1、数学 必做题部分一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1设集合 ， ，则 = |2Ax024B且AB2设复数 z=a+b (a，bR ) ，且满足 z =1+ （其中 为虚数单位） ，则 a+b i ii3已知两条直线 ： ， ： ，若1ly2l0xmy ，则实数 = 1l2m4如果执行右面的程序框图，那么输出的 S5若函数 图像上第一象限有一点 A 到 轴的2log1yxx距离为 1，与 轴的交点为 B，则 OB6已知实数 满足 则 的取值范围,xy20,1,y 24zxy是 7已知公差不为 0 的等差数列a n满足 a1、a 4、a
2、16 成等比数列， Sn 为数列a n的前 n 项和，则的值为 1476S8已知整数 满足 ，则使函数 的周期不小于 的概率是 32 2sin3yx39设 a、b 为空间的两条直线，、 为空间的两个平面，给出下列命题：若 a，a ，则 ； 若 a，a，则 ；若 a，b，则 ab；若 a，b，则 ab上述命题中，所有真命题的序号是 10已知平行四边形的顶点坐标依次为 , , ， ，若动点 M 与A(10)B(3)C(10D(,3)点 、点 连线的斜率之积为 ，则 BD43M11已知 中，角 所对边分别为 ，若 tan21AcBb则 的最小值为 ACB, cba,2a12已知曲线 存在垂直于 轴的
3、切线，函数 在 上单调3lnyaxy32()1fxax,2递增，则 的范围为 13已知 ，对任意正数 ， 始终可以220, ,xyxybxycmxy,xy,bc是一个三角形的三条边，则实数 m 的取值范围为 14已知正数 满足 ， ，则 的最小值为 ,abc1c10abcabc二、解答题： 本大题共 6 小题， 1517 每小题 14 分，1820 每小题 16 分，共计 90 分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤15 (本小题满分 14 分)如图，O 为坐标原点，点 A， B 在O 上，且点 A 在第一象限，点 ，点 C 为O 与34,5B轴正半轴的交点，设
4、COBx(1) 求 sin2 的值；(2) 若 ，求点 A 的横坐标 xA2AB16 (本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 ABCD平面 ABE，AEB90，BE BC，F 为 CE 的中点，求证：(1) AE平面 BDF；(2) 平面 BDF平面 BCE17 (本小题满分 14 分)某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：原材料费每件 50 元；职工工资支出元；电力与机器保养等费用为 元.其中 是该厂生产这种产品的总件数。750+2x 2306xx第 16 题（1）把每件产品的成本费 (元)表示成产品件数 的函数，并求每件产品的最低成本费；P
5、xx（2）如果该厂生产的这种产品的数量 不超过 170 件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为 （元） ，且 ，试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总Qx21()403xx利润。 （总利润=总销售额-总的成本）18 (本小题满分 16 分)如图，椭圆21yxab(ab0)的上、下两个顶点为 A、B，直线 l： ，点 P 是椭圆上异于2y点 A、B 的任意一点，连接 AP 并延长交直线 l 于点 N，连接 PB 并延长交直线 l 于点 M，设 AP 所在的直线的斜率为 ，BP 所在的直线的斜率为 若椭圆的离心率为 ，且过点 1k2k3(01)A,（1）求 的值；2（2）求 MN
6、的最小值；（3）随着点 P 的变化，以 MN 为直径的圆是否恒过定点，若过定点，求出该定点，如不过定点，请说明理由19 (本小题满分 16 分)已知函数 21,4xxaf(1) 若 时， 恒成立，求 的取值范围；xaf(2) 若 时，函数 在实数集 上有最小值，求实数 的取值范围 xRa20 (本小题满分 16 分)已知数列 ， ，且满足 （ ）.nab1nnab1,23（1）若 ，求数列 的通项公式；10,2（2）若 ，且 .记 ，求证：数列 为常数()nn 12,61()nca nc列；（3）若 ，且 12,b.若数列 中必有某数重复出现无数次，求首1(2)nnb n项 应满足的条件.1a
7、数学 附加题部分注意事项：1本试卷共 2 页，均为解答题（第 21 题第 23 题），请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤 。2本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟，考试结束后，请将答题卡交回。3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效。21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在答题纸指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 41：几何证明选讲如图，圆 O 的直径 AB4， C 为圆周上一点，BC2，过 C 作圆 O 的切线
8、l，过 A 作 l 的垂线AD，AD 分别与直线 l、圆 O 交于点 D、E，求线段 AE 的长B 选修 42：矩阵与变换已经矩阵 M 4005(1)求直线 4x10y1 在 M 作用下的方程；(2)求 M 的特征值与特征向量第 21（A）题C 选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中，点 O(0,0)， B (22，4)（1）求以 为直径的圆 的直角坐标方程；BC（2）若直线 的极坐标方程为 ，判断直线 与圆 的位置关系lcosinlCD 选修 45：不等式选讲已知 x、y、z 均为正数求证： xyz yzx zxy 1x 1y 1z【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计
9、 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）在三棱锥 SABC 中,底面是边长为 2 的正三角形，点 S 在3底面 ABC 上的射影 O 恰是 BC 的中点,侧棱 SA 和底面成 45角(1) 若 D 为侧棱 SA 上一点，当 为何值时，BDAC ；SDDA(2) 求二面角 SAC B 的余弦值大小 23 （本题满分 10 分）已知 ， xp)(nnxf)1(（1）若 ，求 的展开式中 的系数；567)2(3)gpffx)(g5x（2）证明： ,( ) 111 2mnmnmm CCC N,淮安市 20112012 学年度高三年级第三
10、次调研测试数学试题参考答案与评分标准 2012 年月数学 必做题部分一、填空题1 20 32 42550 5 6 7 8 94 0,55104 111 12 13 140,23,32二、解答题15 (1) 因点 C 在 轴正半轴上，点 ， ，x34,5BOC所以由三角函数定义知 cos ，sin ，3 分35 45所以 sin22sincos 6 分2425(2) 因为 ，又 ，2cosOABBOA 24315AOB所以 ，由题意可知BOA45 ，9 分2cos又 ，所以 ，Ccoscscos45C而 cos45cs45sin4521012 分故点 A 的横坐标 2cos10AxOC14 分1
11、6 证明：(1) 设 ACBD G ，连结 FG，易知 G 是 AC 的中点，因为 F 是 EC 中点，所以 在ACE 中，FGAE2 分因为 AE平面 BDF，FG平面 BDF，所以 AE平面 BDF 6 分(2) 因为 平面 ABCD平面 ABE，BCAB，平面 ABCD平面 ABEAB，所以 BC平面 ABE8 分因为 AE平面 ABE，所以 BCAE10 分又 AEBE，BCBEB，所以 AE平面 BCE，又 FGAE，所以 FG平面 BCE，12 分因为 FG平面 BDF，所以平面 BDF平面 BCE14 分17 （1） ， 3 分27503068104xPx x*N由基本不等式得：
12、 5 分8142x当且仅当 ，即 时等号成立，090所以 ， ，每件产品的最低成本费为 220 元。6 分814Pxx*N（2）设总利润 元，则yf321()()240804fxQxxx9 分31,1700N且所以 fx 12x= 11 分)2(0)(1x当 时， ，当 时， ，0x0fx1f所以 在1,100上是增 函数，在100,170上是减函数， 12 分f所以当 时，函数 取得最大值 ，10xfx32057所以生产 100 件产品时，总利润最 高，且最高利润为 元。14 分018 （1）因为 ， ，解得 ，32cea1b2a所以椭圆 的标准方程为 2 分C24xy设 椭圆上点 ，有 ，
13、0,Py201所以 4 分2001211yykxx（2）因为 在直线 l： 上，所以设 ， ，由方程 知，,MN1,2Mx2,Nx214xy，0,1AB所以 ，6 分1212()()30ANkx又由（1）知 ，所以 ，8 分4BMkx不妨设 ，则 ，则 ，1x20x12122143Nx所以当且仅当 时， 取得最小值 101343分（3）设 ， ，1,2x2,x则以 为直径的圆的方程为 12 分MN2120xy即 ，圆过定点 ，必与 无关，22120xyx12x所以有 ，解得定点坐标为 ，0, ,3所以，无论点 P 如何变化，以 MN 为直径的圆恒过定点 16 分019 (1) 因为 时， ，所
14、以令 ，则有 ，xa42xxaf2xt2at当 时恒成立，转化为 ，即 在 上恒成立，2 分1fx 1att41at,令 p (t)t ， ，则 ，所以 p (t)t 在 上单调递增，1t 0,2a20ptt1t 0,a所以 ，所以 ，解得 64a5a 2log5a分(2) 当 时， ，即 ，xa 21fx2214afx当 时，即 ， ；0 minf当 时，即 ， 9 分4a 2a2in14afx当 时， ，令 ， ，则x4xfxt0,at，2244aahtt当 时，即 ， ；1minaht当 时，即 ， ，此时 无最小值；12 分2 2a 4,0ht所以，当 时，即 ，函数 ；1amin4a
15、fx当 时， ，函数 无最小值；0a 40当 时， ，函数 无最小值1542314a fx分综上所述，当 时，函数 有最小值为 ；当 时，函数 无最小12afxa142 fx值所以函数 在实数集 上有最小值时，实数 的取值范围为 16 分fxR,20 （1）当 时，有2n1 分1321()()()naaa 121nb， 也满足上式，0n1所以数列 的通项为 . 3 分2（2）因为 ，1()nnb所以对任意的 有 ， *N654312nnnbbb所以数列 是一个以 6 为周期的循环数列 5 分n又因为 ，所以12,b321432543654,1b所以 65165631nnnnncaaaa4321
16、14265bbb，0()所以数列 为常数列. 7 分nc（3）因为 ，且 ，所以 ，1(2)b 12,b345612,2bb且对任意的 ，有 ， *N516432nn设 ， （其中 为常数且 ） ，所以6(0)nica i 6,5432,1i16636465niniinininininibbb，2345 702b 所以数列 均为以 7 为公差的等差数列.10 分6ina记 ，则 ，nf6(6)6iikiiikaaf k（其中 ， 为 中的一个常数） ，i)0(i,5432,1当 时，对任意的 有 ；12 分76iakn6n76当 时，i1(1)iikaf k1()6(iakiki76()()i i若 ，则对任意的 有 ，数列 为单调减数列；76iakNkf16iak若 ，则对任意的 有 ，数列 为单调增数列； ikf1ik综上，当 时，数列 中必有某数重复出现无数次14 分71,2345,66iana当 时， 符合要求；当 时， 符合要求，此时的 ；1i1i276312143ab当 时， 符合要求，此时的 ；3i3762a22121,abab当 时， 符合要求，此时的 ；4i41143213当 时， 符合要求，此时的 ；5i5736a1543216ab当 时， 符合要求，此时的 ；6i1654321b即当 时，数列 中必有某数重复出现无数次.16 分1741,326ana
