1、,复变函数与积分变换,Complex Analysis and Integral Transform,教材： 复变函数与积分变换马柏林编，复旦大学出版社 主要参考书:复变函数， 西安交大（第四版）积分变换， 东南大学（第四版） .,一、复变函数,我们以复数为自变量的函数复变函数，研究其在复数域上的微积分，并以解析函数为中心内容。,学习方法：要善于同实变函数进行比较、区别，特别要注意复变函数特有的那些性质与结果。,1. 复数的概念及运算2. 复数的表示方法,Ch1 复数和复平面,1 复 数,1. 在十六世纪中叶，,时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为,。在当时，,包
2、括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，,复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人,随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式,背景介绍,2. 直到十七与十八世纪，,G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程,们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。,复指数函数与三角函数之间的关系。,，揭示了,Gauss (德国1777-1855)与Hamilton (爱尔兰1805-1865),定义复数 为一对有序数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”
3、这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。,3. 然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand,(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及,（1）复数 形如 ，其中x和y是实数，i是虚单位( ), 称为复数。其中x和y分别称为复数z的实部和虚部，分别记作：,两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等。如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数；如果Imz不等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。,1. 复数的概念及运算,(2)复数的四则运算,复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭），
4、记为C，复数域可以看成实数域的扩张。,相当于代数中的多项运算,z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积、商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.,(conjugate),共轭复数的性质,（3）共轭复数,（1）点的表示（2）向量表示法（3）三角表示法（4）指数表示法,2 复数的表示方法,（1） 点的表示,数z与点z同义.,（2） 向量表示法,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 以正实轴 为始边, 以 为终边的角的 弧度数
5、 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时),z=0时，辐角不确定。,辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，,当z落于一,四象限时，不变。,当z落于第二象限时，加 。,当z落于第三象限时，减 。,由向量表示法知,(3). 三角表示法,(4). 指数表示法,注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要.,(1) 复数三角表示的乘积与商（2）复数的乘幂（3）复数的方根,3 复数的乘幂与方根,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。,证明 设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2则 z1z2
6、=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2)= r1r2cos (1+2)+isin(1+2)=r1r2e i(1+2),（1）乘积与商的几何意义,因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。,定理1可推广到n 个复数的乘积。,要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.,定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。,证明, Argz=Argz2-Argz1 即：,由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2 |z|
7、z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z10）,设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。,2.复数的乘幂,问题 给定复数z=re i ，求所有的满足n=z 的复数。,3.复数的方根,（开方）乘方的逆运算,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。,几何上， 的n个值是 以原点为中心， 为半 径的圆周上n个等分点， 即它们是内接于该圆周 的正n边形的n个顶点。,解,（2）,（3）,(4),1.平面点集2. 简单曲线（或Jordan曲线)3. 单连通域与多连通域,2 复平面点
8、集,1. 平面点集,邻域,复平面上以 z 0为中心，任意 0为半径的圆 | z -z 0|(或 0 | z z 0|) 内部的点 的集合称为点 z 0 的（去心）邻域 。 记为(z0 ,) 即，,内点 设D是一平面上点集,对任意z0属于D，若存在(z 0 ,)， 使该邻域内的所有点都属于D，则称z 0是D的内点。,D-区域,区域 设 D是一个开集，且D是连通的，称D是一个区域。,连通是指,有界区域与无界区域 若存在 R 0, 对任意 z D, 均有|z|R，则D是 有界区域；否则无界。,(1) 圆环域:,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 带形域:,2. 简单曲线（或Jordan曲线
9、),令z(t)=x(t)+iy(t) atb ; 则曲线方程可记为：z=z(t)， atb,3. 单连通域与多连通域,简单闭曲线的性质,例如 |z|0）是单连通的；0r|z|R是多连通的。,多连通域,单连通域,例 求过复平面C上不同两点a,b的直线表示式。,解,二、复球面,1. 南极、北极的定义,球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,2. 复球面的定义,我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而球面上的北极 N 就是
10、复数无穷大 的几何表示.,3. 扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大，即,作业,P12习题(一)2，7, 8,答疑解惑,答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。,1、复数能否比较大小，为什么？,注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小。,2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？,答：有相同之处，但也有不同之处。,加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。,
