1、1本科生毕业论文(设计)题 目： 浅谈数形结合在中学数学解题中的应用 姓 名： 任 城 勇 学 号： 2 0 0 7 0 2 0 1 4 0 4 1 系 别： 数 学 与 计 算 机 科 学 系 年 级: 2 0 0 7 专 业： 数 学 与 应 用 数 学 指导教师 庄中文 职 称： 副 教 授 指导教师 武慧虹 职 称： 讲 师 2011 年 3 月 10 日2安顺学院毕业论文任务书数学与计算机科学 系 数学与应用数学 专业 2007 年级 学生姓名 任城勇 毕业论文题目：浅析数形结合在中学数学解题中的应用任 务 下 达 日 期 ： 2010 年 9 月 18 日毕业论文写作日期： 201
2、0 年 9 月 18 日至 2011 年 4 月 20 日学 生 签 字 ： 指 导 教 师 签 字 ：3摘 要数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性。利用图形的直观性阐明数与数之间的关系,这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。数形结合是解决数学问题的一个有力工具，也是中学数学中极为重要的基本方法之一，通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，缩短了思维链，简化了思维过程。数形结合中的数应广义地理解为解析式、函数、复数等;其中的形，可以是点集空间图形，进而使数形结合的思想方法焕发生机和活力，
3、使应用的范围不断拓宽和深化。因此,由此可见，数形结合对发展学生由抽象到直观,再由直观到抽象的思维是非常重要。本文重点阐述了如何在具体的问题中进行形与数、数与形的转化,以及在数学例题中去培养学生数形结合的解题能力。从而达到锻炼学生思维的灵活性与广泛性，提高学生解决问题的能力。关键词 ： 数形结合； 参数方程； 复数； 不等式4AbstractThe Combination of thinking that help to clarify the accuracy of a few graphics as an attribute. Clarify the use of intuitive gra
4、phical relationship between the number and the number, which is the number of communication links between form and produced through this link or cognitive perception, the formation of mathematical concepts to solve mathematical problems or to find ways of thinking. The Combination of mathematical pr
5、oblems to solve a powerful tool, is also extremely important in middle school mathematics one of the basic methods, by The Combination of mathematical language can be abstract and intuitive graphics combine to make the abstract thinking and thinking in images combine to shorten the the thought chain
6、, simplifying the process of thinking. The Combination of the number should be broadly understood as analytic, functions, complex numbers, etc.; one of the form, can be a point of space graphics, and then radiate the way of thinking Shuxingjiege vigor and vitality, so that applications continue to b
7、roaden the scope and deepened. Therefore, we can see, The Combination of students from the abstract to the development of intuitive, then to the abstract visual thinking is very important. This article focuses on how specific issues in the shape and number, number and shape of the transformation, an
8、d examples in mathematics to students in problem-solving ability Shuxingjiege. Training students to achieve the flexibility and breadth of thinking to improve their ability to solve problems.Keywords : the Combination of Math-image; parameter-equation;complex number; inequality;5目 录第 1 章 绪论 6第 2 章 浅
9、析数形结合在中学数学解题中的应用 82.1 以形助数 82.2 以数助形 92.3 “数” 、 “形”结合 11总结及进一步工作 13参考文献 15致谢 166第一章 绪 论随着社会的发展,教学研究的重心已由过去的偏重内容,转向于传授知识和能力并重的研究。强调人的潜能开发,心理品质培养和社会文化素质的训练。在全面提高全体学生的基本素质的基础上,使各种能力在学生身上得到不同程度的协调发展。作为教育者必须自觉地、科学地、有针对地培养出适合新时代需求的人才 3。就数学而言,我们又应该如何做到实现素质教育呢?数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。 “数”和“形”是数学中最基本的两个概念。数量
10、关系借用了图形的性质,可以使许多抽象的概念,关系直观化、形象化,并使一些关系简单化 7。而图形问题在运用了数量关系的公式、法则后,可以使较艰辛的问题归结为较容易处理的数量关系式的研究。中学数学作为学习高等数学的基础,应当把这种关系体现出来,也就是把代数、三角、几何知识之间的联系体现出来 5。因此,数形结合是中学数学重要的思想方法,要把数形结合作为一种数学思想来培养,形成学生的数学意识,从而提高学生的解题能力。通过研究本次课题，使老师能深刻理解和重视数学结合，提高学生的解题能力 8。合理地引导数与形的相互变换，使问题化难为易，化繁为简，达到开拓思维视野，提高解题能力，提升数学素养的作用。可以让我
11、更深一步地了解数学结合的重要性，同时为新世纪的老师在以后教学中能够更加重视教学设计，让老师理解数学结合与学生解题能力的提高是很密切 6。 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休 9。新课标下数学教育的主
12、要目的、任务早已不再是简单的知识传授和方法指 导，而是培养学生的各种能力。学习数学的核心是解题，而解题的价值不是答案，而在于它的过程。解题经验告诉我们：当寻找解题思路发生困难的时候，不妨借助图形去探索；当解题过程中的繁杂运算使人望而生畏的时候，不妨借7助图形去开辟新路；当需要检验结论的正确性的时候，不妨借助图形去验证，加强数学结合的训练，全面提高分析问题、解决问题的能力 10。通过本次研究，能让我们明白作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形” ，
13、而第二种情形是“以形助数” 。 “以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。8第二章 浅析数形结合在中学数学解题中的应用“数缺形，少直观；形缺数，难入微” ，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，是数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。 ”几何图形的形象直观，便于理解；代数方
14、法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法，把握、运用好数形结合，能激发学生兴趣，促进学生情感、态度、价值观的发展，能提高课堂教学效果，有利于数学知识的推广 2。下面从以数助形、以形助数、数形结合三个方面进行进一步阐述。21 以形助数根据解决问题的需要，常把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，即把抽象的“数”结构与形象的“形”结构联系起来，化抽象为直观，通过对图形的研究，常能发现问题的隐含条件，诱发解题线索，使求解过程变得简捷直观以形助数即运用图形的性质使“数”的问题直观化、形象化。例 16：设直线 的参数方程 Lxtybmt是 参 数椭圆
15、 的参数方程是 E1cosin0xay是 参 数问 、 应满足什么条件使得对于任意 m 值来说，直线 与椭圆 总有ab LE公共点。解：先消去参数得普通方程：Lyxb21xEya9两式消去 并整理得：y2221110amxbxa和 有交点的条件是上式的判别式LE0即222211ambaba化简整理得： 220m这个不等式要对任何 值都成立的条件是：22 210100aabbb或 者整理解得：22|011|aab上面的解法基本上是代数解法。但如果我们来考察一下本题的几何意义，就会发现： 就是以 为参数且过公共点 的直线系。题目的Lymxb0,pb要求就是要使这个直线系的所有直线和椭圆 有交点。通
16、过进一步观察EL间的图形关系，就可以发现只要 在椭圆内或椭圆上，就可以满足要E0,pb求。而 点在椭圆上或在椭圆内的充要p条件是： 201ba即 22211ba即 |又 221ba|P1图 2-1LE10也即2211|aab比较这两种解法，很明显看出后一种解法要比前一种解法简捷得多。为什么后一种解法能比较简单？这就是第一种解法把两曲线相交问题转化为求方程组解的问题后，完全抛开了它的几何性质，仅仅从代数的方面去考虑问题，而第二种解法把数量关系和图形性质结合起来思考，一方面从图形关系上揭示出题目的实质，又同时用数量关系来表示这种实质，两者结合就使解题过程大为简化。下面再从复数、三角、不等式的实例说
17、明数转形的必要性和优越性。例 2：已知 求使 最大的复数 。|3|1Zi|ZZ这是求最大值问题。可以设 代入已知不等式中，把它转化为一般xyi求极值的问题去解。但这样解答的过程就比较繁。若我们结合复数的几何意义去考察，则满足 条件 的 在复平|3|1ZiZ面就是以 为圆心， 为半径3,1的点。题目是求这些 中模最大的一个。即到Z原点距离最远的一个。很明显，过原点 和圆O心 作直线交圆于 , 两点，离原点较远的C12交点表示的复数模最大。则复数 就是所要求的答案，通过简单的计算就有：23iZ这个方法同时还可得到另一个结论：使 最小的复数是|Z132iZ例 3：已知 中 , ,ABC60oab2c求角 、 和边 、 。图 2-2
