1、,代数系统又称为代数结构(抽象代数,近世代数),它是在一个抽象集合上定义了若干抽象代数运算后所组成的系统.不同的数学结构常常具有相同的代数运算性质,把这些共同的性质抽象出来加以统一研究 就形成了代数系统这门学科.代数系统的理论在逻辑电路设计,形式语言,自动机,数据结构,编码理论等的研究中有广泛的应用.,代数结构,1. 代数系统 :非空集A及其上的运算组成的系统.,2. 运算性质,交换律: 对x, yA,有x y= y x, 结合律: 对x,y,zA, 有(x y) z= x (y z) 等幂律: xA,有 xx=x 消去律: 若x z= y z, z x= z y, 则 x = y 分配律:
2、x,y,zA,有 x(yz)=(xy)(xz) (yz) x=(yx)(zx) 吸收律: 对 x yA, 有x (xy) = x , x(x y) =x 幺元: eA, 对xA,有ex=xe=x. 零元: A, 对xA x=x = 逆元: xA, 有x-1 A.,重点掌握的基本内容,运算是封闭的, 即对x,yA, 有 xyA.,阿贝尔群: 交换律,3.群论,半群: 封闭. 可结合.,独异点: 封闭. 可结合. 有幺元.,循环群 : G=ai | iI ,群,子群: 有限子群 在S上封闭;一般子群 a,bS,有ab-1S,性质:无零元;ax=b有唯一解;e是唯一等幂元;消去律;运算表是置换.,特
3、殊群,拉格朗日定理及推论:子群的阶整除群的阶.,对给定集合S 及运算 ,判定: 封闭, 可结合,有幺元,有逆元.,4. 同态同构,同态 f : a1 , a2A, 有 f (a1a2) = f(a1) f(a2),满同态: bB, aA ,使得 b = f(a) 单一同态: 若a1 a2 则 f(a1) f(a2) 同构: 同态映射是满射和入射的.,性质: 设f是从到的同态映射。(a) 如果是半群, 则 也是半群(b) 如果是独异点, 则 也是.(c) 如果是群, 则 也是群。,设f 是代数系统 的一个映射,格与代数系统的关系 各种格的运算性质(10个). 各种格的结构特征,5、格与布尔代数,
4、格的判定 分配格的判定 有补格的判定 布尔格的判定,判定问题 (通过哈斯图或定义),有限布尔代数唯一性定理的运用,常考知识点,1. 运算的性质,4. 交换群与循环群,2. 群的判定,3. 子群的判定,6. 判定同态同构,5. 拉格朗日定理的应用,7. 各种格的判定,解：正整数集合关于数的加法运算构成半群，但没有单位元；关于数的乘法运算构成半群，有单位元1.,练习题,1、A=n|n和5互质，则A对+封闭吗？2、 B=n|n整除30，则A对+封闭吗？3、对减法封闭的集合对加法也封闭吗？4、整数加法构成群（ ）,5、 , x*y=1/2(x+y), 则每个元素可逆（）6、已知G=为半群, 其中 P(
5、a,b)为a，b的幂集，为集合的并运算。G有幺元吗? G有零元吗? 说明G为什么不是群?7、已知,*定义为a*b=a+2b,确定是否为群。,8. 6阶群不可能有4阶子群.( )9. 若群中每个元素以自身为逆,则是交换群.( )10. 设V=, I为整数集合,为普通加法. 则命题为假的是 是群 是循环群 交换群 不是A,B,C,11.设G=为群,其运算表为_ ,单位元为_, b的逆元为_12.已知G=为半群,其中为集合的并运算,判断G是否为群?13.设G=(a)是6阶循环群,求G的所有子群.14.设f,g是,到的同态,*满足结合和交换律,则H(x)=f(x)*g(x)也是,到的同态.,15.R=x|XR,0x1,证明是格,其运算,是什么?16.对n=4,12,给出格的哈斯图. Tn为n的因子集合.17.求出的所有有补元素的补元.18.在格中,若有abc,则必有:ab=bc,
