1、导数一、导数公式（1） 、几种常见的导数 ； ；C()x()R = ； ；()xaxe = ；log ； ； (n)x(sin)x(cos)x（2） 、导数运算规则： ； ；()kf ()fg ； ；fxg()x练习：1、函数 的导数为_ ；sinyx2、若 ,则 2()lf()fx3、若 ,则 sinco二、函数的单调性在区间 A 单调递增 在 A 恒成立(),()fxCf()0fx在区间 A 单调递减 在 A 恒成立 作用：可求单调区间 解不等式；或判定函数在某区间单调；常识：看到单调，就想到导数大于等于（或小于等于）0 在给定区间恒成立练习：1、已知 在 R 上是减函数，则 的取值范围是
2、 13)(2xaxf a2、设 是函数 的导函数， 的图象如图（1）所示，则 的图象最f ()yf()yfx有可能为（ ）3、已知函数 , 的导函数的图象如下图，那么 , 的图()yfx()ygx ()yfx()ygx象可能是（ ）4、已知对任意实数 ，有 ，且 时，x()()(ffxgx， 0，则 时（ ）()0()fxg， 0A B x， ()()0fx，C D()()f， g，5、若 在（1，4）内为减函数，在（6，+）上为增函数，)(213xax则 的范围是 a三、极值和极值点（1） 、极值点的判别法-函数草图中的转折点或导数草图中与 轴的交点x函数的草图 导数的草图注意点：如图， 是
3、边界点不是极值点； ， 是转折点，才1(,)xf 2(,)xf3(,)xf是极值点，其中 极大值点， 极小值点，23(,)xf是极大值， 极小值；-极大值、极小值统称极值-是函数值2()fx3()fx由于极值点由横坐标决定，因此，常称 为极大值点， 极小值点；所以求极值点-求2x3x横坐标（即 的解）()0fx导数的草图需画 轴； 轴上方，导数大于 0，函数单调递增；下方导数小于 0，函数单调2O 1递减-画 轴x（2） 、求函数 的极值的方法：()yf求出 的根 ；利用导数草图判定 是极大值点还是极小值点；求出 0ixix极值（3）求最值的方法求出 的根 ；作出导数草图；作出函数草图；计算比
4、较得到最值() fxi练习：1、已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 .3128fx3,M 在 的值域是 ()fx（ ， ）2、已知 。如图， 的图象过点（1，0） ， （2，0） ，则下列32bc()yfx说法中：不正确的有 时，函数 取到极小值； x()yfx函数 有两个极值点；()f ； 6c 时，函数 取到极大值；1x()yfx3、设 ，函数 的图像可能是（ ）ab2)ab Ao bayxBo bayxCo bay xDo bayx4、若函数 在 处取极值，则 2()1xafa四、切线：曲线 在 处切线的斜率 ，切点 ，从而切线方()yf0x0()kfx0(,)fx程为-求切线方程-关
5、键在求切点的横坐标00()()fxf练习：1、设点 是 上一点，则在 点处的斜率取值范围是 ,Py3xP2、曲线 在点（0,1）处的切线方程为 21xe3、已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为 3ln4y124、设 P 为曲线 C： 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范2x围为 ，则点 P 横坐标的取值范围为 0，5、在曲线 的切线中，则斜率最小的切线方程是 32610yx6、若曲线 y= 在点（0，b）处的切线方程式 =0，则 ，a 1xyab7、若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 的取值范围是 2fxInxy解答题1、已知函数 的图象过点 P（0 ，2） ，且在
6、点 M（1，f（1） ）处daxbxf23)(的切线方程为 .076y（）求函数 的解析式；（ ）求函数 的单调区间.)(xfy)(xfy2、已知 是二次函数，不等式 的解集是 且 在区间 上的最大()f ()0fx,5f1,4值是 12。（I）求 的解析式；（II）是否存在自然数 使得方程 在区间()fx ,m37()0fx内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。(,1m3、设函数 2()1(0)fxtxttR，（）求 的最小值 ；（）若 对 恒成立，求实数 的取)h2hm(02)t， m值范围4、已知函数 的图象过点（1，6） ，且函数 的32()fxmnx (
7、)6gxfx图象关于 y 轴对称.()求 m、n 的值及函数 y=f(x)的单调区间；()若 a0，求函数 y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.5、已知函数 f（x）= 的图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-2321b()求实数 a,b 的值；()设 g（x）=f(x)+ 是 上的增函数。,（i）求实数 m 的最大值；(ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。6、已知函数 1()ln()afxRx（I）当 时，求曲线 在点 处
8、的切线方程；（II）当 时，讨论1a)yf2,f 12a的单调性()fx7、已知函数 ，常数 讨论函数 的奇偶性，并说明理0()(2xaxf )aR)(xf由；若函数 在 上为增函数，求 的取值范围)，8、已知函数 求曲线 在点 处的切线方程；设 ，3()fx()yfx()Mtf， 0a如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： ab， ()yfx(ab9、已知函数 42()3(1)4fxa（I）当 时，求 的极值 ;（II）若 在 上是增函数，求 的取值范围16af()fx1,a二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下： （1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）
9、函数的凹凸性。 （3）判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。一、用二阶导数判断极大值或极小值定理设 在 二阶可导，且 )(xf0 0)(,0)(xfxf(1) 若 ，则 在 取得极大值；)0f )(f0(2) 若 ，则 在 取得极小值)(0xf )(xf0例 试问 为何值时，函数 在 处取得极值？它a xaf 3sin1si)(是极大值还是极小值？求此极值解 xxaxf 3coscos)(由假设知 ，从而有 ，即 0)3(f 012a2a又
10、当 时， ，且2a xxxf 3sinsin)(，所以 在 处取得极03)3(f xxf3sin1i2)(大值，且极大值 )(f例 求函数 的极大值与极小值593)(2xxf解 在 上连续，可导令)x4,2，0)3)(1(3963)(2 xxxxf得 和 ，1思考： 在 取得极大还是极小值？在 取得极大还是极小值？)(xf 3x6f-1 代入二阶导数表达式为-12， 在 取得极大值)(xf13 代入二阶导数表达式 12，在 取得极小值3三、函数图像凹凸定理 若 在 内二阶可导，)(xf,ba则曲线 在 内的图像是凹曲线的充要条件是 ， )(xfy,ba 0)(xf ),(ba曲线 在 内的图像
11、是凸曲线的充要条件是 ， 。, ,xo oxxy y几何的直观解释：如果如果一个函数 f(x)在某个区间 I 上有 恒成立，那么在区间()0fxI 上 f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。 . 曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同如图 11 中的曲线为向下凸，而图 12 中的曲线为向上凸 图 11 图 121212()()()fxff定义 4.5.1 设 在 内可导，若曲线 位于其每
12、点处切线的上方，xfy,ba)(xfy则称它为在 内下凸(或上凹 )；若曲线 位于其每点处切线的下方，则称它在),ba)(xfy内上凸(或下凹)相应地，也称函数 分别为 内的下凸函数和上凸函数, ),(ba(通常把下凸函数称为凸函数 )从图 11 和图 12 明显看出，下凸曲线的斜率 (其中 为切线的倾角)tanxf随着 的增大而增大，即 为单增函数；上凸曲线斜率 随着 的增大而减小，也x)(xf就是说， 为单减函数但 的单调性可由二阶导数 来判定，因此有下述定)(f )(xf理定理 4.5.1 若 在 内二阶可导，则曲线 在 内下凸)(xf),ba)(xfy),ba(凹函数 )的充要条件是0)(f ),(ax
