1、第四章（2） 数论和有限域,4.1 概念：整数性和除法,整除性： 设a、b、m都是整数，如果a=mb，则说非零整数b整 除a，用b|a表示b整除a，b是a的因子。* 如果b|g，b|h,对于任何整数m和n，则满足 b|(mg+nh).除法： a=qn+r,4.2 Euclid 算法,历史上第一个称得上算法的好像就是这个欧几里德算法，又叫“辗转相除法” 。简单的描述就是，记gcd(a,b)表示整数a,b的最大公因数，那么：gcd(a,b) =maxk,其中k|a,且k|b= gcd(b,a%b) ，最大公因子必须是正数。,4,欧几里得算法,5,6,Example GCD(1970,1066),1
2、970 = 1 x 1066 + 904 gcd(1066, 904) 1066 = 1 x 904 + 162 gcd(904, 162) 904 = 5 x 162 + 94 gcd(162, 94) 162 = 1 x 94 + 68 gcd(94, 68) 94 = 1 x 68 + 26 gcd(68, 26) 68 = 2 x 26 + 16 gcd(26, 16) 26 = 1 x 16 + 10 gcd(16, 10) 16 = 1 x 10 + 6 gcd(10, 6) 10 = 1 x 6 + 4 gcd(6, 4) 6 = 1 x 4 + 2 gcd(4, 2) 4 =
3、2 x 2 + 0 gcd(2, 0) 因此gcd(1970,1066)=2,Euclidean Algorithm to compute GCD(a,b) is: EUCLID(a,b) 1. A = a; B = b 2. if B = 0 return A = gcd(a, b) 3. R = A mod B 4. A = B 5. B = R 6. goto 2,4.3 模运算,给定任意整数a和q，以q除a，余数是r，则可以表示为a=sq+r,0rq，其中s=a/q,表示小于a/q的最大整数。定义r为a mod q的剩余，记为ra mod q. 若整数a和b有(a mod q)=(b
4、mod q)，则称a与b在mod q下同余。eg. 100 = 34 mod 11 eg. -12 mod 7 = -5 mod 7 = 2 mod 7 = 9 mod 7 性质1：若ab（mod n）看作a与b的二元关系，则它是一个等价关系，即满足： 自反性 a a（mod n）； 对等性 如果a mod n=b mod n，则ab（mod n）； 对称性 若ab（mod n），则ba（mod n）； 传递性 若ab（mod n）， bc（mod n），则ac（mod n）。,对于某个固定模m的同余式可以象普通的等式那样相加、相减和相乘，可结合： (1)a(mod m)b(mod m)mod
5、 m=(ab)(mod m) (2)a(mod m)*b(mod m)mod m=a*b(mod m) (3)(a*b)mod m+(a*c)mod m=a*(b+c)mod m 幂运算采用重复乘法实现 例子.通过同余式演算证明： （1）5601是56的倍数 （2）2231是47的倍数。 解：注意53=12513(mod56)于是有561691(mod56)对同余式的两边同时升到10次幂，即有56560-1。,同理, 注意到26=6417(mod47), 于是 223=(26)325=(26 26)26 25289*(17)*(32) mod477*17*32 (mod47) 25*32(mo
6、d47)1(mod47)于是有 47223-1,定理：(消去律)对于abac（mod m）来说，若gcd(a,m)1则bc(mod m),例如1：附加条件不满足的情况 63=182 mod 8 a=6 n=8 67=422 mod 8 但37 mod 8 例如2：附加条件满足的情况 53157 mod 8 a=5 n=8 511=557 mod 8 311 mod 8,原因：模m的乘法运算返回的结果是0到m-1之间的数，如果乘数a和模数m有除1以外的共同因子时将不会产生完整的余数集合。,乘法逆元 若ax=1 mod f 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax1(mod f)。例如：4关于
7、模7的乘法逆元为多少？ 4*X1(mod 7) 这个方程等价于求一个X和K，满足 4X=7K+1 其中X和K都是整数。 (x=2.k=1),例如：a =35, n=3, 求a关于模n 的乘法 反元素 a-1 ？a-1=2,修改的欧几里德算法 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) gcd(18,12)=gcd(12,6)=gcd(6,0)=6 gcd(11,10)=gcd(10,1)=gcd(1,0)=1,修改的欧几里德算法 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) P79,扩展欧几里德定理 对于与不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a,b）表示 a,b 的最大公约数。那么
8、存在整数 x，y 使得 gcd（a,b）=ax+by。 例如：gcd(42,30)=6,下图是42x+30y的部分值,图是42x+30y的部分值，最小正整数是gcd(42,30)=6,通过移项可得：,25,补充了解：抽象代数,代数学发展的4个阶段:1 文字叙述阶段2 简化文字阶段3 符号代数阶段4 结构代数阶段,26,1.1 方法与对象,1 文字叙述阶段 主要特点: 直观推理 古代中国: 筹算法 古代希腊: 几何数论,27,古代中国: 筹算法,算筹计数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,28,古代希腊: 几何数论,1+3+5+(2n-1)=n2.,29,2 简化文字阶段,丢番图（Dio
9、phantus,公元250年） 算术使用简化文字符号 12345678910： 平方： ， （dunamis） 立方：， （kubos） x3+8x-1： * x:; x3+8x: ; 减: ;常数: *,30,3 符号代数阶段,字母表示数 M.Stiefel(1486-1567)1553综合算术 使用+、-、 F.Viete(1540-1603):cubus aequalia a cubus+a plano2in b+b cubus,31,3 符号代数阶段,符号代数的意义 字母表示数：代数学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数学公式、运算法则，并由此进化为现代数学符号系统、现代数学公理
10、系统 项武义：近代代数学的分界不在于“字母表示数”而是“不定元引入”,32,4 结构代数阶段,结构代数：从公理系统出发研究特定的代数系统，群、环、域等 抽象代数是现代数学的基础,4.4 概念：群、环、域,群 环 域高等教育出版社,群(Group)的定义,设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算 “ 。”，若满足：,A1-A4:群 若加法，恒等元（又称单位元）用0表示; 若为乘法，恒等元称为单位元群可以记作G, 。；注意： “ 。”里面是实心,(A5) 交换律：对于G中的任意元素a和b,有A1-A5:可交换群循环群 若由群G的一个生成元素g的幂次构成G群，即G=e，g，g2 ， gn则称G
11、为循环群。元素g称为G的生成元素。 e=g0 n阶循环群中，g生成了群G，或者说g是群G的生成元。记做G=。,环(Ring)的定义环R记为R, +, ;非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘，且满足： (M1) 乘法的封闭性:如果a和b属于R，则ab属于R (M2) 乘法的结合率：对于R中的任意元素a,b,c，有a(bc)=(ab)c (M3) 分配律：对于R中的任意元素a,b,c，有a(b+c)=ab+ac和(a+b)c=ac+bc A1-M3:环 (M4) 乘法交换律:对于R中的任意元素a和b，ab=ba A1-M4:可交换环,域(Field)的定义,4.5 有线域GF(p),元素个数为
12、p（p为有线域的阶）必须是一个素数的幂 ，n是正整数 GF(2n)域 ：又称伽罗华域。,阶为p的有线域,给定一个素数p，元素个数为p的有限域GF(p)定义为整数0,1,p-1的集合 ，其运算为模p的代数运算,GF(7) Multiplication Example,对于一个数：n，n和其加法逆元(或称相反数)之和是加法单位（即零）。 对于n加法逆元表示为-n。 例：7的加法逆元是-7。-0.3的加法逆元是0.3。,4.6 多项式运算 Polynomial Arithmetic,多项式f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+ f1x+f0,其中,i=0,1,n，该多项式称为域Zp上的多项式,多项
13、式次数 degf(x)系数不为零的x的最高次数称为多项式f(x)的次数,首一多项式最高次数的系数为1的多项式,普通多项式,eg let f(x) = x3 + x2 + 2 and g(x) = x2 x + 1 f(x) + g(x) = x3 + 2x2 x + 3 f(x) g(x) = x3 + x + 1 f(x) * g(x) = x5 + 3x2 2x + 2,系数在Zp 多项式,例如模2，则所有系数 0 or 1 GF（2）中加法等价于XOR,乘法等价于逻辑与运算 eg. let f(x) = x3 + x2 and g(x) = x2 + x + 1f(x) + g(x) =
14、 x3 + x + 1f(x) x g(x) = x5 + x2,求最大公因式,1、求多项式的最大公因式：（1）c(x)能同时整除a(x)和b(x)（2）a(x)和b(x)的任何因式都是c(x)的因式即：gcda(x)，b(x)能同时整除a(x)和b(x)的多项式中次数最高的一个。 2、gcda(x),b(x)=gcdb(x),a(x) mod b(x) 3、算法假设a(x)的次数大于b(x)的次数。,can write any polynomial in the form: f(x) = q(x) g(x) + r(x) can interpret r(x) as being a remai
15、nder r(x) = f(x) mod g(x) if have no remainder say g(x) divides f(x) if g(x) has no divisors other than itself & 1 say it is irreducible (or prime) polynomial,计算：r2(x)=0,q2(x)=x+1,gcda(x),b(x)=r1(x)=x*3+x*2+1,EUCLIDa(x), b(x)1. A(x) = a(x); B(x) = b(x)2. if B(x) = 0 return A(x) = gcda(x), b(x)3. R(x
16、) = A(x) mod B(x)4. A(x)B(x)5. B(x) R(x)6. goto 2,4.7 有线域GF( )的多项式模运算,f(x)=an-1xn-1+ an-2xn-2+ a1x+a0,ai 在集合0,1,.p-1共有pn 不同的多项式如p=3 n=2时，共3*2=9 多项式0 x 2x1 x+1 2x+12 x+2 2x+2 如p=2 n=3时，共2*3=8 多项式0 x+1 x*2 +x1 x*2 x*2+x+1x x*2+1,GF(23) 中 (x2+1) is 1012 & (x2+x+1) is 1112 加法 (x2+1) + (x2+x+1) = x 101 X
17、OR 111 = 0102 乘法 (x+1).(x2+1) = x.(x2+1) + 1.(x2+1) = x3+x+x2+1 = x3+x2+x+1 011.101 = (101)1 XOR (101)0 = 1010 XOR 101 = 11112 除法 (get q(x) & r(x) is(x3+x2+x+1 ) mod (x3+x+1) = 1.(x3+x+1) + (x2) = x21111 mod 1011 = 1111 XOR 1011 = 01002如果乘法运算的结果是次数大于n-1的多项式，那么必须将其除以某个次数为n的既约多项式m(x)并取余式。既约多项式即只有1和其本身
18、两个约数，又称不可约多项式,Example GF(23),生成元与乘法逆元,生成元 可证明：在GF(p)中至少存在一个元素g，使得GF(p)中任意非零元素可以表示成g的某次方幂的形式，g称为GF(p)的生成元 逆元,生成元的例子,有限域GF（23），5是GF（23）的生成元,AES（高级加密标准）使用有线域GF(28)的运算，既约多项式m(x)=假定为m(x)= 0的根 即是这个不可约多项式m(x)定义的有线域的生成元下图说明GF(28)中的任意一个元素都可以表示成的幂,类似继续推导 可以表示出00000000-11111111,思考： 计算3*7，和129*5 在该域内的数值？,乘法逆元,思考,把下图中所有的变量都看成函数， r(x),a(x),b(x)，q(x),x(x),y(x).etc. 计算(x7+x+1)mod(x8+x4+x3+x+1)的乘法逆元，结果是x7,作业,11-26收 4.6 4.15(a) 4.19(a)4.25(b)4.264.27,作业题是,
