1、经管类专升本复习参考题1.已知三角形的三个顶点坐标分别为 ，求该三角形的三边的长度，(4,31)(,2)(5,3)ABC并问该三角形有何特征？解：由两点间的距离公式可得， ，同理可得222()()(1)6，6AC，所以该三角形是等边三角形.B2.设 ， ，求 .4aijk2bijk(2)()ab解：因为 ， ，27=356aijk所以 .()()4()()0ab3.一平面过点 且在各坐标轴上的截距相等，试求该平面的方程.5,7解：由题意可设所求平面方程为 ，则 ， ，1xyza5741a2a所求平面方程为 .2xyz4.已知一平面垂直于平面 且过原点和点 ，试求该平面的方程.450(2,73)
2、解：设所求平面方程为 ，则 解得AxByCzD450,273,ABCD13,470,BCA所以所求平面方程为 .47130z5.求过两点 和 的直线方程.1(,2)M2(,)解：所求直线的方向向量为 ，所以所求直线方程为 .1,3 12231xyz6.求过点 且与直线 垂直相交的直线方程.(2,1)2xyz解：设所求直线与直线 的交点为 ，31(21,3)tt则有向量 ，从而 ，解得 ，21,35tt()(510tt所求直线的方向向量为 ，所求直线方程为 ., 21xyz7.设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 ， .(,)xzfyf 2zx2y解：设 ，则 . ， ，,uxvy(,)zfuv1
3、2zfxy12zff，2121212122()()zfffffxxyy2121122212() ()z xxffffffyy .112223()xffffy8.求由 所确定的函数 的全微分和偏导数.sinyz(,)zx解：方程两边微分得 ，解得 ，ddcosyxyzdcosyzx， .coszxycszxy9.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数.（1） 求 ， ；（2） 求 ， ， ， .2,34zxydxz0,1uyvxuvxyv解：（1）方程组两边对 求导，得d2,23,zyxx解得 ， ；d(61)23yxzd1z（2）方程组两边对 求偏导，得 解得 ， ；x,uvxy2uxyv2
4、yuxv同理方程组两边对 求偏导，得 解得 ， .y,uvxy2uxvy2xuyv10.求空间曲线 在点 处的切线方程与法平面方程.2,xyz(1,)解：方程组两边对 求导，得 在点 的切向量为 ，即 ，xd,2,yxz(1,)1,2,14于是切线方程为 ，124y法平面方程为 ，即 .()(1)0xz247xyz11.求函数 在点 处沿从点 到点 的方向 的方向导数.,yfe0,P0(,)P(1,3)l解： ， ， ， ，(1)xyx2xyf1,3l=,l.(2,0) 340fl12.计算下列二重积分：（1） ， ；)dDxy:,01Dxyx（2） ， ；2（3） ，其中 是半圆形区域 ，
5、；2Dxy24xy0x（4） ，其中 是圆形区域 ；2de （5） ，其中 是由圆 及直线 ， 所围arctnDyxD221,4xy0yx成的在第一象限的区域解：（1） ，:01,xyx；1 12300 0()d()d()d()6Dyyxx或： ，:1,x；11 12300 0(1)d()d()d()6yDxyxyy（2） ，:,cos2r；3cos 32 22004428ddcosd155Dxyr（3） ，:,；2242220 064641dcosindcosind553Dxyrr （4） ，:,；2 22 4401dd()(1)xyrDeee（5） ，:,142240 013arctnda
6、rctn()dd64Dyxrr 12.计算 ，其中 是由三个坐标面与平面 所围成的闭Iz xyz区域解： ，(,)|01,01,xyzxy所以 1000dd()dxyxIzy1201()d4x13. ，其中 由球面 与抛物面 所围成的立体zv 24zx2()3zy解：（用柱面坐标）cos,in.xryzd.vrz221:02,03,4.r2 243335110 003 13ddd(4)d94r rzvzzrr14. ，其中 由曲面 所围成的立体22xyzv22xyz解：（用球面坐标）sinco,.xyz2dsind.vr:02,0cos2s220001ddindsincod40xyzv 15.
7、计算 ，其中 是圆周 ，直线 及 轴在第一象2xyLIesAL22()xyayx限中所围成图形的边界.解： 分成三段 ，其中 ， ；1231:0,()xds， ； ， ；2cos,:(0)in4xatLydsat32:,aLydx.22000dd()4aaxyxaxaLIesetee A16.计算曲线积分 ，其中曲线 为(1)从 沿直线 到L()()dyL1,0A1xy；（2）从 沿直线 到 ，再沿直线 到 .(0,1)B1,1x(,Cy()B解：（1） ；0 1120L 0()d()2)(d2d()xyxx（2） ACCB(d()yyxy.11221001003()d()()()xyx17.
8、 计算曲线积分 ，其中 是抛物线 上从点 到点 的一段弧.2LdyL2y(,0)(2,4)解： .235224L0 08356()d()()1xxyx18.利用格林公式计算 ，其中 为逆时针方向圆周 曲22dLIyAL22(0)xya线.解：由格林公式得 .2 22 2 340()dd2aLxyaIxyxyr19.验证 为 平面内某一函数 的全微分，并计222()d()dxyO(,)u求 .,)u解：由于 ， ,222,PxyQxy2PQxy所以 为 平面内某一函数 的全微分.2222()d()dO(,)ux又 22ddxyxyxyyy3 33 3222 2d()dd()()()x，3)xy所
9、以 .32(,)uyxC20.证明曲线积分 与路径无关，并求其值.(1,) 20)d()dyxy证明：由于 ， ,23(,3PxQ6PQx所以 与路径无关.(1,2) 20)d()dyy，32323()(3)yxxx.(1,2)33(1,2) (1,2)23220 0 (0,)d)d)(yyyxx 21.计算曲面积分 ，其中封闭曲面 是由平面 ， ， ，IxSAzx所围成四面体的整个边界曲面.z解： ， ， ， ， ， 在12341:yz2:0x3:y4:0z1面上的投影区域为 ，xOy(,)01,xyDy123422ddISS.1 12 30 0 01()()d(3)2x x x 22. 计算曲面积分 ，其中 是上半球面 且 .2()Iy29yz0解： ，它在 面上的投影区域为 ，2:9zxxO2(,)xyD2222()d()1d9xyDIS.332 332220 0 03dd6dsin6sind1899rrrtt
