1、【名师解析】山东省济宁市 2015 届高三一模（文科） 数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分共 50 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5 分）（2015济宁一模）若集合 A=x|1gx1，B=y|y=sinx，x R，则 AB=（ ）A （0，1） B （0，1 C D 【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 求出 A 中不等式的解集确定出 A，求出 B 中 y 的范围确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可【解析】： 解：由 A 中不等式变形得：lgx1=lg10，即 0x10，A=（0，10），由 y=sinx，得到 B=，则 AB=（0
2、，1，故选：B【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5 分）（2015济宁一模）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 iz=1+i，则 =（ ）A 1+i B 1i C 1+i D 1i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算法则与共轭复数的定义即可得出【解析】： 解：iz=1+i，iiz=i（1+i），化为 z=1i， =1+i故选：A【点评】： 本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义，属于基础题3（5 分）（2007广东）已知简谐运动 的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 分别为（
3、）A T=6，= B T=6， = C T=6，= D T=6，=【考点】： y=Asin（x+）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法【专题】： 计算题；压轴题【分析】： 根据图象上点的坐标满足解析式，由已知的范围求出函数的初相，再根据正弦函数的周期和周期公式求出此函数的最小正周期【解析】： 解：由题意知图象经过点（0，1），即 2sin=1，又因 可得， ，由函数的周期得 T= =6，故选 A【点评】： 本题考查了复合三角函数的周期以及初相的求法，主要根据定义和已知的范围进行求解，考查了对定义的运用能力4（5 分）（2014辽宁）已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确
4、的是（ ）A 若 m，n，则 mn B 若 m，n ，则 mnC 若 m，mn，则 n D 若 m，mn，则 n【考点】： 空间中直线与直线之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： A运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B运用线面垂直的性质，即可判断；C运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断【解析】： 解：A若 m，n，则 m，n 相交或平行或异面，故 A 错；B若 m，n ，则 mn，故 B 正确；C若 m，mn，则 n 或 n，故 C 错；D若 m，mn，则 n 或 n或 n，故 D 错故选 B【
5、点评】： 本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型5（5 分）（2015济宁一模）已知如图 1 所示是某学生的 14 次数学考试成绩的茎叶图，第 1次到第 14 次的考试成绩依次记为 A1，A 2，A 14，图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的 n 的值是（ ）A 8 B 9 C 10 D 11【考点】： 程序框图；茎叶图【专题】： 算法和程序框图【分析】： 算法的功能是计算学生在 14 次数学考试成绩中，成绩大于等于 90 的次数，根据茎叶图可得成绩大于等于 90
6、的次数，即 n 值【解析】： 解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在 14 次数学考试成绩中，成绩大于等于 90 的次数，由茎叶图得，在 14 次测试中，成绩大于等于 90 的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114 共 10 次，输出 n 的值为 10故选：C【点评】： 本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键6（5 分）（2015济宁一模）下列说法不正确的是（ ）A “若 a+b2，则 a，b 中至少有一个不小于 1”的逆命题为真B 存在正实数 a，b，使得 lg（a+b）=1ga+1gbC 命题 p：x R，使得 x2+x1
7、0，则p： xR，使得 x2+x10D a+b+c=0 是方程 ax2+bx+c=0（a0）有一个根为 1 的充分必要条件【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 简易逻辑【分析】： A，写出命题“若 a+b2，则 a，b 中至少有一个不小于 1”的逆命题，可判断 A；B，举例说明，存在正实数 a=b=2，使得 lg（a+b）=1ga+1gb，可判断 B；C，写出命题 p：x R，使得 x2+x10 的否定，可判断 C；D，利用充分必要条件的概念，从“充分性”与“ 必要性”两个方面，可判断 D【解析】： 解：对于 A，“若 a+b2，则 a，b 中至少有一个不小于 1”的逆命题为“ 若 a，
8、b 中至少有一个不小于 1，则 a+b2”为假命题，例如 a=21，b=1，则 a+b=12，故 A 错误；对于 B，存在正实数 a=b=2，使得 lg（2+2）=1g2+1g2 ，故 B 正确；对于 C，命题 p：x R，使得 x2+x10，则p： xR，使得 x2+x10，故 C 正确；对于 D，a+b+c=0 方程 ax2+bx+c=0（a0）有一个根为 1，即充分性成立；反之，若方程 ax2+bx+c=0（a0）有一个根为 1，则 a+b+c=0，即必要性成立；所以，a+b+c=0 是方程 ax2+bx+c=0（a0）有一个根为 1 的充分必要条件，即 D 正确综上所述，错误的选项为
9、A，故选：A【点评】： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查四种命题之间的关系及真假判断，考查全称命题与特称命题及充分必要条件，属于中档题7（5 分）（2015济宁一模）若函数 f（x）=ka xax（a0 且 a1）在（ ，+）上既是奇函数又是增函数，则函数 g（x）=log a（x+k）的图象是（ ）A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由函数 f（x）=ka xax，（a0，a1）在（， +）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得 k=1，a1，由此不难判断函数的图象【解析】： 解：函数 f（x）=ka xax，（a0，a1）在（
10、 ，+ ）上是奇函数则 f（x）+f （x）=0即（k1）（a xax）=0则 k=1又函数 f（x）=ka xax，（a0，a1）在（，+）上是增函数则 a1则 g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选 C【点评】： 若函数在其定义域为为奇函数，则 f（x）+f（x）=0 ，若函数在其定义域为为偶函数，则 f（x）f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数减函数=增函数也是解决本题的关键8（5 分）（2015济宁一模）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x2y 的取值范围为（ ）A B C D
11、【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 由约束条件作出可行域，令 t=x2y，由线性规划知识求得 t 的范围，再由指数函数的值域得答案【解析】： 解：由约束条件 作出可行域如图，令 t=x2y，化为直线方程的斜截式得： ，联立 ，解得 A（2，2），联立 ，解得 C（1，2）由图可知，当直线 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，t 最大，最大值为 2；当直线 过 C 时，直线在 y 轴上的截距最大，t 最小，最小值为5则 t，由 z=2x2y=2tt，得 z 故选：D【点评】： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了指数函数的值域，是中档题
12、9（5 分）（2015济宁一模）设偶函数 f（x）对任意 xR，都有 f（x+3 ）= ，且当x时，f （x）=4x ，则 f（107.5）=（ ）A 10 B C 10 D 【考点】： 函数的周期性【专题】： 计算题【分析】： 先通过有 f（x+3）= ，且可推断函数 f（x）是以 6 为周期的函数进而可求得 f（107.5）=f（5.5），再利用 f（x+3）= 以及偶函数 f（x）和 x时，f （x）=4x即可求得 f（107.5）的值【解析】： 解：因为 f（x+3）= ，故有 f（x+6）= = =f（x）函数 f（x）是以 6 为周期的函数f（107.5）=f （617+5.5）=
13、f（ 5.5）= = = = 故选 B【点评】： 本题主要考查了函数的周期性要特别利用好题中有 f（x+3）= 的关系式在解题过程中，条件 f（x+a）= 通常是告诉我们函数的周期为 2a10（5 分）（2015济宁一模）已知抛物线 y= x2 与双曲线 x2=1（a 0）有共同的焦点F，O 为坐标原点，P 在 x 轴上方且在双曲线上，则 的最小值为（ ）A 2 3 B 32 C D 【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求出抛物线的焦点，即有双曲线的 c=2，进而得到双曲线的方程，设 P（m ，n），（n ），则 n23m2
14、=3，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理成关于 n 的方程，再由二次函数的最值求法，即可得到最小值【解析】： 解：抛物线 y= x2 与的焦点 F 为（0，2），则双曲线 x2=1 的 c=2，则 a2=3，即双曲线方程为 =1，设 P（m，n），（n ），则 n23m2=3，则 =（m，n）（m，n2）=m 2+n22n= 1+n22n= 2n1= （n ） 2 ，由于区间 4 0.08合计 50 1（1）写出 a、b 的值；（2）估计该校文科生数学成绩在 120 分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在中选两位同学，来帮助成绩在内有 4 人，记为乙
15、、B、C、D法一：“二帮一” 小组有以下 6 种分组办法：（甲乙 B，ACD）、（甲乙 C，ABD ）、（甲乙D，ABC）、（甲 BC，A 乙 D）、（甲 BD，A 乙 C）、（甲 CD，A 乙 B）其中甲、乙两同学被分在同一小组有 3 种办法：（甲乙 B， ACD）、（甲乙 C，ABD）、（甲乙 D，ABC）所以甲、乙分到同一组的概率为 （12 分）【点评】： 本题考查读频数分布表能力和频数与频率的求算方法以及它们之间的关系利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题统计中常用的公式：频率= 、解决事件的概率问题，关键是弄清事件属于的概率模型，然后，选
16、择合适的概率模型公式17（12 分）（2015济宁一模）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B ，C 的对边且 acosC=bc（）求角 A 的大小；（）当 a= ，S ABC= 时，求边 b 和 c 的大小【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： （）由已知可得 sinAcosC=sinB sinC，又 sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可解得 cosA= ，又 0A，即可求得角 A 的大小；（）由 SABC= = bcsinA 可得：bc=2，由余弦定理可得 b2+c2bc=3，联立即可解得 b，c的值【解析】： 解：（）由 acosC
17、=b c可得：sinAcosC=sinB sinC，又 sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， sinC=cosAsinC，sinC0，cosA= ，又0A，A=（）由 SABC= = bcsinA 可得：bc=2由余弦定理可得：a 2=b2+c22bccosA，可知：b 2+c2bc=3，即有：（b+c） 23bc=3，所以解得：b+c=3，从而解得：b=2，c=1，或 b=1，c=2【点评】： 此题主要考查了正弦定理、余弦定理以及特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，属于基本知识的考查18（12 分）（2015济宁一模）如图，已知四边形
18、 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形，ADBC，CE BG，且BCD=BCE= ，平面 ABCD平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2求证：（）ECCD；（）求证：AG平面 BDE；（）求：几何体 EGABCD 的体积【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】： 综合题；空间位置关系与距离【分析】： （）利用面面垂直的性质，证明 EC平面 ABCD，利用线面垂直的性质证明ECCD；（）在平面 BCDG 中，过 G 作 GNCE 交 BE 于 M，连 DM，证明四边形 ADMG 为平行四边形，可得 AGDM，即可证明 AG平面 BDE；（）利用分割法即可求出几
19、何体 EGABCD 的体积【解析】： （）证明：由平面 ABCD平面 BCEG，平面 ABCD平面 BCEG=BC， CEBC，CE平面 BCEG，EC平面 ABCD，（3 分）又 CD平面 BCDA，故 EC CD（4 分）（）证明：在平面 BCDG 中，过 G 作 GNCE 交 BE 于 M，连 DM，则由已知知；MG=MN，MNBCDA，且 ，MGAD，MG=AD，故四边形 ADMG 为平行四边形， AGDM （6 分）DM平面 BDE，AG平面 BDE，AG平面 BDE（ 8 分）（）解： （10 分）= （12 分）【点评】： 本题考查面面垂直、线面平行，考查几何体体积的计算，考查学
20、生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键19（12 分）（2015滨州一模）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，数列b n是等比数列，满足a1=3，b 1=1，b 2+S2=10，a 52b2=a3（）求数列a n和b n的通项公式；（）令 Cn= 设数列c n的前 n 项和 Tn，求 T2n【考点】： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（）由 a1=3，a n=2n+1 得 Sn=n（n+2）则 n 为奇数，c n= = “分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列
21、的前 n 项和公式即可得出【解析】： 解：（）设数列a n的公差为 d，数列b n的公比为 q，由 b2+S2=10，a 52b2=a3得 ，解得a n=3+2（n 1）=2n+1， （）由 a1=3，a n=2n+1 得 Sn=n（n+2），则 n 为奇数，c n= = ，n 为偶数，c n=2n1T 2n=（c 1+c3+c2n1）+（c 2+c4+c2n）= = 【点评】： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“分组求和” 、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（13 分）（2015济宁一模）已知函数 f（x）= +lnx（aR ）（）当 a=1
22、 时，求 f（x）的最小值；（）若 f（x）在（0，e 上的最大值为 2，求实数 a 的值；（）当 a=1 时，试判断函数 g（x）=f（x）+ 在其定义域内的零点的个数【考点】： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义；根的存在性及根的个数判断【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）当 a=1 时，求出函数的导数，通过函数的单调性求出 f（x）的最小值；（）通过当 a0时，当 a（0，e 时，当 ae 时，通过 x（0，e 利用导函数的符号，判断函数的单调性，通过函数的最值，推出 a 符合题意的值即可；（）当 a=1 时，求出函数 的定义域，函数的导数求出函数的最值与0
23、比较，判断在其定义域内的零点的个数即可【解析】： 解：（）当 a=1 时， ，当 x（0，1）时， f（x）0，f（x）单调递减，当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，所以，当 x=1 时，f（x）有最小值：f（x） min=f（1）=1（ 4 分）（）因为 ，当 a0时，f（x）0，f（x）在（0，e 上为增函数，此时 f（x）在（0，e 上无最小值（5分）当 a（0，e时，若 x（0，a ），则 f（x）0，f（x）单调递减，若 x（a，e，则 f（x）0，f（x）单调递增，所以 f（x） min=f（a ）=1+lna=2，a=e，符合题意；（7 分）当 ae 时，x（0，e
24、 ，f（x）0，f（x）单调递减，所以 ，a=e，不符合题意；综上所述，a=e 时符合题意（9 分）（）证明当 a=1 时，函数 ，令 （x）=2+xlnx，（x0），则 ，所以 x（0，1）时， （x） 0， （x）单调递减，当 x（1，+）时，（x） 0，（x）单调递增，所以，（x） min=（1）=30，在定义域内 g（x）0，g（x）在（0，+）单调递增，又 g（1）=10，而 ，因此，函数 g（x）在（1，e）上必有零点，又 g（x）在（0，+）单调递增，所以函数 在其定义域内有唯一的零点（13 分）【点评】： 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想
25、的应用考查分析问题解决问题的能力21（14 分）（2015济宁一模）已知椭圆 C： + =1（a b0）的离心率为 ，椭圆中心到直线 x+yb=0 的距离为 （）求椭圆 C 的方程；（）设过椭圆 C 的右焦点 F 且倾斜角为 45的直线 l 和椭圆 C 交于 A，B 两点，对于椭圆 C上任一点 M，若 = + ，求 的最大值【考点】： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （）利用椭圆的性质，求得 a，b 即可得出椭圆的方程；（）根据椭圆与直线的关系，联立方程组，结合方程根与系数的关系求解即可【解析】： 解：（）e= = ，c 2= ，b 2=a
26、2c2= ，椭圆中心到直线 x+yb=0 的距离为 d= = ，b=5，b 2=25，a 2=4b2=100，椭圆的方程为 + =1（）由（）知 F（5 ，0），由题意可知 AB 方程为 y=x5 ，椭圆的方程可化为 x2+4y2=100，将代入消去 y 得 5x240 x+200=0，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则有 x1+x2=8 ，x 1x2=40，设 M（x，y），由 = + 得（x，y）=（x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（x 1+x2，y 1+y2） ，又点 M 在椭圆上，x 2+4y2= +4=2 + +2x1x2+4（ + +2y1y2）=2（ +4 ）+ 2（ +4 ）+2（x 1x2+4y1y2）=100，又 A，B 在椭圆上，故有 =100， =100，而 x1x2+4y1y2=x1x2+4（x 15 ）（ ）=5x 1x220 （x 1+x2）+300=54020 8 +300=20，将，代入可得 2+2+ =1，1= 2+ = ， ，当且仅当 =时取“=”，则 的最大值为 【点评】： 本题主要考查椭圆的方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系及考查学生的运算求解能力，综合性强，属于难题
