1、天 津 师 范 大 学本科毕业论文（设计）题目：归纳法与数学归纳法学 院：数学科学学院学生姓名：王珏学 号：03505024专 业：数学与应用数学年 级：2003 级完成日期：2007-5指导教师：沈佩真归纳法与数学归纳法摘要：归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方式归纳法是一种从特殊到一般的推理方法，即通过对研究对象的若干特殊情况的考察分析而得到关于一般情形结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法而数学归纳法是归纳与演绎的结合体，与通常的归纳法有本质的区别它是一种论证方法，通常上用来证明数学上的猜想，而这种猜想是用某种归纳法所获得的数学归纳法的理论依据是归纳公理关键
2、字：归纳，猜想，归纳法，数学归纳法The Induction and the Mathematical InductionAbstract: The induction is one thinking mode which is from special, concrete understanding advances to the general understanding. The induction is a kind of method from special to the general inference, through obtains to the object of stu
3、dy certain peculiar circumstance inspection analysis about the general situation conclusion inference method. The induction divides into the complete induction and incomplete induction. But the mathematical induction is ties the synthesis of induction and deductive, has the essential difference with
4、 the usual induction. It is a proof method, usually uses for to prove in mathematics the suspicion, but this kind of suspicion is obtains with some induction. The mathematical induction theory basis induces the axiom. Key words: Induce, Guess, Induction, Mathematical induction目 录一、归纳(1)（一）归纳的定义(1)（二
5、）归纳的步骤(1)二、归纳法(1)（一）归纳法的定义(1)1等周定理的内容 (2)2等周定理的证明 (2)（二）归纳法的特点(4)（三）归纳法的分类(4)1完全归纳法 (4)2不完全归纳法 (5)三、数学归纳法(7)（一）数学归纳法的历史(7)（二）数学归纳法的理论依据(8)（三）数学归纳法的步骤(9) 四、归纳法与数学归纳法的联系与区别(10)参考文献 (12)天津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法1一、归纳（一） 归纳的定义就人类认识的程序而言，总是先认识某些特殊的现象，然后过渡到一般的现象归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方式玻利亚在数学与猜想中认为归纳是指从特
6、殊例子推出一般规律或者从提出事实到证明一般命题的过程 1（二） 归纳的步骤明显的，两者都认为归纳是一个过程，而且波利亚又明确地提出这一过程的典型步骤：注意到某些相似性把相似性推广为明确表达的一般命题检验一般性命题上面的过程即归纳的一般模式：1212()(),. )(nnSPSA 具 有 或 不 具 有 性 质具 有 或 不 具 有 性 质具 有 或 不 具 有 性 质是 类 事 物 的 部 分 对 象所 以 类 事 物 具 有 或 不 具 有 性 质 P归纳能力具体表现为从特殊和具体的事物中发现某些一般的，主体已经知道了的东西的能力，即特例纳入一个已知一般概念的能力；从孤立和特殊的事物中看出某
7、些一般的，主体尚未知道的东西的能力，即从一些特例推演出一般，并形成一般概念的能力归纳的过程实际上是一个思想的适应、语言的适应的过程归纳过程是把我们的思想认识适应于事实的结果每当我们的想法和观察相比较时，其结果可能一致也可能不一致若与观察事实一致，我们就对我们的想法更有信心；若不一致，我们就改变想法经过多次改变之后，我们的想法就较好的符合事实我们对任何新事物的想法，开头总不免是错误或者至少有一部分是错误的，归纳过程（总结经验）就提供了改正错误的机会，使思想符合现实所以归纳的主要作用是探索化归的方向和目标，发现问题的结论，寻求解决问题的途径 2二、归纳法（一） 归纳法的定义归纳法，是一种从特殊到一
8、般的推理方法，即通过对研究对象的若干特殊情况的天津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法2考察分析而得到关于一般情形结论的推理方法由于事物的普遍性寓于事物的特殊性之中，人们对数学的认识，开始时常常从特殊的情况入手，去探索和发现一般的普遍性的规律，因此，归纳法是数学探索发现的一种重要方法著名的数学家高斯说过，他的许多定理都是靠归纳法发现的下面我们通过在数学发展史上占有重要地位的等周问题的认识及证明过程来感受一下归纳法在实际应用中的重要作用1等周定理的内容笛卡尔有一部未完成的著作思想的法则 ，这是一本讲如何发现的经典著作书中有这样一段重要的话：“为了用列举法证明圆的周长比任何具有相同面积的其他图
9、形的周长都小，我们不必考察全部所有可能的图形，只需对几个特殊的图形进行证明，结合运用归纳法，就可以得到与对所有其他图形都进行证明得出同样的结论 ”为了理解笛卡尔的这段话，我们来考察一部份图形，并假定它们有相同的面积，例如一平方寸下表给出相同面积的图形的周长：圆 正方形 四分之一园矩形3：2半圆 六分之一圆矩形2：1等边三角形矩形3：1等腰直角三角形355 400 403 408 410 421 424 456 464 484所列 10 个图形具有相同的面积，圆具有最短的周长这个列表强有力地暗示出一个一般的定理：在所有图形中，圆具有最短周长说它强有力，是因为再在表中增加一个或两个以上的图形，也增
10、加不了多少启发性这正是笛卡尔的话的精华所在定理 1（等周定理）具有相等面积的所有图形中，圆具有最小的周长 古人认为，圆是最完美的图形这句话还含有深刻的数学意义通过类比，我们还能得到空间等周定理定理 2（空间等周定理）具有相等体积的所有立体图形中，球具有最小的表面积 2等周定理的证明等周定理还可换一种说法：在周长固定的情况下，圆具有最大的面积，下面的证明就采用这种表达方式为证明等周定理，我们首先需要一个关于三角形面积的定理定理 3 给定两条线段 a 和 b，以 a 和 b 为边的所有三角形中，以 a 和 b 为直角边的直角三角形具有最大面积 天津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法3图 1证
11、明：如图 1 所示，考虑一个以 和 为边的任意三角形如果 是底边 上的高，abha那么这个三角形的面积是 ，显然， 取最大值时， 也最大，这只有当hA21ab21和 重合时才能发生，而这时就是一个直角三角形最大面积是 hb在证明等周定理之前，我们先讲一讲什么叫曲线在曲线上任取两点 、 ，如AB果连接 、 的线段 全部落在曲线上，或在曲线围成的区域的内部，则称这条曲AB线是凸的（图 2） ，圆和椭圆都是凸曲线图 3 所示的曲线就不是凸曲线图 2 图 3 图 4平面等周定理的证明：设 是周长 一定的所有闭曲线中围成最大面积的那条闭CL曲线首先证明， 一定是凸曲线否则，在 上一定可以找到一对点 和
12、，使线段OP在 外这时以 为轴，把曲线 反射到另一侧成为曲线 (图 3)弧OPCOPOQPQ与弧 一起形成长度为 的一条曲线，而它包含的面积比原曲线 包含的面QRL C积大但这与长度为 的闭曲线 含有最大面积的假设相矛盾所以 一定是曲线C现在选取两点 和 ，把曲线 分割为长度相等的两段弧，这时直线 也必将AB AB所围成的面积分割为两个相等的部分；因为不然的话，可以把较大的那部分对C作反射，就得到另一条长度为 、比 围有更大面积的曲线了（图 4） ABL这样一来，问题转化为：求长度为 的弧，其端点 在一条直线上，它与这2BA、QO PQ天津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法4条直线围成的
13、面积为最大，我们来证明这个问题的解是半圆，从而等周问题的解 是C一个圆设弧 （图 5）是新问题的解，这只要证明每一个内接角，例如图 5 的AOB是直角就行了，因为这就证明了弧 是半圆我们用反证法来证明假定AOB不是直角，那么我们用图 6 的图形代替图形 5在这个新图形中阴影部分的面积和弧的长度都没有改变，而由于使 ，三角形的面积增大了这样，图 6 比原图90有更大的面积这与假设相矛盾这个矛盾证明了对任意点 ， 必是直角OAB图 5 图 6等周性质还可以用一个不等式来表示设 是圆的周长，则它的面积为 根L42L据等周定理，长度为 的任意闭曲线和它所围成的面积 必然满足不等式 这LAA2个不等式叫
14、做等周不等式 3（二） 归纳法的特点：1归纳的前提是单个的事实或特殊的情况，所以，归纳立足于观察和实验，其结论未必可靠2归纳是依据若干已知的、不完备的现象推断未知的现象，因而结论具有猜测的性质3归纳是从特殊现象去推断一般现象，因此，由归纳所得的结论超越了前提所包含的内容（三）归纳法的分类归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法两种，下面分别说明这两种归纳法在数学探索和发现中的应用 1完全归纳法 如果对研究对象的所有各种特殊情况分别加以分析之后，进而得出关于一般情形天津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法5的结论，那么就称这种归纳法为完全归纳法 由于完全归纳法已经考察了所有特殊情况，所以只要推理
15、的各个前提是真的又遵循推理的各项规则，那么得到的一般结论必定是真的因此，完全归纳法是一种严格的必真推理方法应用完全归纳法探索数学问题的关键在于对所研究对象的所有各种情况进行正确而适当的分类正确分类是指必须遵循分类的基本规则，不遗漏不重复等；适当分类是指必须根据所研究问题的特点，选择适合这种特点的具体分类标准进行逐级分类等等 例 1 把一张任意形状的纸紧贴在桌面上(平面)，问是否一定能在纸的边界线上找出四点共圆？ 分析：因为平面上纸的边界线是封闭曲线(也可以含折线)，所以在这边界线上至少有三点不共线，不妨设这三点为 过这不共线三点可作一圆 (圆心为 )，CBA、 Q这三点把纸边界线分成三段曲线
16、分类讨论如下；(一)若这三段曲线中，、除端点外，还有第四点 也在圆 上，则 四点共圆(二)若这三段曲线DQD、中，除端点外，再没有任何点在圆 上，则由抽屉原则，这三段曲线中(除瑞点外)至少有两段同在圆 外部或至少有两段同在圆 内部，再进行二级分类讨论如下：(1)若至少有两段同在圆 外部，则分别在这两段曲线(除端点外)上各取两点.设 = min 以 为圆心， 为半径作圆必交这两NMFE、与、 dQNMFE、 d段曲线于四点，则这四点共圆(2)若至少有两段同在圆 内部，则分别在这两段曲线上(除端点外)各取两点，设这四点与 的距离最大者为 ，以 为圆心， 为半径rQr作圆必交这两段曲线于四点，则这四
17、点共圆 由以上所有各种情况分类讨论的结果，可归纳出一般结论：在这纸的边界线上可找到四点共圆中学数学中的许多定理，如圆周角定理、正弦定理等都是用完全归纳法推出来的 2不完全归纳法如果仅对研究对象的一些而不是所有的特殊情况进行考察分析，就得出关于一般情况的结论，那么称这种归纳法为不完全归纳法，其所得到的一般结论，仅是一个猜想，正确与否还要经过严格的推理论证，因此，不完全归纳法是一种似真推理方法例如，法国数学家费马曾根据 ， ， ，512172 25713，都是素数，用不完全归纳法得出如下猜想：“任何形如6537124的数都是素数” 但半个世纪之后，欧拉却发现)(Nn4294967297 641 6
18、700417 并不是素数，推翻了费马猜想52 天津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法6不完全归纳法虽不是必真推理方法，但它对数学发展却具有重要意义最著名的例子就是被誉为数学皇冠上明珠的哥德巴赫猜想，哥德巴赫根据6=33，8=53，10=73，12=75，14=77，16=133，18=117，20=137 ，用不完全归纳法得到猜想：“任何大于 4 的偶数都可表示成两个奇素数之和” 这猜想至今尚未得到最后的证明，也未找到反例而二百多年来，人们对这猜想的研究却极大地推动了数论的发展，我国著名的数学家陈景润在这一方面的研究，取得了世界领先的成果数论中“四方定理”的发现，也是成功地应用不完全归纳
19、法的例子至少要用多少个平方数之和才能保证表示一个任意的自然数?巴切特用不完全归纳法进行了探索：222222221,1,31,4,51,61,71,89035 他 不 厌 其 烦 地 试 到 ， 都 没 发 现 需 要 多 于 四 个 的 ，于是他猜想：“任何自然数，或者本身是平方数，或者是两个或三个或四个平方数的和” 这个猜想被称为“四方定理” 应用不完全归纳法进行数学探索和发现的基本步骤是： (1) 从具体数学问题出发，先对部分较简的特殊情况进行观察实验； (2) 归纳出其中的规律；(3) 推广到一般情况，提出猜想，形成普遍的命题； (4)证明这猜想正确与否例 2 设数列 与 的通项分别为
20、它们的公共项由小到大nab,23,2nban排成数列 求 的前 n 项之和 nc分析： 是什么样的数列，题中没有直接指明，可用不完全归纳法先考察， 的前几项由条件可知，凡属 的项，以 3 除必余 2， 依次写出的 项，用n nb na此原则去考察(属于 的项底下加横线)，有 nb2，4，8，16，32，64，128， 256，512， 1024，2048所以 的前五项为 8，32，128，512，2048，归纳其规律是首项为 8，公比为 4 nc的等比数列由此推广猜测： 从第 3 项起，其奇数项组成 ， 是首项为nanc8，公比为 4 的等比数列解：由己知可得： 设 的第 项与 的第 顶相等，
21、并设这,231cnamnbk是 的第 项，即 因为 是递增的，它的第 +1 项为 nc2mnk， 不是 的项 ： 而 的第 +2 项为1)()(21am nnam天津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法7是 的项，从而也是 的第 +1 项，即2)14(3)2(42kamm nbnc， 由此可见， 是首项为 8，公比为 4 的等比数列，其前 项之和为1nc nc8(4)(1)3nS从以上例子可看出，应用不完全归纳法项为探索教学问题时，常常先从特殊情况入手，把对特殊情况分析结果作为基础，再推广到一般情况；或从对特殊情况的研究过程中，找到解决问题的关键方法途径，再用以解决一般情况下的问题上述步骤
22、可简单表示如下：观察实验归纳推广证明其中不完全归纳法主要体现在前三个步骤中，推广形成普遍命题之后的证明工作，则要借助于其它严格的数学证明方法如演绎法、数学归纳法等等最后必须强调指出，在数学的探索发现过程中，应把归纳法与其它的数学研究方法， 如演绎、类比、分析、综合、转化、比较、联想、直觉、抽象等等诸多的方法紧密结合起来，才能取得最佳效果 4三、数学归纳法（一）数学归纳法的历史数学归纳法最先由意大利数学家莫罗利科(Maurolycus，14941575)提出，后经法国数学家帕斯卡(Pascal，16231662)进一步完善，最终由意大利数学家皮亚诺(Peano，18581932)奠定了逻辑基础，
23、这是人们公认的数学归纳法的历史事实上，早在古希腊的欧几里德(Eulid，公元前 300 年)时代，数学归纳法的思想就有所萌芽他在证明素数个数无穷时，就认为:若有 n 个素数，就必有 n+1 个素数；既有第一个素数，素数个数必无穷尽管他论证过程中的递归推理不甚明显，但基本上是按照递归推理原理指导的欧几里德以后，递归思想曾在级数求和等问题上得到过应用，遗憾的是没有人明确的提出这个方法，直到一千多年后才由莫罗利科提出来数学归纳法这一专业术语，是英国数学家德摩根(DeMor2gan，18061871)于 1838 年在他的小百科全书中提出并延用至今的正是由于这一名称，有人认为该方法是归纳的方法其实数学
24、归纳法是演绎推理，这是由其实质所决定的首先，数学归纳法是证明的公式证明与自然数有关的命题 :(1)证明 (1)(nPP真;(2)假设 真，证明 也真若(1)、(2)都得证，则对一切自然数 ，)(kP)1(kP N都真，其中(1)是奠基，没有它论证就没有可靠性，就可能谬种流传；(2)是递推，)(n没有它论证就没有准确性，就可能一叶障目这两个步骤相互作用，缺一不可，构成和谐统一的演绎公式: k( ) 庞加莱)1()(k1Pn)(P天津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法8(Poincare，18541912)赞誉它是将无穷的三段论纳入唯一的公式中，波利亚(GeorgePolya，1887198
25、5)称它为从 推到 +1 的方法，这都深刻地指明了数学归纳n法的实质是递归推理，是证明的方法.其次，数学归纳法是归纳与演绎的结合体，与通常的归纳法有本质的区别归纳法是寻求结论的手段，对结论只能作出合乎情理的猜想或假说，其结论不是必然的如“素数公式”: ，结论对 =1，2，40 都是正确的，能否断言对241nn一切自然数都成立?不能!因为当 =41 时公式给出的 412 就不是素数了而数学归纳法就不同了，其实质是递归推理，隐含着推向无穷的可能，两个步骤又确保了论证的严密性和准确性，因而数学归纳法既不同于不完全归纳法也不同于完全归纳法然而，数学归纳法与通常的归纳法仍有相似之处，有一个从个别、特殊到
26、普遍、一般的归纳形式，而且是以皮亚诺的“归纳公理”为基础的从这个意义上讲数学归纳法有归纳的成份，可以说是归纳与演绎“协同作战”的样板再次，数学归纳法常与归纳法联合使用，是归纳法的“数学补充” 归纳常用于猜想，而数学归纳法却是用于证明的，在科学发现中常“作为归纳性研究的终结步骤或最后阶段出现，而这最后阶段又常常从上面叙述的各个阶段中得到启发 ”(波利亚语)事实上， “归纳猜想证明”是解决数学问题常用的策略 1最后，数学归纳法也有其局限性一方面数学归纳法只能证明现成的公式或给定的结论，在科学发现中只能充当补证的角色，它本身不会发现或导出结论；另一方面数学归纳法是证明有关自然数命题常用的有效的方法，
27、但并不意味着一切与自然数有关的命题都可以用数学归纳法求证，或用它来证比较方便 5（二）数学归纳法的理论依据数学归纳法的理论依据是下列归纳公理: (1)存在一个自然数 0 N(2)每个自然数 有一个后继元素 ，如果 是 的后继元素，则 叫做 的生成元aaaa素(3)自然数 0 无生成元素(4)如果 = ，则 = aba(5)（归纳公理）自然数集 的每个子集合 ，如果 含有 0，并且含有 内每个元NMM素的后继元素，则 = M自然数就是满足上述公理的集合 中的元素，关于自然数的所有性质都是这些公理的直接理论由以上公理可知，0 是自然数关于“后继”的起始元素，如果记 0= 天津师范大学数学科学学院
28、归纳法与数学归纳法91，1= 2，2= 3， ， = +1，则 =0，1，2， ，nNn由以上公理所定义的自然数与前面由集合所定义的自然数在本质上是一致的20世纪 90 年代以前的中学数学教材将自然数的起始元素视作 1，则自然数集即为正整数集现在已统一采用上面的证法，即将 0 作为第 1 个自然数定理 4（最小数原理）自然数集 的任意非空子集 都有最小数NA定理 5 数学归纳原理第型数学归纳法 一个与自然数相关的命题 ，如果)(nT（1） 为真)0(nT（2） 假设 为真，则可以推出 也为真)1(nT那么，对所有大于、等于 的自然数 ，命题 为真 0n在具体运用数学归纳法进行数学证明时，有多种
29、不同的形式，如下:定理 6 数学归纳法原理第型数学归纳法如果命题 满足:)(nT对某一个自然数 ， 为真0)(0nT假设对 中的 ， 为真，则可以推出 也为真那么，对所有大k0k)1(nT于或等于 的自然数，命题 都为真 n)(定理 7 型与型数学归纳法等价证明:假设命题 对( = )为真，于是只需证明由“ 为真，可以推)nT0 )(nT0出 也为真”的充要条件为“由 为真，可以推出 也为)1(nT )(kT)0n)1(真 ”(1)充分性:若“ ( )为真，可以推出 为真” ，则对 ， 为真，特)nT0)1(nTnk0)(T别 是为真，因此 ( +1)也为真(n(2)必要性: 反证法若“由 为
30、真，可以推出 也为真” ，但并非对所有大于或等)(kT)0)1(nT于 的自然数 ，由 为真，可以推出 也为真，则0nn(= | ， ，且由 为真，推不出 也为真非空由定理 1，MmN0)(n)(中有最小数 ，且对 的 ，有 为真，可以推出 也为真，特0mk)kT)(kT别由 为真，可知 为真， 由 为真，可知 为真，由)(0nT)1(0T1(020n真，可知 为真现已知 为真，所以 ，1)n)(， ，都为真由此可知 也为真，所以由 为真，推出)(0)(0 (0T)(0mT天津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法10了 也为真，这与 的选取矛盾)1(0mT0m6（三） 、数学归纳法的步骤数
31、学归纳法的一般步骤如下：验证 =1 时命题成立 （此即归纳基础或递推基础）n假设 = 时命题成立 （此即归纳假设，或递推的根据）在这个假设下证明k= +1 时命题成立写一段“声明” ，由于命题满足以上两个验算，根据数学归纳法原理，命题就对一切正整数 成立n数学归纳法是一种论证方法，通常上用来证明数学上的猜想而这种猜想是用某种归纳法所获得的四、归纳法与数学归纳法的联系与区别归纳法是发现规律的方法但是由于归纳法得到的规律对某些题不一定正确，要判断所总结的规律(或结论)是否正确，要从理论上加以证明，这就要运用数学归纳法了下述三道题足以说明两者的关系例 3 已知 ，探求对于任意自然数 ，),0( 2)
32、(,2() babaxgbaxf n与 间的大小关系，并加以证明 )(nfg分析与解：本题比较 的大小，即 为变量， 、 为常量令)(xf、 x=3， =1，则有 ，当 =2 时，ab)1(gf);2(,423,4)231() gff 所 以当 =3 时，x 3311()8,()4,(3);f fg所 以当 =4 时， ,4)(,64gf ,)(gf所 以上述是用归纳法完成的可猜想对于任意自然数 ).(,2nfn当 时，用数学归纳法证明于下：2n(1)当 =2 时， 04)(242)2()(22 bababagf，原不等式成立；)2(f所 以（2）假设当 = 时，有nk(1) 2)(kkba天
33、津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法11，(1)式两边同乘以02,0baba所 以因 为 2ba则 4)2( 11 bkkkk由于 ( )，0)(41 kkkk baababa 同 号与 kbaa,即当 = +1 时，原不等式成立,2)2(11kk所 以 nk由(1)、(2)可知对于任意自然数 ，当 时，不等式 恒成立2)(nfg例 4 由下列各不等式： ,237165431,31,1 你能得到怎样的结论？并予以证明 ,215321分析与解：从观察知，每一个不等式左边的第一项都是 1，各项的分子都是 1，且分母按自然数顺序排列对这类命题一般规律探索的关键在于第 个不等式左端的n首项及末项
34、，以及不等式的右端由四个不等式的右端： ，可知第243,2、个不等式右边为 ；四个不等式左边最后一项的分母为：n2n，2341317152， ， ， ，由此猜想第 n 项的分数的分母为 这是采用归纳法得出的n用数学归纳法证明如下： 当 =1 时，猜想显然成立； 假设 = 时，不等式成立，即 ，那么当 = +1nk1 (kN)22k nk时，左边= 111()()222kkk + k111()()kkkk 2121kk天津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法12即当 = +1 时，不等式成立nk综合（1） 、 （2）知对一切 不等式成立Nn例 5 数列 的各项均为正数， 为前 项和，如果na
35、nS ),1(2nnaS（1） 求 ；321、（2） 归纳 的表达式，并用数学归纳法证明n(1)解：由 ；1,0,1)(211 aaSa 故由 于得由 解之取正值得 ,)(22212 得 12a由 得：323aSa 0133a解之取正值得 ，猜想： 2nn(2)证明：当 =1 时，命题成立；n假设 = 时，命题成立，即 有 k 1kak kaSkk)1(2当 = +1 时， ，得 ，解之nSakkk )(2111 011kk取正值 命题对 = +1 时成立ak1 n综合、对一切 N有归纳法与数学归纳法使数学中发现规律论证关于自然数的命题是否正确的一种重要方法，它的特点是前者发现规律，后者予以理
36、论上严谨的证明 8参考文献：1 美G伯利亚数学与猜想M数学名著译丛，1984项k2天津师范大学数学科学学院 归纳法与数学归纳法132 郑仲义学生对归纳和数学归纳法基础的理解D华东师范大学：硕士生毕业论文，2004.53 张顺燕数学的美与理M北京：高等教育出版社，2003.12：58-604 陈石夫归纳法在数学探索发现中的应用J福建中学数学，2002，10：11-135 孙崇秀数学归纳法刍议J数学教学研究，2000，5：30-316 张艳丽谈归纳原理和数学归纳法J衡水师专学报，2002.04：56-587 刘云章，马复数学直觉与发现M合肥：安徽教育出版社，1991.78 杨玉声归纳法与数学归纳法及其应用J中学理科，1999，Z2：15-17
