1、1.5 函数的连续性,1.5.1 函数连续性的概念,定义1.7 (函数在一点的连续性),设 在 x0 的某一邻域内有定义,时函数 的极限存在,如果当,且,则称函数 在点 连续,称为 的连续点.,处连续必须满足三个条件:,说明:函数,所以, 在点 连续等价于:,左连续,右连续,显然 函数,定义1.8 (函数在一点左右连续),处既左连续, 又右连续.,或称函数在该区间上连续.,在区间上每一点都连续的函数,称该区间上的,在开区间,右连续,左端点,右端点,continuous,左连续,连续函数,内连续,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,定义1.9 (函数在区间连续),例如, 多项式函数,内是连
2、续的.,因此有理分式函数在其定义域内的每一点 都是连续的.,有理分式函数,只要,都有,因此多项式函数在,例1 证明函数 内连续.,证,所以,证,由夹逼定理有,因,例2 证明函数 内连续.,定理1.14 (函数四则运算的连续性),例如,故 在其定义域内连续.,定理1.15 (复合函数的连续性),定理1.16 设函数 在区间I 上单调而 且连续, 则其反函数也单调且连续.,由此, 反三角函数在其定义域内皆连续.,即,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的.,可以证明:,均在其定义域内连续.,指数函数,对数函数,定理1.17 (初等函数的连续性),初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间
3、是指包含在定义域内的区间.,注 1. 初等函数仅在其定义区间内连续,例如,在 0 点的邻域内没有定义,注 2. 初等函数的连续性提供了简单极限的求法.,在其定义域内不一定连续;,例3 求,例4 求,解,解,例5 (非初等函数的例子),证明符号函数 是非初等函数.,证 因为,矛盾,1.5.2 函数的间断点,的间断点.,如果上述三个条件中有一个不满足,间断点分为两大类:,第一类间断点:,若,则称为可去间断点;,若,则称为跳跃间断点.,其中,称为第一类间断点.,例6 讨论,解,所以, 为函数的跳跃间断点.,例7 讨论函数,解,所以, 为函数的可去间断点.,在 处的连续性.,如例7中,注意: 可去间断
4、点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,则,在 处连续.,第二类间断点:,若其中有一个为,称为无穷间断点.,称为第二类间断点.,存在的间断点,例8 讨论函数,解,所以, 为函数的无穷间断点.,狄利克雷函数,定义域内每一点都是第二类间断点.,注意: 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,仅在 处连续, 其余各点处处间断.,初等函数无定义的孤立点是间断点.,分段函数的分段点可能是间断点, 也可能是连续点,需要判定.,求函数的间断点的方法,解,是间断点.,解,例9 求函数 的间断点并判断其类型.,所以, 为函数的无穷间断点.,是间断点.,内连续.,由初等函数的连续性,函数 在其
5、定义区间,所以, 为函数的跳跃间断点.,1.5.3 闭区间上连续函数的性质,设 在区间I 有定义,则称 是函数 在区间I 的最大值(最小值).,定理1.18 (最大最小值定理),设 在a, b上连续, 则 在a, b上有,最大值最小值.,有,注意: 1. 若区间是开区间, 定理不一定成立;,推论1.5 (有界性定理),2. 若区间内有间断点, 定理不一定成立.,设 在a, b上连续, 则 在a, b上有界.,有,若,显然, 函数的最大、最小值分别是它的一个 上界和一个下界.,定理1.19 (零点定理),设函数 在闭区间 a, b上连续，,使得,则至少有一点,如果 的一个零点.,几何解释：,定理1.20 (介值定理),设函数 在闭区间 上连续,若,则至少有一点,使得,两个端点位于x 轴的两侧,则曲线弧与x 轴至少有一交点.,连续曲线弧 的,证,由零点定理,推论1.6 闭区间上连续的函数, 必取得介于最 大值M 与最小值m 之间的任何值.,例10 证明方程,证,由零点定理,一根.,所以,方程,使得,例11 设函数,证,由零点定理,使得,即,例12 设,证,由最大最小值定理,该函数闭区间上必取得最大值 M 与最小值 m.,由介值定理,使得,于是,证明,使得,
