牛吃 840（285-180）=8 天 即第三块草地可供 19 头牛吃 8 天 7.经测算，地球上资源可供 100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活 300 年。假设地球新生资源速度一定，那么为满足人类不断发展需要，地球最多能养活多少亿人？ 设 1 亿人 1 年消费资源 1 份 则 100 亿人生活 100 年消费资源 100*
26、100=10000 份 80 亿人生活 300 年消费资源 80*300=24000 份 所以每年新生资源（24000-10000 ） （300-100 ）=70 份 为满足人类不断发展需要，应使每年消费的总资源不超过每年新生资源 所以地球最多能养活 701=70 亿人 8.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟，如果同时开 7 个检票口，那么需多少分钟？ 假设 1 个检票口 1 分钟检票 1 组 则 4 个检票口 30 分钟检票 4*30=120 组 5 个检票口 20
27、 分钟检票 5*20=100 组 所以每分钟来的旅客：（120-100）（30-20）=2 组 开始检票前已来旅客：120-230=60 组 所以如果同时开 7 个检票口，那么需 60（7-2）=12 分钟 9.画展 9 点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队；如果开 5个检票口，9 点 5 分就没有人排队。那么第一个观众到达时间是 8 点多少分？ 假设 1 个入口 1 分钟进入人数为 1 组 则 3 个入口 9 分钟进入人数 3*9=27 组 5 个入口 5 分钟进入人数 5*5=25 组 所以每分钟来
28、的观众人数：（27-25）（9-5 ）=0.5 组 开门前已来的观众：25-0.5*5=22.5 组 所以第一个观众到达时间是 9 点-（22.50.5）分=8 点 15 分 10.牧场上有一片匀速生长的草地，可供 17 头牛吃 30 天，或供 19 头牛吃 24天。现有一群牛吃了 6 天后卖掉 4 头，余下的牛又吃了 2 天将草吃完。这群牛原来有多少头？ 设 1 头牛 1 天吃草 1 份 则 17 头牛 30 天吃草：11730=510 份 19 头牛 24 天吃草：11924=456 份 所以每天新生草：（510-456）（30-24）=9 份 牧场上原有草：510-930=240 份 假设那 4 头牛不卖掉，必须另备两天的草 142=8 份 所以这群牛原来有：240+9（6+2）+8（6+2）=40 头 11.自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走 20 级台阶，女孩每分钟走 15 级台阶，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？ 男孩 5 分钟走了 205=100 级 女孩 6 分钟走了 156=90 级 女孩比男孩少走了 100-90=10 级，多用了 6-5=1 分钟，说明扶梯 1 分钟走 10级 因为男孩用了 5 分钟到达楼上 该扶梯共有 205+105=150 级台阶
