1、专升本高数备考- 1 -高等数学备考题型汇总第一章 函数的极限与连续性 （一）极限七大题型1. 题型一（ ）要求: A:达到口算水平； B:过程即“除大” 。()limxnP,分 别 表 示 多 项 式 的 幂 次2. 题型二()lixa有 限 分 子分 母将 a 带入分母3. 题型三（进入考场的主要战场）注：应首先识别类型是否为为“ ”型！()limvxxau 1公式： 口诀：得 1 得+得内框，内框一翻就是 。 （三步曲）1li)e+=AA e4. 题型四： 等价无穷小替换（特别注意： ）0A（1）A:同阶无穷小： ；lim0()xfg是 的 同 阶B:等价无穷小： ；li1()xf和 等
2、 价=C:高阶无穷小： .注意：li0(g)xf是 的 高 阶 fg和 的 顺 序（2）常用等价替换公式：1 sinA4 1eA2 ta5 ln()3 cos216 A7*arcsinA* t特别补充： eA（3）等价替换的的性质：1）自反性： ;2）对称性： 若 ， 则 ；=00 直接带入 a 求出结果就是要求的值 0 结果：=0 “0/0 型” 用洛比达法则继续计算求值将 a 带入分子专升本高数备考- 2 -3）传递性： .若 ， ， 则（4）替换原则：A:非 0 常数乘除可以直接带入计算； B:乘除可换，加减忌换 （5）另外经常使用： 进行等价替换 lnMe=题型五lim()0(),()
3、xafgxfgx不 存 在 但 有 界有界： （ ）,|M$有 界 sin,coarsin,cot,xx均 有 界识别不存在但有界的函数： i,2e5. 题型六：洛必达法则（极限题型六） ，见导数应用：洛必达法则6. 题型七：洛必达法则（极限题型七） ，定积分，见上限变限积分7. 题型三2、 ;00()()dfxf=唯 一 切 线 斜 率 （ ）3、 ;0)(tanfxyb+-A4、 . 拓展：00()limxffA 000()(lim()fxfAfx+-=A注意：1）分段点求导，永远用定义！2）有连续性条件时可直接带入 定义二 0000()()li )xfxff-+-=AA（ 左 导 ） 左
4、 支m+（ 右 导 ） 右 支000()()()fxffx-存 在（二） 导数常用公式1 c2 nx1,n为 常 数3 alxa为 常 数4 xe7(tan)x221secosxoin(sec)xtasecx5(log)a1lnlx1x06sincos()xi8 (arcsin)x21(ro)21xactn2(o)rx1（三） 导数运算1、乘法运算： ()uvv=+()uvwuvw=+2、除法运算： 2-专升本高数备考- 4 -（四） 复合函数求导（核心内容）1、层次分析2、几点性质：（1）公式 ，推广为： lnx11(ln|)|xx=（2）形如： 利用公式 等价替换 ()vxulMe（3）奇
5、偶性: yfy=奇 偶 ()yfxy偶 奇（五） 高阶导数1 ()!nx()0)m3()sinsi2nx()con2()1naxb1!)naxb4 ()axneax（六） 微分1、 基本知识 注意求的时候要加“ ”.dy=dx2、 参数方程求导（考试重点）参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分 ()xty公式： tdx=2()ttdyx=3、 符号型求导 “f层 抽 象 符 号 层4、 隐函数求导（必考）(),yfx一 元 显 函 数 (,)ufxy二 元 显 函 数 (),yx一 元 隐 函 数题目一般形式是: (,)fg2d,.x求5、 对数法求导巧用对数的性质，变形式子（七） 导数的应
6、用1、切线与法线 切线斜率就是在该点的导数值 法线斜率切线斜率=-1；2,yx求标准形式： t 为中间变量专升本高数备考- 5 -2、洛必达法则（极限题型六） （）()()limlixaxaffg3、函数的单调性与极值、凹凸性、拐点1） “峰”极大值；“谷”极小值；单调性与极值求解A：单调性： 0,;.yxIyB：单调性交界点极值点（判据）C:极值点可疑点（ ）0.yxIy凹 （ ）凸 （ ）B:凹凸性交界点且能取值拐点C：拐点可疑点 0()d();d()fxffxfxFxC2. 基本公式1 n1()nC2 dxl|7csln|cots|xedx|ae|3 xaln4 dxexC5sicosx
7、in62secdtaCxo8 21axrcsinxCa2dt21xalnxa2dxA2lAC（一）求不定积分的四大方法1、方法一（1） 凑常数公式： 1d(),xab均 为 常 数（2） 配方见到一元二次方程想到配方法（3） 拆分公式： 11()()1() ()()caxbcdcaaxbcdbaxdb （4） 利用三角函数和差化积和积化和差公式积分2、方法二固定搭配公式 ()xfx3、方法三分布积分（1） 一般分布积分公式： 关键： 是什么？duvuv三角函数 x幂 三角函数 eA专升本高数备考- 8 -（2） 特殊方程法积分法积分时，对如下积分要特别注意：等等22 2sinlsin3d,d,
8、sind,i(l),cos4d1xx xxeexe4、方法四变量替换（1） 一次项替换如: daxb方法：直接令 .2,tbtxa即（2） 二次项替换根据下表进行相应替换：原项 换元2axsinat2xsect二、定积分（一）定积分计算1.N-L 公式 （牛顿-莱布尼兹公式）()d()fxFC()b baa x主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算 ；2.变换变限 11()()()d()d.bbxtaaf ftt （二）定积分性质1.（1） （2）()d0.afx()d().abbaffx2. ,().babft若 为 常 数 ，3. 更名： ()d().baafxfA的优先级方
9、向v替换原理: 根据下面两个三角变换得来的1. 22sinco1x2.1tase高专升本高数备考- 9 -4. 拆分： ()d()()d.bcbaacfxfxfx积分性质的运用：（1） 分段函数的定积分（2） 函绝对值积分（3） 三角函数积分（实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算）5.若 则()fx为 奇 函 数 ， ()d0.afx这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。6.变限积分涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七（1） 记住：与 没有关系()()dxagft()d()xxaftf x推广： 2()1 21() .xxf上限带入乘上限求导 下限带入乘下限求导(2)洛
10、必达法则 （极限题型七）7 广义积分三种形式：（1） ；（2） ；（3） .()dafx()dafx()dfx解：定义： uFA（有限） 收敛原式=limu发散或 不 存 在（三）定积分应用一般出现在综合题的最后一题，题型仅有两种：第一，求面积；第二求旋转体体积（绕）,xy轴 轴1. 面积（1） “左右型”abyo1()x（2） “上下型”*21()dbaSx阴 影 x积 分x2专升本高数备考- 10 -cdyxo2()y1()2. 旋转体体积（1） “坐在 轴上”xabyo()fx（2） “坐在 轴上”ycdxo()xy二重积分1. 累次积分公式： 2 21 1() ()d,d,dbxbxa
11、afyfyx2. 二重积分的计算 (,)(,)DfxyfxA定 限直角坐标系的几何意义：*21()ddcSy阴 影 y积 分微元法推导：1. 绕 轴： 公式 1： “墩” ；x2d()dxVfx 2()dbxaVfx2. 绕 轴： 公式 2： “城墙” 。yy y微元法推导：1. 绕 轴： 公式 1： “城墙” ；xd2()dxVy2()dxcVy2. 绕 轴： 公式 2： “墩” 。y2()y 2()dyc专升本高数备考- 11 -abyo1()x2xcdyxo2()y1()3. 二重积分改变次序记住一些不能正序积分的函数： 2 2sin1ln,si,.Ax xex思路:原累次积分 二重积分
12、 新累次积分 还 原 改 变 定 限 方 向4. 极坐标主要是圆的思想，注意画图，特别注意上限和下限！21()(,)d,dbxaDfxyfy21()(,)d,dycDfxyfx21()(,)dcos,in)drDfxyfrrJacobi 因子专升本高数备考- 12 -第四章 微分方程（一）分离变量法1. 标准型()yHxGy步骤： dd()()()yHxG2. 变化型 yfx核心：令 u（二）一阶线性微分方程（重点）1.标准型： ，关键是找到 、 ；()ypxq()pxq2.常数变量法： ()d()d(pxpxyqeCe做题步骤：（4） 找到 、 ；()px（5） ，计算 ， ；()d()dp
13、xe()dpx（6） 带入公式 .()()dpxyqCe（三）三大题型题型 1：贝努里方程 ，即()nypxy1()()npxyq1()()dnnypxq11d()nnqdupx1nuy-=题型 2：积分方程 特定条件 (0).y整理之： =()d()d(pxpxyqeCe题型 3：二阶线性微分方程（1） 齐次方程（ ）0()yq+、 为 常 数0()ypq=、 为 常 数 2;1.yll一次+号无注意：1） 积分不要加 C;2） ，不要“| |”符号。lnA专升本高数备考- 13 -特性方程即： （补充： ）2120,.pqlll+=解 出 、 24bacl-=12xxCell， 为互异实根
14、12l、12ll， l y=12(cosin)xexab+， (0)ilab=（2） 非齐次方程标准型： ()cos()sinxmypqePxQxa=+,m为 幂 次 .关键是读参数： ,.nuklb求解过程：=ypq+()fx1） 0y解出2ll 12;.yl、 得2)读参数 .,mnab()fx.ui=k=12.ul、 中 与 相 等 的 个 数ax,l可设特解方程： *()cos()sinkxl lyePxQxabb+0l=A B1+d2l2axbc211axbc代入 *,y=原 方 程 ， 确 定 系 数3） .+第五章 无穷级数专升本高数备考- 14 -一、收敛与发散1. 0120n
15、naa2. nS012.n3.收敛的必要条件 lima判别图(0)nali0na 发散Y比值判别法1limna1 发散1 发散1 收敛P1 发散二、交错级数 (1)na（7） 莱布尼兹法则（2）绝对收敛与条件收敛的判别绝对收敛发散条件收敛三、幂级数 S 有限 收敛lin发散 或 不 存 在1.交错 (1)n-2. na莱布尼兹法则 3. lim0=发散 收敛N0123aa专升本高数备考- 15 -1.收敛域和收敛半径 00()nnax+=-0_;_.nax=（ 中 心 点 或 展 开 点 ）级数对称性：1.一收朝里皆收； 2.一发朝外均发。1. 收敛半径：R; 公式： 1lim|naR+=2.
16、 收敛区间（收敛域） 如 0(,)xR-收 敛 ，将 0 .x带 入 原 级 数 找 解 ， 看 能 否 取 到 0xR-0xR+ 2x-10x12x2.幂级数的展开1）公式 1： 1,;!nxex+=-2）公式 2： ；0,(|)nx+=- 01(),(|1)nnx+=-3）逐项微分，逐项积分第六章 向量代数与空间解析几何 （一）矢量运算1. 矢量的内积（1） 123123,aijka 2213|aa（2）内积： 23|cosbb (3) 02. 矢量的叉积+ - + ab注：不改变收敛区间，改变端点专升本高数备考- 16 -（1） 123ijkaba（2）（3） 12121,Mxyr（二）平面方程1.点法式： 0n000()()()AxByCz2.直线标准型(点斜式) 000xyzmnj-=baO 2(,)Mxyr11(,)Mxr
