1、排列组合问题中的化归思想排列组合问题中的化归思想摘要： 文章简要归纳了几类较典型的排列组合问题，并通过一些例题示范解决问题的方法并谈谈化归思想的应用。 关键词：排列组合；盒子选球；选鞋子；扑克牌；化归思想排列组合是高中数学的重点内容有着非常广泛的应用，是学习概率的基础，其解题方法抽象性强，不易掌握， 解题易犯“重复”或“ 遗漏”的错误 ，且计算结果不大好检验问题又多以实际问题为背景，多、杂，审题理解题意学生（特别是文科学生）感到很困难。因此下面将对几种典型的排列、 组合问题进行策略分析大家共同寻找解决排列、 组合问题的实战方法一、盒子选球问题（一）不同的盒子装不同的球：先选盒子再选球，个数相同
2、的盒子一起选，个数不相同的单独选例 1 5 个不同的小球，分到 4 个不同的小盒中，每盒至少一个， 有几种不同的分法? 分析 错解一：5 个小球分到 4 个盒中一个盒子一个球有 种，余下一个再任意放到一个45A盒子里有 种，故答案有 =48014A51A错解二：一个盒子装两球有 ，余下三个盒子各装一球，有4C25 13C21，故答案有 =1440（_表示选盒子，以下过程中就不再说明1C14253121了）上述两种方法都有重复的错误，一般的学生检查不出来正确解法：5 个不同的小球， 分到 4 个不同的小盒中， 每盒至少一个装法如下先选装 2 个球的盒子有 种（因为这个盒子与其它14C盒子内的球个
3、数不同所以要单独选） ，再选 2 球装进去有 种25再选余下装一球的盒子有 种（因为这个盒子与其它盒子内的球个数相同所以要一起选）3C，再分别选一球有 （注意因为盒子没有讲顺序所以球都要一个一个的选这样可避132免重复遗漏）故答案是 =2401425312练习：四个不同的小球放入编号为 1 ，2，3，4 的四个盒子中，则恰有一个空盒子的放法共有多少种? 分析：装法如 下先选装 2 个球的盒子有 种，再选 2 球装进去有 种14C24C2 1 1 12 1 1 0再选余下装一球的盒子有 种，再分别选一球有23C12C故答案是 =14414231化归 : 例 2、 6 名同学分到 3 个班， 每班
4、至少 1 人,有多少种不同的分法 ? 解析: 本题中 6 名同学和 3 个班都是不同的元素，可看作 6 个不同的小球装入 3 个不同的盒子，每个盒子至少装一个小球： 解：分三类 ： 第一类 ： 有 =90 种13C4621第二类 ： 有 =360 种136231第三类 ： 有 =90 种3C264所以 6 名同学分到 3 个班，每班至少 1 人，共有种不同的分法N=90+360+90=540例 3、 若集合 ,从集合 A 到集合 B 可以建立多少个3254321,bBaA每一个象都有原象的不同的映射?分析:在这个问题中，由映射的概念可知从集合 A 到集合 B 的映射是指对于 A 中的每一个元素
5、，都有 B 中唯一的确定的元素和它对应.因此,从集合 A 到集合 B 的映射可以理解为把集合 A 中的 5 个不同的球任意装入集合 B 中的 3 个不同盒子中，),4321(ia ),21(ib每一个盒子中至少有一个球，分二类：第一类 ： 有 =60 种13C521第二类 ： 有 =90 种2351根据分类计数原理，共有 N=60+90=150（二）不同的盒子装相同的球：采用隔板法 例 4、 9 个相同的小球放到 6 个不同盒子里，每个盒子至少一个球，有多少种不同的放法? 解析 法 1：先在盒子里各放一个球，再把剩下的 3 个球放到 6 个盒子里，分三类： 3 个球放到 1 个盒子里，有 种放
6、法；16C 3 个球放到 2 个盒子里，球数分别为 2+1，共 种放法； 26A 3 个球放到 3 个盒子里，每个盒子各 1 个球，共 种放法 3C4 1 13 2 12 2 23 1 12 2 1根据分类计数原理，共有 + + =5 6 种放法。 16C2A3法 2 ：把 6 个盒子看作由平行的 7 个隔板组成的每一个满足要求的放法都相当于 9 个小球和 7 个隔板的一个排列，其中两个隔板在两头，任何两个隔板之间至少有一个球( 即任何两个隔板不相邻)，把两头的两个隔板拿掉，每一个满足要求的放法还相当于在排成一列的 9 个小球间的 8 个空档中插入 5 个隔板，不同的放球方法即插隔板的方法，共
7、有 =5 58C6 种 反思与总结：上述解法 1 容易理解，但分类较繁，此法不便于推广， 上述解法 2 就叫隔板法， 它应用了对应的方法， 转化为插空问 题， 计算比较简单，但不易理解，等理解透彻后，就会发现隔板法是非常好用的，具有普适性的方法应用此法的前提是小球完全相同 法 3：先将 6 个盒子每个盒子装一个小球，余下 3 个球任意的装在 6 个不同的盒子里，可理解为 6 个盒子分为 6 份需要用 5 块隔板分开允许盒子里不装球： 8个位子 3 个放球 5 个放隔板有 =5 6 种放法C化归 ：例 5、 从 5 个班中选 1 0 个人组成校篮球队，每班至少 1 人，有多少种选法? 解析：这里
8、只是人数而已，与顺序无关，故可把 1 0 个人看成 l 0 个相同的小球放人 5 个不同的盒内，每盒至少 1 球，法 1：可先把 l 0 个小球排成一列，再在其中的 9 个间隙中选 4 个位置插入 4 块档板，分成 5 格有 =126 种选法 49C法 2：先将 5 个盒子每个盒子装一个小球，余下 5 个球任意的装在 5 个不同的盒子里 9 个位子 5 个放球 4 个放隔板有 =126 种放法49C例 6、 9 个相同的小球分到编号为 1、2、3 的三个盒子里，每个盒子分的球数不少于其编号数，有多少种不同的分法? 方程 的非负整数解的个数是多少? 54321xx解析： 此题分类求解，则比较麻烦
9、题目不满足隔板法的使用条件，先转化一下法 1 先在 2 号盒放一个球，3 号盒放 2 个球；问题就转化为 6 个球放入 3 个不同盒子，每个盒子至少一球用隔板法，可求得分法种数为 = 1 0 25C法 2：先在 1 号盒放一个球，2 号盒放 2 个球，3 号盒放 3 个球；问题就转化为 3 个球任意放入 3 个不同盒子用隔板法，可求得分法种数为 = 1 05把 分别看作 5 个盒子，每一组解相当于把 4 个 1 看作 4 个相同小球任意54321,xx分到 5 个盒子里，每个盒子放的球数不限(可以是零个) ，用隔板法，=7 0 48C练习： 展开后项的个数是多少? 5)(dcba简解：问题相当
10、于求 方程的非负整数解的个数， 54321xx设 A= ,B= ，满足条件54321,a6,的映射厂的个数是多少? )()()( 54affffaf 简解：按映射中象集元素个数分为 5 类： ( 1 ) 象集恰有 5 个元素时，有个 映射， 6C( 2 ) 象集恰有 4 个元素时(即恰有 1 个等号成立)，从 B 中取 4 个元素， 有 种方法，46C再将集合 A 中的 5 个元素按下标由小到大的顺序分为 4 组，即 的中间的 45321,a个空档插入 3 个隔板，有 种分组方法(这 4 组分别记为第 1,2,3,4 组) ，从 B 中取出的 34C4 个元素按由小到大的顺序分别与第 1,2,
11、3,4 组相对应 所以共有 个映射； 46C3( 3 )象集恰有 3 个元素时(即恰有两个等号成立)同理有 个映射； 3624( 4 )象集恰有 2 个元素时(即恰有 3 个等号成立)同理有 个映射； 1( 5 ) 象集恰有 1 个元素时，同理有 个映射； 16C由分类计数原理，映射的个数为 + + + + =25254324614C6（三）相同的盒子装不同的球：平均分堆，消序例 7、 把 5 个不同的球任意放人 3 个相同的盒子中，每个盒子至少有 1 个球的不同放法有多少种？ 分析：把 5 个不同的球任意放人 3 个相同的盒子中，分二类：第一类：小球个数分别为：3+1+1 有 种（因为余下的
12、两个盒子各装一个球个数一5C21A样所以要消序 ）2A第二类：小球个数分别为：2+2+1 有 种（因为开始的两个盒子各装二个球个数一2351样所以要消序 ）2由分类计数原理，N= + =2535C21A2351C（四）相同的盒子装相同的球：列举法辨析： 排列组合中盒子选球问题，看起来差不多，仅仅是一个字或几个字之差，但实际意义的表达却有天渊之别，如果不认真分析，很容易张冠李戴。如果我们能就以下几类问题加以正确的比较区分，必能理清思路深化概念，达到事半功倍的效果。例 8、 ( 1 ) 把 7 个相同的球任意放人 4 个相同的盒子中，每个盒子至少有 1 个球的不同放法有多少种?( 2 )把 7 个
13、相同的球任意放人 4 个不同的盒子,每个盒子至少有 1 个球的不同放法有多少种? ( 3 ) 把 7 个不同的球任意放人 4 个相同的盒子每个盒子至少有 1 个球的不同放法有多少种? ( 4) 把 7 个不同的球任意放人 4 个不同的盒子每个盒子至少有 1 个球的不同放法有多少种? 小结：正确把握要求的异同把 n 个球放人 m 个盒子，这是排列组合中一个常见的模型。在放球模型和可以转化为放球模型的排列组合问题中，若不能正确把握题目中的元素位置，往往会得到似是而非的答案。只有明确题目中的球和盒子，才能找到解题的切人点 引申：二、选鞋子：先选双再选只，只数相同的双一起选，只数不同的双单独选例 9、
14、 从 6 副不同颜色的鞋子中任取 4 只，其中恰有一双同色的取法有多少种？解析：先从 6 双鞋子中取 1 双有 种，取其两只有 ;16C2C再从剩下的 5 双中任取 2 双有 种（因为只数一样所以要一起选） ，其两双各拆取一只有25种取法;12C再由分步计数原理可得 共有=240 种取法16C2512化归： 在排列组合的问题中，有关鞋子、手套 、袜子、夫妻等计算问题采用先组后拆法较为简捷，学生易于接受，结合题意再进行拆分处理，有双有单，一目了然 练习： 从 8 副不同颜色的手套中任取 5 只， （1）其中恰有一副同色的取法有多少种？（2）其中恰有二副同色的取法有多少种？ 解析：（1）2+1+1
15、+1 有 =2240 种取法18C23712（2）2+2+1 有 =336 种取法26三、选扑克牌：先选点后选花，花数相同的点一起选，花数不同的点单独选例 10、 一副扑克牌除去大小王（52 张牌）：（1）任意摸 5 张摸到一对有多少种？（2）任意摸 5 张摸到两对有多少种？解析：一副扑克牌除去大小王（52 张牌）有 13 种点，每种点都有 4 种花（1）任意摸 5 张摸到一对，先取两张牌点相同花任意有 种，余下三张点不同花任13C2意有 种（因为先取的点两张和后面的点各一张张数不同所以 单独选；后32C14 13面的三个点各一张张数相同所以要一起选）再由分步计数原理可得种取法13C2414（
16、2）任意摸 5 张摸到两对，先取两对点不同花任意有 种，余下一张取余下的点213C4花任意有 ，再由分步计数原理可得 种14 2134练习：例 11、 一副扑克牌除去大小王（52 张牌）：（1）任意摸 5 张摸到 Full House（三张相同牌加对子）有多少种？（2）任意摸 5 张摸到炸弹（4 张相同的牌）有多少种？（3）任意摸 5 张摸到顺子有多少种？（4）任意摸 5 张摸到同花顺子有多少种？解析：（1）3+2 有 种取法 （2）4+1 有 种取法13C4 13C421（3） （4）略结束语： 排列组合的模型和策略很多这里是我在教学过程中收集整理的几种比较容易犯错、出现比率比较高的模型，希望同学们在后面的学习中多积累一些典型的模型再加以归纳，从而达到对于比较复杂的问题可以利用化归手段其简化；对于较为复杂的模型可以用一些简单的模将其分解；最后达到化整为零的目的。
