1、小平邦彦：数学的印象什么是数学？不太清楚。但我以为关心数学的某些人会有这样的感觉，认为数学实际不就是这么回事吗？本文要叙述一个数学家看到数学的印象，即像我这样对数学专业以外的事情就不太懂的单纯的数学家，在研究数学时，感到数学是什么呢？我是直率而不加修饰的谈这一问题以提供读者参考。 一般认为数学是按严密的逻辑构成的科学，即使与逻辑不尽相同，却也大致一样。但是实际上，数学与逻辑没有什么关系。数学当然应该遵循逻辑，但逻辑在数学中的作用就像文法在文学中的作用那样。书写合乎文法的文章与照著文法去写小说完全是两?事；同样，进行正确的逻辑推理与堆砌逻辑去构成数学理论是性质完全不同的性质。 通常的逻辑谁都明白
2、，要是数学能归结到逻辑，那么谁都应该懂得数学了。但是初中高中很多学生理解不了数学却是众所周知的事实。精通语言学但数学成绩不好的学生不在少数。所以我认为数学在本质上与逻辑不同。 数学 考虑除数学外的自然科学，例如物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学。在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。因此，理解数学就要观察数学现象。这里说的观察不是用眼睛去看，而是根据某种感觉去体会。这种感觉虽然有些难以言传，但显然是不同于逻辑推理能力之类的纯粹感觉，我认为更接近于视觉。也可称之为直觉，为了强调是纯粹感觉，以下称此感觉为数觉 。直觉包含著一瞬领悟真谛的含义，不太贴切。数学的敏锐，如同听觉的
3、敏锐一样，与头脑好坏没有关系（指本质上没有关系的意思，而不是统计上没有相关关系） 。但是要理解数学，不靠数学便一事无成。没有数觉的人不懂数学就像五音不全的人不懂音乐一样（这只要担当数学不行的孩子的家庭教师就马上明白。你眼前看到的事情孩子却怎么也看不见，说明起来很吃力） 。数学家自己并不觉得如在证明定理时主要是具备了数觉，所以就认为是逻辑上作了严密的证明，实际并非如此，如果把证明全部用形式逻辑记号写下看看就明白了。那就过份冗长，实际上不可能（当然不是说证明在逻辑上不严密。而是依照数觉，那些明显的事实就略去逻辑推理而已） 。最近每每谈及数学的 sense（感受） ，而作为数学 sense 基础的感
4、觉，可以说就是数觉。数学家因为都有敏锐的数觉，自己反倒不觉得了。数学也以自然现象为对象 把数学的对象看作是自然现象的一部份，也许有人说这不讲道理，但是数学现象与物理现象同样是无可争辩的实际存在的，这明确表现在当数学家证明新定理时，不是说发明了定理，而是说发现了定理。我也证明过一些新定理，但绝不是觉得自己想出来的。只不过感到偶而被我发现了早就存在的定理。 正如大家不断指出的那样，数学对理论物理起着难以想像的作用。简直可以认为物理现象仿佛全都遵循着数学的法则。而且在许多场合，物理理论所需要的数学在该理论被发现以前很久就已经由数学家预先准备好了。典型的例子要算爱因斯坦广义相对论中的黎曼空间了。数学对
5、物理如此起作用，其理由何在呢？过去的说法，归结起来是说数学是物理的语言。也许可以说，如广义相对论中黎曼几何的作用就是一种语言。但是在量子力学中，数学却真起了魔术般的神秘作用，在这里无论如何也不能认为数学只是语言了。 翻开量子力学教科书，首先看到的是光的干涉、电子的散射等实验的说明，然后表明，光子、电子等的粒子状态可以用波动函数（即属于某个 Hilbert 空间的向量）来表示并导出与若干状态的波动函数有关的迭加原理。迭加原理认为，状态 A 若是状态 B 与 C 的迭加，则 A 的波动函数就是 B 的波动函数与 C 的波动函数的线性组合，它是量子力学的基本原理。 什么叫粒子的状态呢？例如加速器内电
6、子的状态就是由加速器决定的，所以，粒子状态可认为是该粒子所处的环境。因此在量子力学中就用唯一的波动函数（向量）来表示复杂至极的环境。这里首先是进行简单化、数学化的处理。状态 A 是状态 B 和 C 的迭加是怎么一回事呢？对于教科书中光的干涉等情形，其意义可以认为是显然的，而在一般场合，却很难理解环境 A 是环境 B 与 C 的迭加的意义。虽然根据普通观测的干扰可以说不确定性原理，例如不能同时观测粒子的位置与速度，但毕竟不能把粒子同时放在位置观测装置与速度观测装置中。就是说，粒子不能同时存在于二个环境中。那么什么又是这样二种环境的迭加呢？很难说清楚。另一方面，波动函数的线性组合演算在数学中却是完
7、全初等的、简单明了的。迭加原理认为，这种简明的数学演算表现了复杂奇怪状态的迭加。就是说数学的演算支配着量子力学的对象即物理现象。明白了迭加的物理意义，就知道不是用数式表示它，而是把线性组合表示的状态迭加当作公理，反过来按数学演算来确定迭加的意义。正如 R. Feynman 所说，迭加原理的说明只能到此为止。只能认为量子力学是基于数学不可思议的魔力。所以我认为，在物理现象的背后存在着数学现象是无可争辩的。 数学是实验科学 物理学家研究自然现象，在同样意义上，数学家研究着数学现象。也许有人会说，物理学家做各种各样的实验，而数学家不就是思考吗？但是，这种情况的思考就是思考实验的意思，例如与思考考试题
8、的性质不同。我们知道，对考试问题，只要适当组合某个确定范围内已知的事实，一小时内一定能够解决，思考的对象、思考的方法都摆在面前。而实验则是为了调查研究原先未知的自然现象，当然其结果就无法猜想，也许什么结果也得不到。数学也完全一样，它是探究未知的数学现象的思考实验，虽说是思考，但思考的对象是未知的，思考些什么为好也不知道。数学研究的最大困难就在于此。 思考实验中最容易理解的形式是调查实例。例如考虑偶数最少可表为几个素数的和的问题。检查一下实际的偶数，2 是素数不算，4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,100=47+53,.，总可以表为二个素数的和。由这一实验结果，可以猜想除 2 以
9、外的一切偶数都可表为二个素数的和的定理成立（这是早就有名的哥德巴赫猜想，现在还没有解决） 。如果这样几次调查实例，能够猜想出定理的形式，以后就可以考虑证明该定理，那么研究的最初难关就被突破了。当然这是数学，光堆积几个实例还不是定理的证明，证明还必须另外考虑。 初等数论些定理就是首先从这样的实验结果出发引出猜想，然后才证明的。从上个世纪末到本世纪初，由 F. Enriques、G. Castelnuovo 等意大利代数几何学家得到的惊人成果中，依据实验的不在少数。实际上，J.A. Todd 在 1930 年左右发表的论文中曾明确断言：代数几何是实验科学 。他们的定理全部得以严密的证明还是最近的事
10、。值得注意的是，尽管他们给出的定理证明还很不完全，但是定理却是正确的。 发现新定理 最近数学的对象一般都非常抽象，实例也还是抽象的，难以想像，因此靠调查实例来猜想定理的形式，在许多情况下首先就不可能。我不知道在这种状况下，发现新定理的思考实验的方式是什么样的。即使说只是含含糊糊地想想思考些什么，恐怕还是不行的。实际就是那样往往是不管怎么去思考都得不到相应的结果。这么说来，数学研究是不是非常困难的工作呢？倒也未必。有时你什么也没干，但却很自然地接二连三看到那些值得思考的事情，研究工作轻而易举地得到进展。这时感受充分表现在夏目漱石在十夜梦中描述运庆雕刻金刚力士的话上。引用其中的一部份： 运庆现在横
11、着刻完了一寸高的粗眉毛，凿刀一竖起，就斜着从上一锤打下。他熟练地凿着硬木，就在厚木屑随着锤声飞扬的时候，鼻翼已完全张开鼻孔的怒鼻的侧面已经显现出来。看起来他的进刀方法已无所顾忌，没有丝毫犹豫的样子。 原来使用凿子那么容易，就把想像中的眉毛、鼻子作成了 ，他颇为得意，自言自语道。于是，刚才的青年就说：什么，那并非用凿子作出眉、鼻的，眉毛、鼻子本已埋在木材中了，只是靠凿子与锤子的力量挖了出来。就像从土中挖出石头一样，决不会错的 。 这种时刻，想想这世间没有比数学更容易的学科了。如果遇到有些学生对将来是否干数学还犹豫不定，就会劝告他一定要选数学，因为再没有比数学更容易的了 。 接下去漱石的话的要点如
12、下： 他便觉得雕刻也不过如此，谁都能干的。因此他想自己也雕个金刚力士试试，回到家，便一个接一个雕刻起后院的那堆木材。不幸的是，一块木头里也没有发现金刚力士。他终于明白了，原来明治的木头里并没有埋着金刚力士。 数学也一样，普通的木头里没有埋着定理。但从外面却看不出里面究竟埋着什么，只好雕刻着看。数学中的雕刻就是一边进行繁复的计算，一边调查文献，决不是简单的。在许多情况下什么结果也没有。因此数学研究非常费时间。可以认为，研究的成败主要取决于运气的好坏。 定理与应用 现今的数学，由实例猜想定理是很困难的，不仅如此，定理与实例的关系看来也变了。在大学低年级的数学中；定理之为定理，乃是由于可应用于许多实
13、例，没有应用的定理就没有意义。好的定理可以说就是应用广泛的定理。在这个意义上，函数论的柯西积分定理是最好的数学定理之一。但最近的数学中，有广泛应用的定理几乎见不着。岂止如此，几乎毫无应用的定理却不少。正如某君不客气地说：现代数学只有两种，即有定理而没有应用例子的数学与只有例子而没有定理的数学 。从现代数学的立场出发， 不管有没有应用，好的定理就是好的定理 ，但我却总觉得，没有应用的定理总有点美中不足。 数学的唯一理解方法 即使不作研究，只看看书与论文，数学也很费时间。比如只看定理而跳过证明，二三册书似乎很快就能读完的。但是实际上跳过证明去读，印象就不深，结果一无所知。要理解数学书，只有一步一止
14、循着证明。数学的证明不只是论证，还有思考实验的意思。所谓理解证明，也不是确认论证中没有错误，而是自己尝试重新修改思考实验。理解也可以说是自身的体验。 难以想像的是，此外没有别的理解数学的方法。比如物理学，即使是最新的基本粒子理论，如果阅读通俗读物，总能大致明白、至少自己认为明白了，尽管很自然地与专家的理解方法不同。这就存在着老百姓的理解方法，它与专家的理解方法不同。但是，数学不存在老百姓的理解方法。大概不可能写出关于数学最近成果的通俗读物。 丰富的理论体系 现在数学的理论体系，一般是从公理体系出发，依次证明定理。公理系仅仅是假定，只要不包含矛盾，怎么都行。数学家当然具有选取任何公理系的自由。但
15、在实际上，公理系如果不能以丰富的理论体系为出发点，便毫无用处。公理系不仅是无矛盾的，而且必须是丰富的。考虑到这点，公理系的选择自由就非常有限。 为了说明这件事，把数学的理论体系比作游戏，那么公理系就相当于游戏规则。所谓公理系丰富的意思就是游戏有趣。例如在围棋盘上布子的游戏，现在知道的只有围棋、五子棋和二类朝鲜围棋只 4 种类型。就是说，此刻所知道的公理系只有 4 个。除这 4 个以外，还有没有有趣的游戏呢？例如四子棋、六子棋、或者更一般的 n 子棋又如何呢？实际上下 n 子棋，当 n 在 4 以下，先手必胜，即刻分出胜负，所以索然无味；而当 n 在 6 以上时，则永远分不出胜负，也毫无意思。发
16、现这种新的有趣的游戏并不容易。要找出跟围棋差不多有意思的游戏大概是不可能的。虽然这只是我的想法。数学也同样，发现丰富的公理系是极其困难的。公理系的选择自由实际上等于没有。 理论的丰富推广 数学家一般都本能地喜欢推广。例如假设存在以某个公理系 A 为基础的丰富的理论体系 S。这时谁都会想像到，从 A 中去掉若干个公理得到公理 B，从 B 出发推广 S 得到理论体系 T，再进行展开。稍加思索就觉得 T 是比 S 更丰富的体系，因为 T 乃是 S 的推广，但如果实际试验一下这种推广，许多场合与期待的相反，T 的内容贫乏得令人失望。这种时候，可以说 T 不过是 S 的稀疏化而不是推广。当然并非所有的推
17、广都是稀疏化。数学从来是依据推广而发展起来的。最近推广不断堕入稀疏化，倒不能说是一种奇怪的现象。 那么，能发展成丰富的理论的推广，其特征是什么呢？进一步，公理系能作为丰富的理论体系的出发点的特征又是什么呢？现代数学对这种问题不感兴趣。例如，群论显然是比格论更为丰富的体系，但群的公理系优于格的公理系之点是什么呢？又在拓朴学、代数几何、多变量函数论等等中，基本层的理论的出发点（看来似乎）是毫无价值的推广，它不过是用及数替换以前的常数作为上同调群的系数。而实际上却是非常丰富的推广，其理由何在呢？与此相反，连续几何被看作是射影几何的令人惊叹的推广，但却没有什么发展，这又是为什么呢？当把数学作为一种现象
18、直接观察时，所产生的这类问题不胜枚举。虽然我并不知道，它们是否都是不屑一顾的愚蠢问题，抑或能否建立一门的回答此类问题为目标、研究数学现象的学科，即数学现象学呢？但是如果能够建立，那一定是非常有意思的学科。为了研究数学现象，从开始起唯一明显的困难就是，首先必须对数学的主要领域有个全面的、大概的了解。正如前面说的，为此就得花费大量的时间。没有能够写出数学的现代史我想也是由于同样的理由。小平邦彦谈数学学习方法及其启示已故日本数学家小平邦彦在数学中没有捷径一文中，通过自己学习数学的体会，谈了他对数学学习方法的理解，认为在数学学习中没有捷径可走。这似乎和今天我们所一直倡导而且也一直热衷于的学法指导又有相
19、悖。数学的学习究竟有没有捷径可走?有没有规律可循?有没有方法可以指导? 这已成为师生的共同关注的焦点。本文拟就小平邦彦的数学学习方法谈谈对我们启示。小平邦彦回顾了他自小学至大学学习数学的心得体会及其思维历程。笔者认为，其主要学习思想不外乎两点：其一是熟记多练(熟背公式，多做笔记和反复练习) ；其二是培养对数学的感觉和理解。这两点其实是手段和目的的关系。反复练习正是为了达到悟的结果及培养对数学的理解和感觉。用中国的一句成语来说就是熟能生巧。他认为数学的学习就是先认可已规定的公理、定义、法则等，然后反复证明练习，在不知不觉中达到对其的理解。譬如他提到对分数的除法三分之二除以五分之四，为什么要用五分
20、之四去除时可以将分子与分母交换而去乘四分之五呢?就需要说明它的理由。但他学习算术时就没有这种说明，只学习这种规则，即用分数去除时可以将分子与分母交换后去乘，然后就在反复的计算练习中不知不觉地明白了它的意思，也就记住了。因此，也就能够非常自如地进行分数的计算及应用。为了理解数学的定理，一般是一步步循着证明的论证走，但对于证明不明白怎么办?他认为只要把不明白的证明抄写在笔记本上背出来，背出来不知不觉也就明白了，至少感觉到是懂了。他认为这种将不明白的证明在笔记本反复抄写，直到背出来为止，不失为学习数学的一种方法。而正是从这个角度上来说，数学上是没有捷径可走的。纵观他的学习数学的心得体会及思想方法，笔
21、者认为有如下启示。一、对数学的感觉和理解1小平邦彦对数学的理解对于理解一说，小平邦彦颇有自己的见地。他认为在反复的计算练习中不知不觉地明白了它的意思，也就记住了，而所谓明白了它的意思，也并不是能够说明为什么用分数整除时可以将分子与分母交换后做乘法，而是指能够非常自如地进行分数的计算及其应用。可以说，这种理解，并非是百分之百的理解，而是知道应该怎样去做和如何灵活机动地去做，久而久之，也就渐渐地培养出了对数学的感觉。这种感觉，从某种程度上来说，也就是对数学的入门。即长久思考而不得其解的问题突然间豁然开朗，悟出了其道理。这个悟的过程，有的时候是渐进式的，即在半理解状态练习以加强理解，使理解逐渐深化；
22、有的时候是突发式的，这便是顿悟的过程。特级教师马明老师谈到他对代数的学习及其对代数思想的理解便是顿悟的过程。那时他在学习小代数时，老师让他们计算长方形周长(已知长为 a，宽为 b)，马明老师做出 2(a+b)，但他并不真懂，就问老师这个长方形究竟多长，老师看看他的书面答案，又看看他，半天说不出话来，马明老师又问：究竟有多长。老师说：你不是已经算出来了吗?马明老师坚持认为没有，老师又说：你不是已经算出来了吗?马明依然认为没有。在他想来，周长应是一个具体的数值，怎么会是一群抽象的符号呢？回家后反复思考老师的话，终于悟出一个道理：“用文字代表数，让未知数像已知数一样地参加运算” 。原来代数就是这样！
23、从此他的代数成绩直线上升，成为全班第一名。数学的学习本身就需要有悟的过程。有些知识需要老师详细讲解才能达到真正的理解，但有些知识则只可意会不可言传的，即单凭教师讲很难使学生达到理念的升华，这并不是说就完全削弱了教师的作用。而是说，学生真正去掌握知识，达到对某一数学知识的理解，并不是靠老师教出来的，而是靠学生悟出来的，将所理解的知识嵌入已有的知识结构中，也难以忘记。所谓的启发式教学、发现法教学等教学思想，其本质也无非是在教师的指导下，由学生去发现问题、解决问题以达到对问题的理解和对知识的领悟。2东西方数学教育家对数学理解的不同观点东西方数学学者及教育家对于先理解后接受知识，还是先接受知识再理解其
24、意义提出异议。在第十二届国际数学教育心理学会议上，中国学者(丁尔升、张奠宙等) ，认为不要强调理解而忽视练习，其实理解了百分之六七十，就可以操作训练，在练习中增强理解。这和小平邦彦对数学学习的理解观点是相同的。而这一观点却受到英国资深学者 Harte 的反对。她说，对理解的东西进行操练才有意义，不理解的东西加以操练，时间一久就会忘记。这种歧义的产生可能缘于东西方文化背景、考试体制、教育方式以及思维特征的不同。日本和中国一样，也是考试盛行的国家。虽然他们进大学并不难，但进好大学仍有困难。而中国的考试文化导致应试教育更使得中国在教育上多强调反复操练。因此在对学习方法的理解上，东方侧重于从练习中理解
25、，在半理解的基础上进一步练习以深化理解。而西方则更侧重于在完全理解的基础上再去练习、应用。笔者认为，作为东方文化教育背景下的中国教育，没有必要也不可能象西方国家所倡导的方法去学习数学。依据我们的文化背景和思维方式及特征，在操练前要达到对知识的完全理解是极少可能的。譬如口令立正，士兵未必理解什么是立正，但在强制下教会了，以后一旦听到“立正”口令，便会自动去做。这也恰是从做中理解的例子。目前，一些学生对数学感到难学，难以理解，且又容易钻“牛角” 。如为什么要定义这个公理?公理为什么是这样而非那样表达?零为什么不能做分母?等一些在中学阶段难以接受的问题。教师除了要向学生解释这些原因，打开他们的思维结
26、之外，还应让他们了解到在中学阶段要达到对问题的百分之百的理解是不可能的。但只要在练习中渐渐领会到数学的精神、思想和方法以达到灵活运用，那也就是我们所认为的理解了。二、熟能生巧和题海战术重新回顾小平邦彦的数学学习历程，无不贯穿着一个思想：反复操练、反复练习。他的这种思想似乎又和中国传统的题海战术如出一辙(即便在今天的数学教学当中，题海战术仍占有很大市场)。我们不否认题海战术有些成功之处，但其与小平邦彦的所说的反复练习还是有本质区别的。小平邦彦所提出的在反复练习中不知不觉理解，究其实质是熟能生巧。熟能生巧中的“巧”是反映了思维的创新性，是多次量变而引起质变的一个飞跃过程。正如灵感机制的发生，长久思
27、考一个问题(包含有反复思考之意，有重复性) ，最终会产生灵感，这便是一个质变的过程。熟能生巧又遵循了心理学中的 SR 反应理论。前提条件是要反复操练以引起刺激发生反应，这种刺激反应达到一定程度，就发生突变，即从感性的认识达到理念的升华。熟能生巧与题海战术所不同的是前者有目的性。是为了达到对知识的理解和融汇贯通的程度而暂时进行的操练，而题海战术则是为应付考试去猜题、押题，都是将一大堆题型归类，总结成解题术，制成题让学生套模式去做，学生在根本不了解其解题思维的原则下进行大规模操练，只会有弊无利，造成学生学习时间和精力的浪费。而且这种题海战术并不是以达到学生对知识的真正理解为终极目标，而是为了考试需
28、要，可以说是方法不当且操练过度，它使学生的学习活动停留在“重复” 、 “模仿” ，进行“简单再生产”的水平上，从而造成了数学学习的亏缺， “题海”则是对自身造成亏缺的一种补救。如果说“题海”也能训练出“好”的学生，事实并非如此。 “好”的学生之所以成为“好”的学生正在于他们冲破禁锢，挣脱出来进行独立自主地思维的结果。对小平邦彦所提倡的反复练习，我们不应将其理解为大捣题海战术，而是为生“巧”而进行的熟练，为培养对数学的感觉而进行的有目的的反复练习。三、数学的思想、精神和方法从小平邦彦对数学的理解角度来看，数学的学习是没有捷径可走的，熟能生巧可以说是一条古老而又唯一捷径。然而，从获取知识、通往知识
29、高峰的道路上又是有一些捷径可走的，这便是数学的精神、思想和方法。小平邦彦认为数学学习方法即是反复练习便会不知不觉明白。而由于各人思维风格水平、知识结构和理解能力等的不同，这种不知不觉明白却不是每人都能够体验或经历到的，尤其是一些学困生，他们对数学无论怎样练习，也始终难以找到对数学的感觉。这除了小平邦彦所言及的反复操练以外，还需要把握数学的精神、思想和方法以及一些思维策略上的指导。所谓的数学学法指导意义正在于此。日本数学家米山国藏在数学的精神、思想和方法一文中针对许多人感到数学难学的现象，指出数学有两大特征：一是数学逻辑性强，知识系统性强，环环相扣，必须依其道而行。若反其道而行，则无论多么聪明的
30、人都无法理解它；二是为了有助于“人类思想表达的经济化” ，数学使用了比其它任何科学都要多得多的术语和记号。数学的这两大特征便决定了数学的学习不仅要依其道而行，使前继知识成为后继知识的生长点之外，还要学会数学交流，能够尽可能完全地理解数学语言。许多同学感到学习数学困难，一个根本原因在于没有把握到数学的这两个特征，因而不懂得提前预习和及时巩固的作用，不懂得去揭示数学知识之间的内在联系从而把握其本质。其次在数学中还有一些策略、思想和思维方法，诸如抽象、概括、化归、数形结合、数学模型、归纳猜想、演绎、分类、类比、特殊化和一般化、换元法、待定系统法和配方法等等，以及升格、降格(退化)、缩格(质化)、更格
31、和分格策略，这些用以指导学生有效学习数学的思维策略和方法都值得他们熟练掌握把握各种策略、方法的内在核心，再辅以小平邦彦所提的反复练习以求得对数学的真正理解，我想这便是小平邦彦所谈的数学学习方法所引发的对我们的启示吧。力学大师钱伟长和大学生谈学习方法2008-9-8 15:48:27关于学生的学习方法问题，每个人的认识不尽一样，是教育界长期以来有争论的一个问题。我讲的是自己的一些经验，以及我所熟悉的一些人的经验。一、不要死记硬背。孔夫子说过一句很有名的话：“学而不思则罔” 。指学习的时候要思考相关的问题，不边学习边思索，会什么也学不到。这是一句很有名的话，可是常常被很多人忘了。清朝“扬州八怪”之
32、一，书法、画和诗“三绝”的著名学者郑板桥，在山东潍县做县官时，发现一个十五岁左右的贫穷青年，天资很好，过目不忘，很多东西念过一、两遍，就可以准确背诵出来。可是郑板桥提个相关的问题，这个青年人支支吾吾地回答不清楚。又提出第二个问题，这个青年更是答不上来。他发现这个青年人完全是在靠记忆进行学习。郑板桥就给他讲了“学而不思则罔”的道理，告诉他，学习一定要思考，不能靠背诵，不然是不会有出息的。后来这个青年人完全放弃了过去死记硬背的念书方法，一边读书一边思考，在乾隆中叶，考上了状元。这个故事说明，青年人不但要用功学习，而且要有科学的学习方法，要勤于思考，多想问题，不要靠死记硬背。这样，一辈子才会不断进步
33、，永远向上。我们现行的高考制度，考题都是有范围的，而且还有温书的重点，这实际上就是让你去背，鼓励学生去背书。小学毕业考初中，初中毕业考高中，考的成绩能拿到多少分，就能进重点中学，在这个分数线以下就只能进一般的中学。大家为争取进重点中学，只好死背，中、小学生都是靠背书过日子。这些背下来的东西有什么用呢？我说一点用处也没有！在你们这些大学生中，有很多是高分考进大学的。可是进校以后，我们发现其中不少人是高分低能。在中学时靠背书过日子，大学的书太厚了，背不下来了，他的学习必然感到很困难，觉得很不适应大学的学习生活。我听说很多大学里都有那么一批学生神经衰弱，睡不着觉。这就是上大学后，仍然采取中学时死记硬
34、背的学习方法而产生的后果。下面，我谈谈自己的一些亲身体会。我小时候也很能背书，我背过很多老书。孔老夫子的“学而不思则罔”这句话，我背过不知多少遍，可是我却从来没有去好好想一想这句话到底是什么意思。我进入高中后，可头痛了。特别是数学，歪歪扭扭没法子背。因此，我的数学成绩很差。至于物理，背下来也没用，因为背下来后，做习题还是不会做。有人教我一个办法，说中学物理很容易，一共十三个公式，每个公式有三个变量，两个已知数，求第三个未知数，不是乘就是除，没有别的。但我还是没弄懂，因为我往往搞不清楚该哪个乘，哪个除。后来我发现，这是在用另一种办法死记硬背，把公式背熟后照套。所以背书是没有用的，一定要懂得它的意
35、思。我改造自己的学习方法，是从进入大学后开始的。我考进清华大学以后，发现教科书确实太厚了，而且当时所有的教科书都是外文的，我的外文不行，想背也背不下来。没办法，我就只好想办法弄懂它。开始的确很吃力，非常累，很多地方不懂。加上没有好的学习习惯，因而学起来很困难。当时，吴有训老师（解放后当了中国科学院的副院长）教我们的普通物理课，他讲课很有意思，从来不拿讲义在那儿念照本宣科，而是引导学生动脑筋，不断地跟着他在课堂上思考问题。例如，他讲什么是质量？他先讲质量这个概念，从前人们怎么认识，后来怎么认识，为什么会产生质量这个概念？再进一步讲人们如何根据伽利略的实验，证明了质量是独立存在的一个东西，在概念上
36、有了飞跃，以后就有了牛顿三定律等等。最后，再讲现在质量怎么量，它在国民经济中占怎样一个地位，量的时候用什么单位等等。一堂课讲下来，从头到尾，清清楚楚。他讲的这些，教科书上都没有，教科书上有个定义，但定义他却讲得很少。他给他的课指定了三、四本书，讲完以后，他叫你去看哪本书，从第几页到第几页，这一段看这一本，那一段又看那一本，都让你自己去看。还有很多东西，他根本不讲，要你自己去看，照样纳入考试范围。我开始很不习惯，但后来我慢慢习惯了，觉得这是我一辈子听到的讲课中最精彩的一门课，他对我学会用思考的方法而不是死记硬背的方法去学习，起了很大的作用。直到现在，大学的普通物理课的基本内容、基本观点和基本方法
37、，我还记得非常清楚，一点也不混乱。二、怎样记好笔记。我常见到不少大学生，特别是一些刚考进大学的新同学，在课堂上一个劲地记笔记，教师讲什么他就记什么，老师在黑板上写什么他也写什么，一堂课下来笔记记得很多，人也很累。我还发现这些学生的笔记，下课后一般都无法进一步整理。他们中间虽然不少人很用功，但学习效果往往很差，因为他们在课堂上光忙着记笔记去了，没有注意听讲，没有积极地去思考问题，弄懂问题。他们的学习方法，就叫做上课记笔记、下课看笔记、考试背笔记。我刚上大学也这样干过，效果很不好。后来，我向一位学得好的同学请教，那位同学说，你上课不要光忙着记笔记，要坐在那里仔细地听，教师问什么问题，你就动什么脑筋
38、，真正听懂了，你就记，如果没听懂，你就不要忙着记。我照这个同学讲的办法去试了一试，开头还好，后来觉得还是不行。我又再去问这位同学记笔记还有什么决窍？他说还有一条，下课时你不要跟一般同学一样，站起身来就跑了。下课后，你要坐在座位上好好地想一想，这堂课教师讲了些什么问题？它有几层意思？每层意思的中心思想是什么？这样静静地用不到一分钟的时间去思考一下，可以巩固你一堂课听的内容。当然，这样还不够，每天晚上，你还要根据课堂上听到的和下课后想到的，写出一个摘要来，大概一堂课不超过一页吧。这一步很重要。以后，我就照他讲的去做，确实效果不错。我有个同学叫林家翘，现在是美国麻省理工学院教授，美国科学院的院士，他
39、的课堂笔记除每天晚上整理一次，写出一个摘要外，每个月他还要重新再整理一次，把其中的废话全删掉，把所有的内容综合起来，整理出一个阶段的学习成果。每学期结束复习时，一门课的笔记经过综合整理后，只有薄薄的一本，大概十八页左右吧。一个学期所学习的知识，就完全消化成了他自己的东西了，他温书就看这个，边看、边回忆、边思考，每次考试都名列前茅。这种记笔记的方法，就是要把教师和别人的东西，经过自己的思考、消化，变成自己的东西。要不断消化，不断地加深理解。林家翘分三个阶段记笔记的过程，就是一个不断消化的过程。我只分了两个阶段，我现在很后悔，我要早分三个阶段，学习效果一定会更好。三、大学生一定要学会自学。一个人到
40、大学毕业时，除了已经具有一定的基本理论知识外，还应该有这样的把握，即没有学过的东西，通过自学，查一查，看一看，也能弄懂，就是说能够“无师自通” ，大学生就应该达到这个水平。假如大学毕业后，你还要通过去学校进修、要听教师讲课，才能学到新的知识，则说明你还没有达到真正大学毕业的水平。每个大学生都要在大学里培养一个习惯自学，这个本领一定要学会。学习不能光依靠教师，当然，开始时要依靠一下，但这主要是依靠教师对你进行学习方法的指点，而不是依靠教师把嚼过、消化后的东西喂给你。一个人在大学的三、四年里，能不能养成自学的习惯，学会自学的本领，不但在很大程度上决定了他能否学好大学的课程，把知识真正学通、学活，而
41、且影响到大学毕业以后，能否不断地吸收新的知识，进行创造性的工作。尤其是现在，知识发展得很快，有人统计过，我们上大学那个时候，全世界的科学技术杂志只有两千八百多种，人类的知识面大概要用三十年时间才能使它增加一倍。而现在全世界的科学技术杂志，不算文化和社会科学方面的，仅自然科学和技术科学方面的杂志，就有八万八千多种。因此，现在不是三十年，而是三年左右的时间人类的知识量就会翻一倍。换句话说，过去，你大学毕业了，可以吃老本，可以长期地使用你已有的知识，甚至可以用一辈子，因为经过三十几年后，你就快退休了，或者进入老年阶段了。但现在，你大学毕业以后，如果不学习，或者说在大学时没有养成自学的习惯，学会自学的
42、本领，光靠卖你的那一点老本，你卖了三年以后，你就有一半的东西不懂了。再卖三年，你懂得的只有四分之一了。到那时候，你还能做工作吗？因此，你必须在毕业以后继续学习。怎么学？首先就要在大学里培养自己自学的习惯，学会自学的本领。一个人在中学时，必须要教师帮忙，教师管着你，你才能学。但好的中学教师，也很注意培养学生积极思考问题的能力。而差的中学教师，只会教你背书，指出这门课有多少重点题目，标准答案是什么等等，只要你照他讲的背下来应付考试，或者进行题海战术。进了大学以后，再这样就不行了，一定要培养自己独立自学的能力。现在，有许多中学、大学都在进行教改试验。比如，我上课时，有些课的章节，我就不讲，让学生自己
43、看，可是一样要考试。总之，想方设法培养学生自学的习惯。实践早已证明，大学生通过自学，不但能学得好，而且能学得快，对这点我是深有体会的。有些人就是不相信大学生可以通过自学掌握知识，他们总是认为，不教是不会的，不背是不懂的，这就是他们的逻辑。去年，我在上海工业大学做了个试验，在机械系上物理课时，我跟教师商量好了，从全班六十个学生中，抽出十二个人来，其中六个人是全班功课最好的，还有六个是差的。我让这十二个人都不听课，只把讲义发给他们，让他们自学，只参加做实验。自学以后，和其他学生一样参加小考、大考。第一次考试时，这十二个人都考得很不好。分析其原因，关键是没有掌握好自学的方法。我把这十二个学生找来，和
44、他们一起分析了失败原因，又鼓励他们一番。为了改变他们的学习方法，我又找一个年轻教师帮助他们，教他们怎样自学，如怎样整理每个章节的框架，怎样弄懂每个概念的来龙去脉，怎么运用学到的知识等等。这样反复讲好几次，这几个学生都慢慢会自学了。到学年考试时，这十二个人都成了全班成绩最好的学生。 文汇报头版头条报道了这件事，说这是一大发明。其实，这并不是什么发明，因为很多人早已用自己的亲身实践证明，大学生是可以通过自学学好的。自学过程中遇到一些不懂的问题怎么办？根据我的经验，任何不懂的问题，你先拿个练习本把它记下来，一条一条地记。有时你会发现，你在第一章中看不懂的问题，等你自学到第三章时，这个问题就解决了。这
45、时，你就把这个原来不懂的问题从练习本上划掉。当然，还有些不懂的问题，你也可以找机会向教师或其他同学请教。一学年完后，你会发现原来记了很多不懂的东西，后来又懂了。如果还剩下几条不懂的问题，你可以另用一个练习本重新把它记下来，以后再说。你在一年级有些不懂的问题，也许到二年级就解决了，你就再把它划掉。人一辈子的学习，就要靠这样不断进步。学习就是把不懂的东西变成懂的东西，而不是把背不下来的东西变成背下来的东西，一定要记着这点。自学，就是促使你动脑筋，而只有动脑筋，才能促使你真正学懂、学深。四、研究生会要看论文。那么，到了研究生怎么办呢？研究生和大学生在学习内容和学习方法上有哪些不同呢？大学生学的每门课
46、程的教材，一般都是七、八年以前的知识，因为最新的知识，先要经过科研人员或者教师的消化，发表了许多相关的论文，条件成熟了，再经过理论化、系统化，编写成教材，有时还要在某些大学课堂里试讲几遍，再补充、完善、重新改写，报上级审批，才成为全国通用的教科书，还要联系出版社，要送到工厂排印，这都需要一个较长的时间。而研究生学的是正在发展中的东西，还没有人消化过，其中不少问题还没有定论，还在争论。这种正在发展中的东西，都是以发表在各种学术杂志上的论文的形式表现出来。研究生就要会从这些论文里吸取你所需要的材料。如果你不会看科学论文，还是只会看教材的话，你就接受不到最新的知识。正因为多数新的知识都是以论文形式发
47、表的，作为一个研究生，就一定要学会看论文的本领。有的论文写得又臭又长，看起来很费劲。那么，怎么看论文呢？怎么提高看论文的效率呢？我的研究主要就是看论文，通过看论文，不继改造、充实我自己的知识结构。我觉得要学会看论文，就必须知道论文是怎么写的，怎么组成的。一般情况下，一篇完整的论文，都包括这样几部分：第一段是论文的摘要。包括作者做了哪些方面主要的工作，得到了什么成就。一般我看论文，就先要看这个摘要。看完摘要，这篇论文有多大的份量，我就清楚了，因我有较多的经验，就可以决定往不往下看了。而你们光看这个还不够，还得往下看。下面接着是引论，主要包括三方面的内容。第一，讲这个问题是从哪儿提出来的？是从生产
48、过程中提出来的，还是从科学技术发展的过程中提出来的？讲清这一点是很重要的。第二，要讲这个问题以前已经有多少人干过了、处理过了，他们取得了什么结果，达到了什么水平。总之，对前人在这个问题的的重要贡献都得提，他们的文章发表在哪儿，也应该写在文献参考里。第三，要指出作者自己是在什么样的不同观点下面，重新处理这个问题的，自己的观点跟前人不同在那儿，这句话一定要有。或者是用讨论的口气提出，前人有的观点我不同意，为什么不同意，并提出自己的新观点，以及用这个新观点如何处理问题，这是文章的主要目的。有时还得提一句，我得到了什么结果。这样一个引论，最长两页，短则一页，很精炼，而且很重要。你看完引论后，对这个问题
49、的来龙去脉就清楚了。第二段，是搞实验的，就要讲一下实验的安排，包括实验仪器的安装和布置等等；是讲理论的，就要讲一下处理这个问题前所用的数学方法和它的程式，指出在什么条件下，使这个问题量化了。第三段，做实验的要讲整个实验分几个步骤，分多少份，每份又是怎样分配的等等。搞理论的应该说明白，我这个方程是用什么方法求解的。假如这个方法是从前没有人用过的，你就详细写出来，假如已经有人用过了，你就说一句，自己用的是某某人处理某某问题的方法。再下面一段，就是你的实验结果，要有图有表。理论计算的结果，也要有图有表。紧接下面一段是结论，讲清这项研究工作有什么结论。最后一段是感谢。感谢什么呢？谁给你出的题目？是老师出的，还是你自己找的？谁帮助过你？在哪个问题上帮助过你？研究过程中你跟谁讨论过？讨论时哪个人提出了新的想法，我用上了，都要说明白。我用的仪器是从哪儿借的，你也得写明白。最后，可能这个研究工作是要某一方面的资助下进行的，也得说明。现在我们有不少人的论文对感谢这部分不重视，换句话就是侵吞了人家的成果。例如，有的人不提自己的研究题目是谁帮助确定的，他们应该知道，题目并不是很容易出的，很多人是没有题目的，能出题目的人一定是高水平的。他能看见问题在哪儿，本身是一个很大的创造。尤其是对自己的导师非提不行。可是
