1、江苏省无锡市天一中学 2012 届高三 4 月月考（数学）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1设集合 02,0122 xBxA，则 BA 2如果复数 ()mi是实数，则实数 m 3若命题“ R，使得 2()1a”为假命题，则实数 a的范围 4某算法的程序框图如图，若输入 4,26bc，则输出的结果为 5把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度 2 倍”的概率为 6在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c ，若 tan21AcBb，则角 A 的大小为 7已知| a|=3，| b|=4，( a+ )( +3)=33，则 与
2、的夹角为 8已知双曲线 C: 210,xyb的右顶点、右焦点分别为 A、F，它的左准线与 轴的交点为 B，若 A 是线段 BF 的中点，则双曲线 C 的离心率为 9已知数列 na的前 项和 Sn=n27n, 且满足 16a k+ak+122, 则正整数k= 10在棱长为 1 的正方体 1CD中，四面体 1DAB的体积为 11曲线 3xy的一条切线方程为 2xy，则实数 a= 12已知函数 2log(),0().xf若函数 ()gfxm有 3 个零点，则实数m的取值范围是 13当 210x时， 21|3xa恒成立，则实数 a的取值范围为 14已知 ABC三边 a，b，c 的长都是整数，且 bc
3、，如果 )(*N，则符合条件的三角形共有 个（结果用 m 表示）二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15(本小题满分 14 分) 设函数 ()fxa，其中向量 (,cos2)mxa，1sin2,xb， R，且 ()yfx的图象经过点 24， （1）求实数m的值；（2）求 ()f的最小正周期；（3）求 ()fx在0 ， 上的单调增区间（2012/4/23）16(本小题满分 14 分) 如图，平行四边形 ABCD中， ，正方形 ADEF所在的平面和平面 ABCD垂直， H是 E的中点， G是 ,EF的交点.（1）求证： /G平面 ；（2）求证： 平面 17（本小题满分 14 分）如图，在
4、半径为 30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ABCD，其中点 A、B 在直径上，点 C、D 在圆周上。（1）怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积18(本小题满分 16 分) 已知圆 C： 03422yx；（1）若圆 C 的切线在 x 轴， y 轴上的截距相等，求此切线方程；（2）从圆 C 外一点 ,(1P向圆引一条切线，切点为 M，O 为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的 P
5、 点的坐标19(本小题满分 16 分)已知数列 na的首项 135， 1,12,nna （1）求证：数列 1na为等比数列； (2) 记 12nnS ，若 0S，求最大正整数 n（3）是否存在互不相等的正整数 ,ms，使 ,s成等差数列且 1,msna成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由20(本小题满分 16 分) 已知二次函数 )(xg对任意实数 x都满足 )()xg，)xg的最小值为 89且 1(g令 89ln21f （ 0,R）（1）求 (的表达式；（2）若 0x使 )(f成立，求实数 m的取值范围；（3）设 em， xfxH)1()，证明：对 1、 ,2，恒有 1|
6、)(|2H江苏省无锡市天一中学 2012 届高三 4 月月考（数学）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1设集合 02,0122 xBxA，则 BA （2,3） 2如果复数 ()mi是实数，则实数 m 1 3若命题“ R，使得 2()1a”为假命题，则实数 a的范围 1,) 4某算法的程序框图如图，若输入 4,26bc，则输出的结果为 6 5把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度 2 倍”的概率为 23 6在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c ，若 tan21AcBb，则角 A 的大小为 7已知| a|=3，| b
7、|=4，( a+ )( +3)=33，则 与的夹角为 120 8已知双曲线 C: 210,xyb的右顶点、右焦点分别为 A、F，它的左准线与 轴的交点为 B，若 A 是线段 BF 的中点，则双曲线 C 的离心率为 1 9已知数列 na的前 项和 Sn=n27n, 且满足 16a k+ak+122, 则正整数 k= 8 10在棱长为 1 的正方体 1CD中，四面体 1DAB的体积为 31 11曲线 3xy的一条切线方程为 2xy，则实数 a= 2 12已知函数 2log(),0().xf若函数 ()gfxm有 3 个零点，则实数m的取值范围是 ,1 13当 20x时， 2|3xa恒成立，则实数
8、a的取值为 132a 14已知 ABC三边 a，b，c 的长都是整数，且 bc ，如果 m)(*N，则符合条件的三角形共有 2)1(m 个（结果用 m 表示）二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15(本小题满分 14 分) 设函数 ()fxab，其中向量 (,cos2)xa，(1sin2,)xb， R，且 ()yfx的图象经过点 24， （1）求实数 m的值；（2）求 ()f的最小正周期；（3）求 ()f在0， 上的单调增区间解：（1） (1sin2cosxabmx， 3 分图象经过点 24， ， 1sincos2f，解得 1 5 分（2）当 m时， ()isin214fxxx， 7
9、 分 T 9 分（3） 2,0x, ,x, 45,2x 11 分由 4,得 8 13 分 ()fx在0， 2上的单调增区间为 ,0. 14 分16(本小题满分 14 分) 如图，平行四边形 ABCD中， ，正方形 ADEF所在的平面和平面 垂直， H是 E的中点，G是 ,的交点.（1）求证： /H平面 C；（2）求证： B平面 证明： 是 ,AEF的交点， G是 AE中点，又 是 BE的中点， 中， G/， -3 分 CD/， H，又 ,CD平 /平面 E -7 分平面 AF平面 B，交线为 A， D， F平 平面 C， -10 分 BDE，又 C， E 平 面 -14 分17（本小题满分 1
10、4 分）如图，在半径为 30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ABCD，其中点 A、B 在直径上，点 C、D 在圆周上。（1）怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积18(本小题满分 16 分) 已知圆 C： 03422yx；（1）若圆 C 的切线在 x 轴， y 轴上的截距相等，求此切线方程；（2）若圆 Q 与圆 C 关于直线 03yx对称，求圆 Q 的方程；（3）从圆 C 外一点 ),(1P
11、向圆引一条切线，切点为 M，O 为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的 P 点的坐标解：（1）切线在 x 轴，y 轴上的截距相等，第一种情况：切线的斜率是1 -1 分分别依据斜率设出切线的斜率，用点到直线的距离公式，或法，解得切线的方程为：xy3=0, xy1=0, -2 分第二种情况：切线经过原点（0,0） -3 分设此时切线斜率为 k，直线为 kx-y=0，用点到直线的距离公式可求得 62，解得切线方程 0)62(yx -5 分综上，此圆截距相等的切线方程为 xy3=0, xy1=0, 0)62(yx. -6 分(2) 将圆的方程化成标准式（x1) 2(y 2) 2=2，圆心
12、C（1，2），半径 r= ，2圆心 C（1，2）关于直线 03yx的对称点 Q（5，4），圆 Q 半径 r= -9 分2所以圆 Q 得方程为（x5) 2(y+4) 2=2 -10 分(3) 切线 PM 与 CM 垂直， |PM| 2=|PC|2|CM| 2，又|PM|=|PO|，坐标代入化简得 2x14y 13=0 -12 分|PM|最小时即 |PO|最小，而|PO| 最小即 P 点到直线 2x14y 13=0 的距离，即 3510-13分从而解方程组219043xy， -15 分得满足条件的点 P 坐标为（ ， ） -16 分310 3519(本小题满分 16 分)已知数列 na的首项 13
13、5， 1,12,nna （1）求证：数列 na为等比数列； (2) 记 12nnS ，若 0S，求最大正整数 n（3）是否存在互不相等的正整数 ,msn，使 ,s成等差数列且 1,msna成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由（3）假设存在，则 22,(1)(1)mnsnsaa， 10 分 3na， 2332n s12 分化简得： 2ms， 13 分 33nns，当且仅当 mn时等号成立15 分又 ,s互不相等，不存在 16 分（） xmxxgf ln2189ln)21() （ 0,R）当 0m时，由对数函数性质， )(f的值域为 ；当 时， 2)(xf，对 0， xf恒成立；当 0时，由 mf得 ， 7 分列表： x),0( ),(m)(f 0 +x减 极小 增这时， mmff ln2)()(in 00,0l)(min exf综合若 ， )(xf恒成立，则实数 m的取值范围为 0,(e故存在 x使 f成立，实数 的取值范围为 ),( 10 分（）证明：因为对 ,1mx， )1() xH，所以 )(xH在 ,内单调递减于是 2ln2)(|)(|21m， 031ln1|)(| 2 mx 13 分记 mh3ln2（ e），则 03)(2)( 2，所以函数 l1在 ,1e上是单调增函数，所以 )(3)( ehm，故命题成立 16 分
