1、2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,教案要点,预备知识：极差，复习位势，闭回路 本节重点：运输问题表上作业法：Vogel法求初始基可行解； 表上作业法的步骤：平衡产销；找出初始基可行解；判别基可行解是否最优；非最优的基可行解的迭代. 注意：细心，步骤， Vogel法通常能减少迭代次数；讨论。 带数学模型，线性规划理论及其应用两书。准备课堂练习，及时掌握表上作业法。,运筹学第六讲 2007.10.18,线性规划中的 运输问题及其解法,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,线性规划单纯形,原问题是什么：_ 基是什么？基变量几个：_ 非基变量几个：_ 系数矩阵秩是：_,2019/4/17,
2、运筹学第六讲运输问题,第七章运输问题,特殊LP问题:运输问题; 模型、表上作业法 位势法判优; 用Vogel法求初始解; 讨论,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,运输问题,某种产品从若干个产地(产量已知)运往若干个销地(销量已知)，已知各地间运输单价，求总运费最小的运输方案。 此问题是我国科学家(王元,越民义等)在1959年前率先研究讨论的，并获得了：表上作业法和图上作业法等重要结果。,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,运输问题,产地数m=2, 销地数n=3, 产销平衡，决策变量个数m*n,等式约束数m+n，不等式约束数0,目标函数是总运价,要求最小。,2019/4/17,运筹
3、学第六讲运输问题,运输问题,目标函数：,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,运输问题,它是典型的LP问题，但若用单纯形法，等式约束数m+n(但当产销平衡的时候其中有一个是多余的，),不等式约束数0初始基可行解就显得很难求，决策变量个数也较大，我国科学家在上世纪五十年代提出了解运输问题的图上作业法和表上作业法。,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,运输问题,产地数m=2,销地数n=2,产销平衡, 决策变量个数m*n,等式约束数m+n, 不等式约束数0,目标函数是总运价,要求最小。,Min z=x11+2x12+7x21+100x22,x11+x12 =50,x21+x22=70,s.
4、t. x11 +x21 =40,x12 +x22=80,x11,x12,x21,x220,要特别提请注意的是：四个等式约束不独立！ (1)+(2)就是(3)+(4)，或 (1)+(2)-(3)=(4)，不能直接就这样用单纯形法。,A1,A2,B1,B2,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,运输问题,A1B1最近，优先考虑， 最多可运： min40,50=40,于是x11=40,其运价:z=x11+2x12+7x21+100x22=7060,同理应优先考虑x12，而且它可以取min10,80=10,最后x22=70,而x21=0 。我们得到一个运输方案。,请注意要一个运输方案并不难，如可按
5、比例分：,至此B1满足了，可以划去第一列； A1的产量可以认为只有50-40=10；,10,40,80,10,70,0,一个运输方案是一个可行解,并非必是基可行解：,系数矩阵应看成3行，基变量3个，非基变量4-3=1个，非基变量要取0，所以此运输问题的非零变量至多3个。,问题:一个运输方案是否是最优的？,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,运输问题,求初始运输方案常用的方法有三种：西北角法、最小元素法和沃格尔(Vogel)法；,我们得到的运输方案应该是一个基可行解，即非零的变量至多m+n-1个。,请注意要一个运输方案并不难，如可按比例分：,70,0,1、西北角法：优先考虑下标ij小的xi
6、j,也就是表上的左上角西北角的格中填入尽量大的值，然后把已满足的行或列划去，产销量相应加以调整，直到一个完整的运输方案诞生。,40,10,问题: 如何找第一个运输方案? 一个运输方案是否是最优的? 非最优的方案如何改进?,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,表上作业法,运输问题的表上作业法： 平衡产销； 找出初始基可行解(西北角法、最小元素法、Vogel法)； 基可行解是否最优的判别(闭回路法、位势法*)； 非最优的基可行解的改进(闭回路调整法).,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,平衡产销,运输问题中产销不平衡时： 产销：增加一个相应运价为 0 的： 。,产销：增加一个相应运价
7、为 0 的： 。,新销地(仓库),总可以调整为产销平衡。,虚拟产地,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,求初始基可行解,运输问题的独立的等式约束数=系数矩阵的秩=基变量个数=m+n-1，非基变量个数=m*n-m-n+1。 找出初始基可行解(m+n-1格)： 西北角(左上角)法； 最小元素(成本)法; 伏格尔(Vogel)法*等. 找初始基可行解的西北角法：尽量填西北角的空格。,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,西北角法,最后得的初始基可行解。,3,4,4,2,2,2,2,3,3,6,6,总运费135.,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,找初始基可行解的西北角法,尽量用下标
8、小的（左上角西北角优先安排）： x11=min(s1,d1)=d1=3,B1已满足,划去第一列,s1s1-x11； x12=min(s1-x11,d2)=4,A1已满足,划去第一行； 划去m+n-1行(列)大功告成。,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,最小元素法,最后得的初始基可行解。,3,1,1,4,4,3,6,3,3,3,3,总运费86.,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,找初始基可行解的最小元素法,尽量先用运价小的（就近优先安排，可能“因小失大”）： c21=min(cij)=1, x21=min(s2,d1)=3划去第一列（B1已满足）s2s2-x21； c23=min
9、,x23=min(s2-x21,d3)=1划去第二行（A2已满足）d3d3-x23； 划去m+n-1行(列)大功告成。,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,第七章运输问题,产地数m,销地数n,产销平衡,决策变量个数m*n,等式约束数m+n,不等式约束数0,总运价是目标函数,要求最小。 独立等式约束数是:_ 基变量个数是:_ 非基变量个数是:_ 基解是否一定可行?_ 可行解是否是基解?_ 最优解的所有检验数要:_,m+n-1,m+n-1,m*n-m-n+1,不一定,不一定,全部非负,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,找出初始基可行解,xij=si*dj/si是可行解吗? 非基变量个
10、数=m*n-m-n+1。 初始基可行解(m+n-1格)： 西北角法； 最小元素法; 伏格尔(Vogel)法*等.,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,西北角法,最后得的初始基可行解。,3,6,6,2,2,3,3,1,1,6,6,总运价:110,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,最小元素法,“一丝不苟、分秒不差、严上加严”。,3,2,4,3,2,4,3,5,4,5,5,总运价:100,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,找初始基可行解,西北角法； 总运价:110,最小元素法; 总运价：100,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,Vogel法求初始解,求每行(列)次小和最
11、小运价的差：,7-2,5,1,2,1,1,2,3,差中最大的先安排：第一行的x11,x11,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,Vogel法求初始解,优先安排极差大的行或列中最小运价,3,6,5,1,4,5,2,2,5,2,1,8,1,5,3,3,1,5,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,Vogel法,Vogel法的初始运输方案总运价：,3,4,5,3,1,5,110 100 88,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,基可行解是否最优的判别,基可行解是否最优的判别(闭回路法、位势法*)； 闭回路法求检验数,因为非最优的基可行解改进时用闭回路调整,所以优先介绍“闭回路法” 位
12、势法求检验数*.,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,闭回路法,对每个非基变量(如x21)求它的闭回路;,求它的检验数：7-100+2-1=-920。,检验数无负是最优解，否则要调整。,30,40,50,x21检验数为负要进基，闭回路上各偶数顶点运量最小是,40,x11出基,调整。,运费7060, 3380,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,闭回路法,对每个非基变量(如x11)求它的闭回路;,1,2,1,求它的检验数：3-1+2-3=10。,检验数无负是最优解，否则可调整。,-1,10,12,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,闭回路法调优,非基变量如x24检验数负,不是最
13、优解;,利用它的闭回路调整:min(1,3)=1;,调整:奇加偶减，新方案再检验。,1,0,5,2,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,位势法判优,方案要检验时,逐个非基变量求检验数太繁，可用位势法求检验数；,检验数全部非负,找到最优解(不唯一)。,0,3,10,-2,3,-5,9,0,2,2,1,9,12,任填一,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,位势法判优,Vogel的方案检验,逐个非基变量用闭回路法求检验数太繁，用位势法求检验数；,检验数有负,不是最优解。,0,7,7,-5,2,-5,9,3,3,4,2,-1,11,找闭回路。,x22进基,x12出基,5,0,6,2019/
14、4/17,运筹学第六讲运输问题,位势法判优,x22进基,x12出基后新方案再用位势法求检验数来判优；,检验数无负数,是最优解,总运费83。,0,6,7,-5,2,-4,8,1,4,4,3,10,2,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,表上作业法 求解的讨论,最优解非基变量的检验数有等于0时，会有无穷多最优解，至少两个基最优解。 产销不平衡时不能直接用表上作业法； 基变量取0的处理:要填数划行(或列)，否则不能判优,位势不能确定,会使有的非基变量(空格)的闭回路找不出来。 解的整数性：产销量都是非负整数时，初始基可行解和调整后的基可行解直到最优基解也是整数解因为只做过加减运算。,2019/
15、4/17,运筹学第六讲运输问题,一个耐人寻味的例子,求解运输问题1：,0.1,0.9,1.1,0.9,0.9,0.1 0.91.1,0,1,3,-2,5,也可以用闭回路法求x21的检验数：,检验数0,初始解最优：运费3.9,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,一个耐人寻味的例子,求解运输问题2：,1,0,2,0,0,1 02,0,1,3,-2,5,检验数0,初始解最优：运费3,总运量多了运费反而少了。,这个0一定要填，x12是基变量,否则,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,一个耐人寻味的例子,求解下面两个运输问题：,左面问题：最优总运费3.9,右面问题：运量多了，但最优总运费3,反而减少了。,0.1 0.91.1,1 02,这种节省的途径很难被人发现。,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,课堂练习,求解运输问题：,这几个运输问题的运价完全相同;,这几个运输问题的产销都平衡。,2.,3,这几个运输问题最优解的总运费应该哪个大？,右边的运量大,费用多,?,=1,9,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,作业,P.152第七章习题1(1) 思考题：1、如何用Excel解运输问题？ 2、建议开始关注周围有没有运筹学的应用之地？,2019/4/17,运筹学第六讲运输问题,补充作业*,求下列产销不平衡的运输问题。,
