1、第一章 随机事件及其概率习题 1-1 随机事件及其运算1.写出下列随机试验的样本空间. (1)同时抛两枚硬币，观察正面朝上的次数；解 10,2(2)同时掷两枚骰子，观察两枚骰子出现的点数之和；解 2,3(3)生产产品直到得到 10 件正品为止，记录生产产品的总件数；解 310,(4)在某十字路口上，一小时内通过的机动车辆数.解 4,22.设 为 3 个随机事件，试用 的运算表示下列事件.ABC,ABC(1) 都发生而 不发生；,(2) 至少有一个发生而 不发生； (3) 都发生或都不发生； ,ABCABC(4) 恰有两个发生； ,(5) 至少有两个发生. 3.请用语言描述下列事件的对立事件：(
2、1) 表示“抛两枚硬币，都出现正面” ；A解 表示“抛两枚硬币，至少出现一个反面” ；(2) 表示“生产 4 个零件，至少有一个合格” ；B解 表示“生产 4 个零件，全都不合格”.4.从一批灯泡中任取 4 个进行检验，设 表示“第 个灯泡的使用寿命在 800 小时（含 800iAi小时）以上”.试用语言描述下列随机事件：(1) ； (2) ； 1234A1234解 (1)表示 4 个灯泡中至少有一个灯泡的使用寿命在 800 小时以上.（2）表示第 1、第 4 两个灯泡的使用寿命在 800 小时以上，而第 2、第 4 两个灯泡的使用寿命不足 800 小时. 5 设 为随机试验的样本空间， 为随
3、机事件，且 ， ，,AB05x12Ax.试求： .02Bx,ABA解 利用集合的运算性质可得； A12x； 01x05x或习题 1-2 随机事件的频率与概率古典概型与几何概型1.设 ，求 .0.7,.6,0.3PABPA,PABPAB解 由于 ，而 ，则.70.4所以 ； 1()90.1PABPAB2.设事件 及和事件 的概率分别为 和 ，试求, .4,03.6PAB解 PABPAB0.63.3.已知 ，求:(1) 至少1,14,12,03CPCAB,C有一个发生的概率；(2) 全不发生的概率.AB解 因为 ，所以有 ，0AB所以 至少有一个发生的概率,ABCPAPCPCBPAC.127012
4、4631全不发生的概率,ABC7512BA4.将 3 个球随机地投入 4 个盒子中，求下列事件的概率：(1) 表示“任取 3 个盒子中各有一个球” ； (2) 表示“任取 1 个盒子中有 3 个球”.解 (1)基本事件总数 , 包含的基本事件数 ， 346n34!2ArC.24368ArPn(2) 基本事件总数 , 包含的基本事件数 ，364B14BrC416BrPn5.从 0,1,9 中任意选出 3 个不同的数字，试求下列事件的概率：(1)3 个数字中不含 0 与 5的概率；(2)3 个数字中不含 0 或 5 的概率.解 设 表示“3 个数字中不含 0 与 5”; 表示“3 个数字中不含 0
5、 或 5”.A基本事件总数 ,其中 包含的基本事件数 ,则 ; 包含的基本310nCA38ArC381075PB事件数 ,98Br39810245P6.袋中有 7 个球，其中红球 5 个，白球 2 个，从袋中取球两次，每次随机地取一个球，取后不放回，求：(1)第一次取到白球、第二次取到红球的概率；(2)两次取得一红球一白球的概率.解 设 表示“第一次取到白球，第二次取到红球” ， 设 表示“第一次取到白球，第二次AB取到红球”.(1)基本事件总数 , 包含的基本事件数 ，7642nA2510Ar于是 .105rPn(2)基本事件总数 ,“两次取得一红球一白球”有两种情形：其一，第一次取得红球第
6、二次取得白球，有 种取法；其二，第一次取得白球，第二次2取得红球，有 种取法，于是 包含的基本事件数 ，25B520Br故 014rPn7.10 把钥匙中有 3 把能打开门，现任取 2 把，求能打开门的概率.解 设 表示“任取 2 把能打开门” ，基本事件总数 ， 包含的基本的事件数为A210nCA，则1237ArC1237085ACrPn习题 1-3 条件概率1.设 ， ，求 .0.5PA0.3BPA解 由 ， ，得 ，则10.3B0.2PA2.452.设 ， ， ，求 .13PA14B13PABAPABP43,2,解 ，21B由 ，得 ，则13143241311 BPABPABAP3.10
7、0 件同类型产品中有 85 件一等品，10 件二等品和 5 件次品，求从中任取一件非次品的条件下，产品为一等品的概率.解 设 表示“ 任取一件为非次品 ”，B 表示“任取一件为一等品”由题意得： ，0.95,.8,PAA17.9B4.用 3 台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为 ，各机床加工0.5,3.2的零件为合格品的概率分别等于 ，求全部产品中的合格率.0.4,5解 设 表示“从全部产品中任取一件为第台 机床生产” （ ） ， 表示“从全部产iAi1,iB品中任取一件是合格品” ，则 ， ，123.,0.,.2PAPA10.94， ，由全概率公式得，20.9PB30.953
8、4.39.5.9iiiA5.某工厂中，三台机器分别生产某种产品总数的 ，它们生产的产品中分别有2%,40的次品，将这些产品混在一起，现随机地取一产品，问它是次品的概率是多少？5%,42又问这一次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率最大？解设 表示“任取一件产品为第 台机器生产” （ ） ， 表示“任取一件产品，它是1Ai1,3iB次品” ，则 ， ， ，1235,40PAP5A24%P，由全概率公式得 32B%52%0.34iii 再由贝叶斯公式得 11 5.6.PABp，2235%40.8.PABp3340%2.319.5PABp所以这一次品是由第二台机器生产的概率最大.习题 1-4 事件的
9、独立性1.设 ，在下列条件下分别求 .0.4,0.7PAB(1) 与 互不相容；(2) 与 相互独立；(3) .AAB解 (1)由于 与 互不相容，所以 ，PP则 .03（2）设 与 相互独立，则 ，ABABABPAB，又 ，即得 .7PP0.405P（3）由于 ， ，即.72.甲、乙两人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.7，求目标被击中的概率.若已知目标被击中，求它是甲射中的概率.解 设 表示“甲命中目标” ， 表示“乙命中目标” ， 表示“目标被命中” ，所求概率为1A2AB和 .已知 ， 与 相互独立， ，则PB10.6,.7P1A212A.221206.408
10、P111 50.68AB3.设事件 与 相互独立，且事件 发生 不发生与事件 发生 不发生的概率都为 ，ABA41求 AP解 由题意， 因为 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B 也相互独立BPBPAPBAPB1 2142AB4.有一题，甲、乙、丙三人独立解出的概率分别为 ，问解出此题的概率是多少？1,534解 设 表示“甲独立解出此题” ， 表示“乙独立解出此题” ， 表示“丙独立解出此题” ，1A2A3A表示“此题被解出”. B1312123PBPP.12345P5.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率为 ，求：（1）第 次才成功的概率；pk（2） 次试验中恰有 次成功的概率.n
11、k（1） .1121121kk kkPAPAPAp 第 次 才 成 功(2) nkknPCp次 试 验 恰 有 次 成 功习题 1-5 第一章习题课1. 设 ， ，在下列情况下，求概率 .41)(A52)(B)(BAP（1） 、 互不相容 （2） （3） 与 独立 （4）A81)(解：由分析知（1） (2) )(P20345)(3) (4) 1054)(BAP )ABPBA2.设 ，且 ，求 .Ap解 P又因为 ，所以有PAB1BAp3.从 4 双不同的手套中任取 4 只，求下列事件的概率，(1)4 只没有成对； (2)4 只恰好为 2 双.解 从 4 双(8 只)中任取 4 只,共有 种,设
12、 表示“取到的 4 只没有成对”,则 B4870nC表示“取到的 4 只恰好为 2 双”,则 A 的基本事件数为 ,B 的基本事件数11226C为 624C.124867035CP48B4.有 10 件产品，其中 8 件正品，2 件次品，现从中无放回地任取两次，求在第二次取得是正品条件下，第一次取得也是正品的概率.解：用 A 表示“第一次取得是正品 ”， 表示“第一次取到是次品” ，用 B 表示“第二次取A得正品”所求问题为 BP由题意知 98,97,5411108 CBPC由全概率公式 54754AAPBAPB由贝叶斯公式 97545.有两批相同的产品，第一批产品共 14 件，其中 2 件次
13、品，装在第一个箱中，第二批产品共有 10 件，其中 1 件次品，装在第二个箱子，从第一个箱中任取一件放入第二箱中，求再从第二箱中任取一件为次品的概率.解 设 表示“从第一箱放入第二箱是次品” ， 表示“从第一箱放入第二箱是正品”1A2AB 表示“从第二箱任取一件为次品” ，由题意知： 76,71142421 CAPP,1,1221 CABPCAP由全概率公式 781627221 B6.从学校乘汽车到火车站的途中有 5 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是 0.4，求从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯的概率.解：在各交通岗遇到红灯是独立的，故可以看成 5 重贝努里试验，
14、 4.0p用 A 表示“从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯”3456.0.14.025CP第二章 随机变量及其分布习题 2-1 随机变量及其分布函数离散型随机变量的概率分布1. 已知随机变量 只能取-1, 0, 1, 2 这四个值，相应的概率依次为 ，X 1357,2486c确定常数 ， c解 由归一性得， ， .167854321c6372.已知离散型随机变量 的分布函数为 ，求 的概率分布.X3,18.0,6.,xxFX解 的跳跃点分别为 ，对应的跳跃高度分别为xF3,10 2.0,.,故 的概率分布为X10.3.2p3已知随机变量 的概率分布为 X且 ，求未知参数 及 的分布函数. 4XP
15、解：由归一性知， 且,11220，4332 2XP解得 （舍去),1的分布函为X3,124,10xxF4. 5 件同类型的产品中有 2 件次品，3 件正品，有放回的每次取一个，共取 2 次，求 2 次中取到次品的次数 的概率分布.X解： 的所有可能取值为X,10， ， ，列表如下，9052P32155P425PX22131XP012945P5. 某电话交换台的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求：（1）每分钟恰有 8 次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数超过 10 次的概率.解 设 表示每分钟收到的呼唤次数，则 ，X()XP（1） 4489890.28!kkPe（2） 4100.2!ke习题
16、 2-2 连续型随机变量及其概率分布1设随机变量 的概率密度为Xcos,()20kxf 其 它 .求（1）系数 ；（2） ；（3） 的分布函数 . kPxX()Fx解（1）由 ，得 ；()cos1fxdkd2k（2） ；201Px（3）, ,()=sin1),22, .Fxx2. 设随机变量 的分布函数为X0,0,()11,.xFxk求（1）系数 ；（2） ；（3） 的概率密度 .k0.25PXX()fx解 （1）连续型随机变量的分布函数是处处连续的， ,limli11kFxxX即 ；,1lim1xF1limli1kxFx（2） ；0.250.0.25PX（3） ,1,()0xfxF其 它 .
17、3. 设随机变量 ，求（1） ；（2） ；（3） . 2,5XU3PX4PX13PX解 （1） ；（2） ；（3）3P514.54. 设 ，求（1） ；（2） ；（3） ；(,6)XN.PX1.5PX4PX（4） .2P（1） ；4.()(0.86).5（2） ；1515)0.125(.)0.54784XP（3） ；44(.2)0.75)(.).7).6（4） .1521045.设顾客在某银行窗口等待服务的时间 （单位：min）具有概率密度X5,()00.xef某顾客在窗口等待服务，若超过 10 min，他就离开.（1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率；（2）若该顾客一个月内要去银行 5 次，用 表示他未等到服务而离开窗口的次数，求Y.PY解（1） ；2510xpPXed（2） ，2(5,)YBe.0225511()1)0.167PCe
