1、,1,4. 几何规划算法,几何规划是一类特殊的非线性规划问题, 是最优化理论和方法研究的一个重要分支。最初是由Zener(1961)从实际工程设计问题中提出并命名的, Duffin, Peterson和Zener针对几何规划问题做了进一步的基础性研究工作。在其最初发展中, 算术几何平均不等式起了非常关键的作用, 对其研究具有广泛的应用价值, 几乎涉及自然科学和社会科学的各个领域, 如工程设计、经济学与统计学、生产管理及化学平衡等。由于实际问题中抽象出来的许多优化模型都是几何规划形式, 因此几何规划已成为研究与解决自然科学和社会科学中, 许多优化模型的一个强有力工具。,2,几何规划作为一类特殊的
2、非线性规划, 包含线性规划、二次规划、多项式规划和分式规划等。许多数学规划研究者曾预料: 在一定条件下, 可以用一串几何规划去逼近任意非线性规划, 假若该设想能实现, 必将开辟非线性规划求解方法的新纪元!,目前, 针对几何规划(特别是广义几何规划)的求解方法还不够完善, 许多方法都存在数值困难, 特别是对于实际问题中抽象出来的非线性程度较高、规模较大的广义几何规划问题, 而对于广义几何规划全局优化算法的设计难度更大, 因此对广义几何规划局部优化和全局优化算法的研究, 既具有重要的理论意义和应用价值, 又是一个极具挑战性的研究课题。,3,(1) 正项式几何规划,正项式几何规划的一般形式为:,其中
3、常系数ckj0(k=0,1,2,m), 显然, 目标函数和约束条件函数都是正项式函数。,正项式函数不一定是凸函数, 如f(x)=x1/2是正项式函数, 但在x0的区域内不是凸的。,4,对正项式几何规划, 其相应的求解算法有:,当极小化一个非凸函数时, 很难找到其全局极小点, 仅能求得其局部极小点。但对于正项式几何规划, 其局部极小点也是其全局极小点, 因为每个正项式几何规划问题都等价于一个凸规划, 也就是等价于在凸区域上极小化一个凸函数, 这是正项式几何规划的一个重要特征。,) 对偶方法,) 基于原规划的压缩法,) 正项式几何规划的等价形式半无限线性规划,5,求解正项式几何规划的新进展,) K
4、ortanek针对正项式几何规划问题提出一种不可行内点算法, 大量的数值实验表明, 该算法是求解正项式几何规划的有效算法。,) 将线性规划的内点算法与求解非线性方程组的同伦算法相结合,用于求解正项式几何规划, 得到了具有多项式时间特性的新算法。,) 可借助对偶及矩阵分析理论为约束正项式几何规划构造内点算法。,) 利用寻找切向量空间的正交基方法, 构造正项式几何规划的序列线性方程组算法。,) 拟Newton算法。,6,(2) 带负系数的几何规划(广义几何规划),广义几何规划常用方法有对偶法和压缩法, 也出现了一些新方法, 如,) 对混合约束广义几何规划问题, 可构造序列二次规划算法。,) 利用约束变尺度法构造出有效算法。,) 利用无约束广义几何规划的特点, 构造出有效的信赖域算法。,(3) 几何规划全局最优解的求解方法,对几何规划全局优化算法的设计, 主要集中在广义几何规划问题上, 且是针对广义几何规划的某种特殊形式研究其全局优化算法。,
