1、微积分百科名片高等微积分微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。目录微积分的基本介绍 定义 微积分的本质 微积分的基本方法 微积分学的建立 微积分的基本内容 一元微分 多元微分 微积分的基本介绍 定义微积分的本质 微积分的基本方法 微积分学的建立 微积分的基本内容 一元微分 多元微分 微积分的诞生及
2、其重要意义 第二次数学危机及微积分逻辑上的严格化 18 世纪的分析学 微积分的现代发展 微积分图书 展开编 辑 本 段 微 积 分 的 基 本 介 绍微 积 分 学 基 本 定 理 指 出 ， 求 不 定 积 分 与 求 导 函 数 互 为 逆 运 算 把 上 下 限代 入 不 定 积 分 即 得 到 积 分 值 ， 而 微 分 则 是 导 数 值 与 自 变 量 增 量 的 乘 积 ， 这也 是 两 种 理 论 被 统 一 成 微 积 分 学 的 原 因 。 我 们 可 以 以 两 者 中 任 意 一 者 为 起 点来 讨 论 微 积 分 学 ， 但 是 在 教 学 中 ， 微 分 学 一
3、般 会 先 被 引 入 。 微 分 学 和 积 分 学微 积 分 学 是 微 分 学 和 积 分 学 的 总 称 。 它 是 一 种 数 学 思 想 ， 无 限 细分 就 是 微 分 ， 无 限 求 和 就 是 积 分 。 十 七 世 纪 后 半 叶 ， 牛 顿 和 莱 布 尼 茨完 成 了 许 多 数 学 家 都 参 加 过 准 备 的 工 作 ， 分 别 独 立 地 建 立 了 微 积 分 学 。 他 们建 立 微 积 分 的 出 发 点 是 直 观 的 无 穷 小 量 ， 但 是 理 论 基 础 是 不 牢 固 的 。 因 为“无 限 ”的 概 念 是 无 法 用 已 经 拥 有 的 代
4、 数 公 式 进 行 演 算 ， 所 以 ， 直 到 十 九 世纪 ， 柯 西 和 维 尔 斯 特 拉 斯 建 立 了 极 限 理 论 ， 康 托 尔 等 建 立 了 严 格 的 实 数 理论 ， 这 门 学 科 才 得 以 严 密 化 。 极 限学 习 微 积 分 学 ， 首 要 的 一 步 就 是 要 理 解 到 ， “极 限 ”引 入 的 必 要 性 ：因 为 ， 代 数 是 人 们 已 经 熟 悉 的 概 念 ， 但 是 ， 代 数 无 法 处 理 “无 限 ”的 概 念 。所 以 ， 必 须 要 利 用 代 数 处 理 代 表 无 限 的 量 ， 这 时 就 精 心 构 造 了 “极
5、 限 ”的概 念 。 在 “极 限 ”的 定 义 中 ， 我 们 可 以 知 道 ， 这 个 概 念 绕 过 了 用 一 个 数 除 以0 的 麻 烦 ， 相 反 引 入 了 一 个 过 程 任 意 小 量 。 就 是 说 ， 除 的 数 不 是 零 ， 所 以 有意 义 ， 同 时 ， 这 个 小 量 可 以 取 任 意 小 ， 只 要 满 足 在 区 间 ， 都 小 于 该 任 意小 量 ， 我 们 就 说 他 的 极 限 为 该 数 你 可 以 认 为 这 是 投 机 取 巧 ， 但 是 ， 他的 实 用 性 证 明 ， 这 样 的 定 义 还 算 比 较 完 善 ， 给 出 了 正 确
6、 推 论 的 可 能 性 。 这 个概 念 是 成 功 的 。 与 实 际 应 用 联 系微 积 分 是 与 实 际 应 用 联 系 着 发 展 起 来 的 ， 它 在 天 文 学 、 力 学 、 化 学 、生 物 学 、 工 程 学 、 经 济 学 等 自 然 科 学 、 社 会 科 学 及 应 用 科 学 等 多 个 分 支 中 ，有 越 来 越 广 泛 的 应 用 。 特 别 是 计 算 机 的 发 明 更 有 助 于 这 些 应 用 的 不 断 发 展 。 客 观 世 界 的 一 切 事 物 ， 小 至 粒 子 ， 大 至 宇 宙 ， 始 终 都 在 运 动 和 变 化 着 。因 此
7、在 数 学 中 引 入 了 变 量 的 概 念 后 ， 就 有 可 能 把 运 动 现 象 用 数 学 来 加 以 描 述了 。 由 于 函 数 概 念 的 产 生 和 运 用 的 加 深 ， 也 由 于 科 学 技 术 发 展 的 需 要 ， 一 门新 的 数 学 分 支 就 继 解 析 几 何 之 后 产 生 了 ， 这 就 是 微 积 分 学 。 微 积 分 学 这 门 学科 在 数 学 发 展 中 的 地 位 是 十 分 重 要 的 ， 可 以 说 它 是 继 欧 氏 几 何 后 ， 全 部 数 学中 的 最 大 的 一 个 创 造 。 编 辑 本 段 定 义设 函 数 f(x)在 a
8、,b上 有 界 ， 在 a， b中 任 意 插 入 若 干 个 分 点 a=x0x1.xn-1xn=b 把 区 间 a， b分 成 n 个 小 区 间 x0， x1， .xn-1， xn。 在 每 个 小 区 间 xi-1， xi上 任 取 一 点 i(xi-1 i xi)， 作 函 数 值f( i)与 小 区 间 长 度 的 乘 积 f( i) xi， 并 作 出 和 公式如 果 不 论 对 a,b怎 样 分 法 ， 也 不 论 在 小 区 间 上 的 点 i 怎 样 取 法 ， 只 要当 区 间 的 长 度 趋 于 零 时 ， 和 S 总 趋 于 确 定 的 极 限 I， 这 时 我 们
9、称 这 个 极 限 I 为 函 数 f(x)在 区 间 a,b上 的 定 积 分 ， 记 作 公式。 即 ： 公式。 牛 顿 -莱 布 尼 兹 公 式 图 解编 辑 本 段 微 积 分 的 本 质【 参 考 文 献 】 刘 里 鹏 . 从 割 圆 术 走 向 无 穷 小 揭 秘 微 积 分 ， 长沙 ： 湖 南 科 学 技 术 出 版 社 ， 2009 用 文 字 表 述 从 割 圆 术 走 向 无 穷 小 揭 秘 微 积 分 封 面增 量 无 限 趋 近 于 零 ， 割 线 无 限 趋 近 于 切 线 ， 曲 线 无 限 趋 近 于 直 线 ， 从 而 以 直代 曲 ， 以 线 性 化 的
10、方 法 解 决 非 线 性 问 题 ， 这 就 是 微 积 分 理 论 的 精 髓 所 在 。 用 式 子 表 示用 式 子 表 示 微 积 分 的 本 质其 实 不 然 ， 这 些 只 是 表 面 现 象 ， 微 积 分 没 有 这 么 罗 嗦 。 只 是 有 一 个 辩 证 法 倒是 真 的 ， 我 本 不 想 出 手 ！ 算 了 ！ 各 位 再 等 一 些 时 间 ， 中 国 科 学 院 收 到 我 的 文章 微 积 分 初 等 化 的 沉 思 ！ 后 再 出 手 。 我 相 信 就 是 小 学 生 看 了 此 文 ， 对 微积 分 真 正 的 精 要 也 能 了 解 一 些 。 我 姑
11、 且 不 谈 微 积 分 ， 就 是 函 数 只 怕 许 多 人 都 不 知 道 其 奥 妙 。 好 ！ 为 了 不扫 大 家 的 兴 ， 并 且 我 既 然 来 了 ， 总 得 留 点 东 西 才 是 ， 读 者 能 理 解 多 少 的 就 理解 多 少 ， 不 要 勉 强 ！ 今 天 你 们 看 到 的 一 切 内 容 都 是 绝 密 的 ， 或 者 说 还 在 数 学实 验 室 里 的 东 西 ， 只 有 中 科 院 才 可 能 看 到 的 东 西 。 只 不 过 我 愿 意 开 放 一 些 出来 ！ 微 积 分 大 意 自 然 界 与 意 识 数 学 可 以 作 为 自 然 科 学 的
12、 理 想 工 具 ， 在 于 这 种 工 具 可 以 较 方 便 定 量 的 处理 自 然 界 的 问 题 。 其 中 一 些 自 然 界 的 问 题 ， 常 量 数 学 是 处 理 不 了 的 ， 非 用 微积 分 不 可 。 可 是 为 什 么 常 量 数 学 不 行 ， 微 积 分 就 可 以 呢 ？ 多 数 人 是 回 答 不 了的 ， 就 连 数 学 家 也 不 能 很 好 的 回 答 ！ 许 多 学 习 微 积 分 的 初 学 者 ， 不 能 理 解 微积 分 的 方 法 。 这 是 有 原 因 的 ， 因 为 他 们 的 哲 学 基 础 薄 弱 ， 即 使 学 过 却 也 不 理
13、解 。 微 积 分 不 在 于 领 悟 极 限 的 定 义 ， 微 积 分 的 出 现 本 来 就 比 极 限 定义 至 少 早 了 150 年 呢 ！ 学 习 者 其 实 应 该 反 思 ， 微 积 分 比 常 量 数 学 高 明 多 少 ；什 么 样 的 方 法 研 究 自 然 界 是 有 效 的 ； 对 人 的 意 识 和 自 然 界 应 该 有 什 么 样 的 态度 ！ 一 、 人 的 意 识 与 自 然 界 的 辩 证 关 系 马 克 思 主 义 哲 学 告 诉 我 们 ： 自 然 界 先 于 人 和 人 的 意 识 而 存 在 ； 在 人 类 出现 之 后 ， 自 然 界 的 存
14、在 与 发 展 也 不 依 赖 于 人 的 意 识 。 所 以 说 ， 自 然 界 的 存 在与 发 展 是 客 观 的 。 而 意 识 的 本 质 是 ： 客 观 存 在 在 人 脑 中 的 反 映 。 自 然 界 是 客观 的 实 体 （ 世 界 是 物 质 的 ） ， 数 学 则 是 人 类 特 有 的 一 种 思 维 方 式 （ 人 的 意 识是 对 客 观 事 物 的 反 映 ） 。 二 者 的 关 系 简 单 来 说 ， 就 是 物 质 决 定 意 识 ！ 也 就 是说 物 质 和 意 识 是 相 互 独 立 的 ； 物 质 可 以 唯 一 ， 但 意 识 却 不 是 唯 一 的
15、， 有 正 确的 意 识 和 错 误 的 意 识 之 别 。 数 学 不 是 单 纯 的 数 字 游 戏 ！ 是 有 应 用 价 值 的 ， 体 现 在 各 类 数 学 模 型 上 。常 量 数 学 固 然 在 17 世 纪 以 前 发 挥 了 一 定 作 用 ， 不 过 对 于 变 量 数 学 就 不 行 了 。因 为 常 量 数 学 的 研 究 方 法 ， 过 于 侧 重 人 的 意 识 ， 不 能 很 好 的 深 入 自 然 领 域 ，而 且 是 一 种 宏 观 （ 整 体 ） 上 的 方 法 。 与 自 然 界 的 联 系 是 不 紧 密 的 ， 二 者 的 关系 比 较 松 散 （
16、粗 糙 ） ； 或 者 可 以 说 没 有 抓 住 客 观 事 物 的 本 质 ， 所 以 要 处 理 许多 的 自 然 科 学 提 出 的 问 题 是 不 可 能 的 。 二 、 常 量 数 学 与 自 然 界 的 辩 证 关 系 常 量 数 学 初 等 几 何 中 没 有 定 义 “点 ”、 “线 ”、 “面 ”。 同 时 按照 运 动 观 点 有 ： 点 动 成 线 ， 线 运 动 成 面 、 面 动 成 体 。 用 不 可 分 量 的 集 合 论 就是 说 ： 线 是 点 的 集 合 ， 面 是 线 的 集 合 等 。 而 且 不 定 义 的 “点 ”、 “线 ”、“面 ”是 经 过
17、抽 象 的 ， 认 为 不 具 备 自 然 属 性 ， 只 有 几 何 特 性 ； 然 而 自 然 界 所有 的 “点 ”、 “线 ”、 “面 ”都 是 客 观 存 在 的 ， 均 具 有 自 然 属 性 。 我 在 数 学 哲 学 的 自 然 原 理 中 提 过 ： 定 理 I： 一 切 物 体 总 占 据 着 空 间 且 不 受 影 响 ， 并 能 进 行 空 间 交 换 。 定 理 II： 空 间 总 能 容 纳 物 体 且 不 受 影 响 ， 并 允 许 容 纳 物 进 行 空 间 交 换 。 这 两 个 定 理 是 对 绝 对 空 间 来 说 的 ， 不 是 指 相 对 空 间 ；
18、其 实 在 爱 因 斯 坦 的理 论 准 确 一 些 ， 后 面 也 是 要 说 的 。 提 这 两 个 定 理 是 要 指 出 ， 自 然 界 确 实 找 不 到 没 有 体 积 （ 不 占 据 空 间 的 ）点 、 线 、 面 。 于 是 ， 初 等 几 何 和 自 然 界 就 必 然 存 在 着 矛 盾 。 例 如 平 面 直 角 坐标 系 内 的 任 意 曲 线 （ 函 数 、 方 程 ） 作 为 自 然 界 的 客 观 实 体 ， 元 素 （ 点 的 轨 迹集 合 ） 是 实 实 在 在 的 物 质 ， 是 有 长 度 的 ！ 可 是 有 长 度 的 点 还 是 点 吗 ？ 当然 不
19、 是 至 少 也 会 是 线 段 ， 存 在 却 不 可 度 量 ！ 可 见 自 然 界 的 “点 ”不 在 人 的意 识 定 义 范 围 之 内 （ 不 可 度 量 性 ） 。 这 是 算 术 与 自 然 界 的 矛 盾 。 这 样 就 不 能以 （ 算 术 的 度 量 尺 度 +初 等 几 何 ） 来 描 述 了 ， 因 为 无 法 描 述 非 要 描 述 呢 话（ 点 是 没 有 长 度 的 长 度 ） ！ 这 是 一 个 典 型 的 罗 素 驳 论 ： 点 是 长 度 为 0 的 长度 或 者 点 不 是 长 度 ！ 到 底 是 什 么 ？ 这 仅 仅 是 表 面 现 象 ， 根 本
20、上 还 是 说 明 了 一种 辩 证 关 系 ： 自 然 界 是 独 立 的 ， 意 识 只 是 人 脑 的 反 映 。 所 谓 罗 素 驳 论 ， 起 源 于 19 世 纪 的 第 三 次 数 学 危 机 ， 是 关 于 数 学 基 础 的讨 论 （ 数 学 的 基 础 是 什 么 ？ ） ！ 简 单 的 例 子 就 是 理 发 师 驳 论 ： 某 村 有 一 位 手艺 高 超 的 理 发 师 ， 他 只 给 村 上 一 切 不 给 自 己 刮 脸 的 人 刮 脸 ， 试 问 ？ 理 发 师 给不 给 自 己 刮 脸 ？ 如 果 他 不 给 自 己 刮 脸 ， 他 是 个 不 给 自 己 刮
21、 脸 的 人 ， 他 应 当 给 自 己 刮 脸 ；如 果 他 给 自 己 刮 脸 ， 他 就 是 给 自 己 刮 脸 的 人 ， 照 他 的 要 求 又 不 能 给 自 己 刮 脸 。到 底 该 不 该 自 己 刮 脸 呢 ？ 三 、 数 学 方 法 怎 样 处 理 自 然 界 的 客 观 问 题 既 然 数 学 对 象 是 自 然 界 的 客 观 实 体 ， 方 法 上 就 必 须 保 持 自 然 界 的 客 观 性是 存 在 的 ， 最 终 能 够 回 归 到 自 然 界 ， 不 能 停 留 在 意 识 之 上 ！ 例 如 ： 初 等 几 何中 的 点 、 线 、 面 抽 象 后 否 定
22、 了 物 质 性 ， 是 脱 离 客 观 实 体 的 客 观 性 （ 世 界 是 物质 的 ） 的 ， 只 具 备 几 何 特 性 ； 如 果 以 它 们 这 种 非 物 质 形 态 来 研 究 真 实 的 自 然界 肯 定 不 行 ， 因 为 已 经 脱 离 了 自 然 界 。 可 是 自 然 界 的 客 观 实 体 确 实 是 它 们 组成 的 ， 不 可 分 量 的 集 合 论 就 指 出 ： 线 是 点 的 集 合 ， 面 是 线 的 集 合 等 ， 这 种 观点 又 承 认 了 它 们 的 （ 物 质 性 ） 自 然 属 性 这 是 整 体 上 的 认 可 。 整 体 上 可 以 认
23、 可 ， 部 分 当 然 也 是 可 以 认 可 的 。 但 是 部 分 （ 意 识 ） 是 和 自然 界 有 矛 盾 的 ， 对 于 部 分 常 量 数 学 ， 只 承 认 几 何 性 ， 没 有 认 可 自 然 性 ！ 因 为它 们 不 可 度 量 ， 不 在 常 量 数 学 算 术 度 量 尺 度 体 制 之 内 。 仅 凭 几 何 特 性 来 研 究自 然 界 的 客 观 实 体 显 然 是 脱 离 一 定 实 际 的 。 所 以 需 要 它 们 能 以 真 实 的 物 质 形 态 来 研 究 自 然 界 。 因 为 它 们 的 客 观 物 质形 态 是 逃 逸 出 纯 粹 数 学 （
24、 其 实 是 常 量 数 学 ） 的 ， 所 以 要 研 究 的 问 题 最 终 必 须逃 逸 出 纯 粹 数 学 （ 常 量 数 学 ） 的 体 制 ， 这 样 元 素 就 实 现 了 自 然 界 的 回 归 ， 于是 整 体 必 然 也 还 原 于 自 然 界 。 逃 逸 就 必 然 表 现 在 逻 辑 矛 盾 之 上 ， 即 与 常 量 数学 的 思 维 上 的 逻 辑 矛 盾 ！ 因 为 只 有 矛 盾 才 能 说 明 最 终 形 态 确 实 逃 逸 出 了 人 的意 识 （ 初 等 几 何 +算 术 度 量 ） ， 反 之 没 有 矛 盾 就 不 能 说 回 归 了 自 然 界 ！
25、四 、 变 量 数 学 与 自 然 界 的 辩 证 关 系 变 量 数 学 的 中 心 其 实 应 该 是 函 数 。 初 等 几 何 否 定 了 点 、 线 、 面 的 物 质 性 ，只 承 认 几 何 特 性 ， 是 脱 离 客 观 实 体 的 客 观 性 的 ； 集 合 理 念 则 指 出 ： 线 是 点 的集 合 ， 面 是 线 的 集 合 等 ， 这 种 观 点 承 认 了 它 们 的 自 然 属 性 整 体 上 的 认可 。 而 这 种 观 点 在 逻 辑 上 体 现 在 函 数 身 上 ， 例 如 ： 圆 是 到 定 点 的 距 离 等 于 定长 的 点 的 集 合 ， P=M|
26、MC=r隐 函 数 表 达 式 为 ： x2+y2=r2。 所 以 函 数 是 对数 学 对 象 （ 物 质 性 ） 的 客 观 反 映 ， 在 宏 观 （ 整 体 ） 上 认 可 了 自 然 属 性 ； 这 样整 体 的 微 观 部 分 具 有 的 客 观 性 也 得 到 了 认 可 ， 在 研 究 函 数 的 局 部 性 质 时 ， 这种 客 观 性 就 会 表 达 出 来 。 这 也 就 是 微 积 分 所 要 反 映 的 基 本 事 实 ！ 只 有 承 认 了 自 然 界 客 观 性 的 数 学 ， 才 具 有 研 究 自 然 界 的 能 力 。 常 量 数 学否 定 了 自 然 属
27、性 脱 离 了 一 定 实 际 ， 这 就 限 制 了 其 自 身 对 自 然 界 的 解 决 能力 ； 这 也 就 是 常 量 数 学 与 变 量 数 学 本 质 的 地 方 ， 常 量 与 变 量 只 是 一 种 数 学 形态 的 外 在 表 现 。 我 觉 得 赫 曼 威 尔 在 数 学 哲 学 与 科 学 哲 学 中 问 的 好 ：为 什 么 大 自 然 中 的 事 件 可 由 观 察 和 数 学 分 析 （ 微 积 分 ） 的 结 合 来 预 言 。 因 为数 学 分 析 ， 一 开 始 就 承 认 了 自 然 界 的 客 观 性 ！ 正 如 马 克 思 雄 辩 的 回 答 那 样
28、：“意 识 能 够 正 确 的 反 映 客 观 事 物 ”。 微 积 分 离 开 了 函 数 ， 就 丢 失 了 灵 魂 。 笛卡 尔 的 解 析 几 何 引 入 了 变 数 ， 加 深 了 函 数 的 理 念 。 有 了 函 数 才 能 真 正 的 建 立起 微 积 分 ， 牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式 深 刻 的 反 映 了 ， 自 然 界 整 体 与 局 部 的 客 观性 的 联 系 。 函 数 本 身 是 一 个 自 然 界 的 微 雕 ， 通 过 数 学 分 析 研 究 函 数 就 是 在 研 究 自 然界 微 雕 的 局 部 性 质 。 反 过 来 研 究 自 然 界 微 雕 的
29、 局 部 ， 在 还 原 于 函 数 又 能 整 体上 表 达 自 然 界 （ 微 分 方 程 ） 。 五 、 微 积 分 与 自 然 界 的 辩 证 关 系 微 积 分 就 是 回 归 自 然 界 的 一 种 方 法 ， 它 所 有 的 最 终 形 态 （ 取 极 限 ） ， 没有 哪 里 是 不 存 在 矛 盾 的 ； 什 么 贝 克 莱 驳 论 、 定 积 分 0+0 驳 论 、 无 穷 级 数 芝诺 的 追 击 驳 论 等 。 由 于 研 究 的 基 本 都 是 自 然 界 的 客 观 实 体 （ 或 规 律 ） 。所 以 微 积 分 的 精 髓 在 于 元 素 （ 体 制 外 微 元
30、 ） 和 驳 论 ！ 就 是 要 置 常 量 数学 于 死 地 ， 从 而 回 归 自 然 的 方 法 。 也 只 有 这 样 的 方 法 才 能 研 究 自 然 界 ， 可 以说 微 积 分 是 常 量 数 学 死 亡 后 ， 浴 火 重 生 后 的 凤 凰 。 后 来 的 极 限 论 定 义 其 实 是 在 轻 微 的 维 护 常 量 数 学 （ 人 的 意 识 ） ， 无穷 级 数 也 一 样 ， 有 名 的 芝 诺 追 击 驳 论 （ 是 违 反 客 观 自 然 规 律 的 ） ， 但 最 终 取极 限 就 还 原 了 自 然 真 实 。 极 限 难 ！ 在 于 无 法 看 透 自 然
31、 界 与 人 的 意 识 的 辩 证 关系 。 一 味 的 理 解 极 限 定 义 ， 次 序 颠 倒 ， 意 而 上 学 。 从 这 里 可 以 看 出 ： 微积 分 必 定 是 要 先 于 极 限 论 建 立 ， 它 的 方 法 本 质 不 在 于 建 立 定 义 ， 而 在 于回 归 自 然 界 ， 极 限 则 是 其 回 归 的 常 量 数 学 逻 辑 表 达 形 式 （ 代 言 人 ） 。 所 以 极限 论 的 出 现 是 必 然 的 ， 矛 盾 和 驳 论 也 是 必 然 的 ！ 有 这 样 的 辩 证 关 系 ， 于 是 产 生 了 一 些 有 趣 的 现 象 ： 0/0=20（
32、 导 数 ） ，0+0+0=1/3（ 定 积 分 ） ， 1/2+1/4+1/8+=1。 导 数 反 映 了 自 然 界 点 的自 然 属 性 （ 有 长 度 ） ； 定 积 分 反 映 了 线 段 有 面 积 ， 二 重 积 分 反 映 了 线 段 有 体积 ， 二 次 积 分 后 反 映 了 平 面 有 体 积 ， 无 穷 级 数 反 映 了 追 得 上 ！ 然 而 这 些 真 实的 存 在 ， 却 不 可 感 知 （ 不 在 初 等 几 何 之 内 ） ， 不 可 度 量 因 为 在 体 制 （ 算 术 ）之 外 。 七 、 无 穷 小 与 相 对 论 为 什 么 同 一 条 曲 线 ，
33、 组 成 的 元 素 都 是 点 无 差 别 的 ， 为 什 么 导 数 不 同 ？0/0=1、 0/0=2、 0/0=100。 首 先 函 数 代 表 曲 线 ， 曲 线 上 的 点 都 与 x 轴 上 的 点一 一 对 应 （ 同 样 数 目 的 点 ） ； 可 是 曲 线 的 自 然 长 度 确 与 x 轴 对 应 的 长 度 是不 等 的 ， 所 以 曲 线 上 的 点 在 这 种 关 系 下 一 般 不 相 同 。 在 定 积 分 中 要 注 意 这 种相 对 关 系 ， 这 也 就 是 产 生 微 元 有 无 穷 小 和 高 阶 无 穷 小 的 原 因 ！ 六 、 微 积 分 可
34、以 初 等 化 的 原 因 微 积 分 可 以 初 等 化 ， 在 于 不 可 分 量 的 集 合 论 就 指 出 ： 线 是 点 的 集 合 ， 面是 线 的 集 合 等 ， 这 种 观 点 承 认 了 它 们 的 自 然 属 性 这 是 整 体 上 的 认 可 。整 体 上 把 握 并 且 在 常 量 数 学 体 制 之 内 ， 避 免 了 处 理 体 制 外 的 数 学 ， 绕 开 了 矛盾 和 驳 论 ！ 另 一 方 面 微 积 分 本 就 不 依 赖 于 极 限 ， 所 以 也 是 可 以 绕 开 的 。 具 体形 式 我 不 用 看 也 猜 得 出 来 ， 用 函 数 关 系 ！
35、这 也 就 是 其 独 到 之 处 ， 不 置 常 量 数学 于 死 地 ， 仍 然 回 归 自 然 的 方 法 。 逻 辑 上 确 实 清 楚 了 ， 少 了 不 少 负 担 ， 有 利于 中 国 的 数 学 教 育 。 常 量 数 学 的 方 法 体 制 不 死 ， 微 积 分 也 就 初 等 化 了 。 但 却有 代 价 ， 学 习 者 可 能 在 局 部 分 析 上 的 能 力 有 所 下 降 。 八 、 中 西 文 化 的 差 异 西 方 哲 学 家 继 承 了 古 希 腊 哲 学 理 性 思 维 的 传 统 ， 注 重 理 性 思 辩 和 热 衷 于构 建 形 而 上 学 的 理
36、论 体 系 ， 这 种 思 维 方 式 和 习 惯 与 高 等 数 学 的 思 维 习 惯 是 相似 的 。 并 且 西 方 哲 学 理 论 和 哲 学 观 点 多 是 建 立 在 严 密 的 逻 辑 推 理 和 论 证 的 基础 之 上 的 ， 即 使 是 上 帝 的 存 在 问 题 他 们 也 要 向 对 待 数 学 问 题 那 样 试 图 用 严 密的 辩 证 法 和 逻 辑 来 给 予 证 明 。 西 方 哲 学 家 的 这 种 注 重 推 理 论 证 和 寻 求 因 果 联系 的 理 性 主 义 的 思 维 习 惯 一 旦 与 面 向 感 性 世 界 的 经 验 主 义 和 实 验
37、科 学 相 结 合将 极 大 地 促 进 自 然 科 学 的 发 展 。 在 对 于 微 积 分 的 研 究 上 ， 西 方 数 学 家 把 眼 光 放 在 最 细 微 的 地 方 ， 虽 然 他们 没 有 强 调 这 一 点 ， 然 微 积 分 确 实 征 服 了 “点 ”、 “线 ”、 “面 ”。 这 是一 种 “征 服 文 化 ， ”所 以 牛 顿 、 莱 布 尼 兹 、 柯 西 在 这 种 文 化 的 熏 陶 下 ， 长 时间 内 是 不 会 也 不 可 能 去 考 虑 ： 强 可 导 函 数 的 。 中 国 传 统 哲 学 自 孔 子 以 来 就 培 养 了 一 种 深 厚 的 “实
38、 用 理 性 精 神 ”， 总是 同 做 人 即 人 格 修 养 联 系 在 一 起 ， 因 此 有 关 人 性 论 和 修 养 论 的 内 容 最 为 丰 富 。哲 学 家 提 出 任 何 一 种 学 说 都 要 说 明 它 对 做 人 的 意 义 ， 都 要 满 足 为 政 治 实 践 和道 德 实 践 服 务 的 现 实 需 要 ， 这 种 纯 功 利 主 义 的 思 维 方 式 和 习 惯 与 西 方 哲 学 本身 所 固 有 的 为 学 术 而 学 术 的 思 维 方 式 和 习 惯 是 大 相 径 庭 的 ， 与 要 求 严 密 推 理和 论 证 的 数 学 思 维 方 式 也 是
39、 格 格 不 入 的 。 这 种 思 维 方 式 和 习 惯 不 利 于 或 者 说阻 碍 了 近 代 自 然 科 学 在 中 国 的 兴 起 和 发 展 。 强 可 导 函 数 ， 整 体 上 暗 中 回 归 了 自 然 界 ， 这 种 方 法 维 护 人 的 意 识 （ 常 量数 学 ） 比 极 限 论 要 强 烈 的 多 。 逻 辑 思 维 上 较 简 单 没 有 了 驳 论 和 矛 盾 ， 有 利 于学 生 偷 懒 。 西 方 的 微 积 分 方 法 ， 侧 重 于 了 数 学 与 自 然 界 最 终 的 和 谐 与 统 一 ；中 国 的 初 等 化 微 积 分 侧 重 于 数 学 与
40、 人 的 和 谐 统 一 。 西 方 为 了 研 究 自 然 界 ， 牺牲 初 等 数 学 （ 意 识 ） 了 为 代 价 ， 体 现 了 对 自 然 界 的 热 爱 和 尊 重 。 中 国 的 初 等化 微 积 分 ， 体 现 了 以 人 为 本 的 理 念 。 学 习 西 方 哲 学 ， 改 造 中 国 传 统 哲 学 的 思 维 方 式 和 习 惯 ， 养 成 一 种 与 数 学思 维 方 式 相 似 的 注 重 严 密 推 理 和 论 证 的 思 维 方 式 和 习 惯 ， 对 于 促 进 我 国 科 学技 术 的 发 展 是 大 有 裨 益 的 ！ 所 以 我 觉 得 即 便 学 了
41、 初 等 的 微 积 分 ， 还 是 有 必 要重 新 学 极 限 论 的 微 积 分 。 这 不 是 麻 烦 ， 而 是 思 维 的 转 型 。 中 学 一 次 ， 大 学 再学 一 次 ！ 就 怕 我 们 的 学 生 ， 觉 得 强 可 导 简 单 ， 对 西 方 微 积 分 有 抵 触 情 绪 ， 不愿 意 接 受 。 最 好 是 中 西 结 合 ， 最 终 的 道 路 都 是 殊 途 同 归 ， 不 可 厚 此 薄 彼 。 微 积 分 大 意 部 分 简 单 说 明 一 、 部 分 马 克 思 主 义 哲 学 的 简 单 内 容 一 、 哲 学 的 “哲 ”的 源 学 含 义 英 语
42、philosophy Philos （ 爱 ） Sophia（ 智 慧 ） 汉 语 ， 中 国 古 代 的 “哲 ”字 ， 就 是 智 慧 的 意 思 ， 经 日 本 学 者 西 周 的 翻 译 ，古 希 腊 爱 智 慧 的 学 问 就 叫 哲 学 。 在 亚 里 士 多 德 的 知 识 分 类 中 ， 哲 学 又 被 称 为 形 而 上 学 。 亚 里 士 多 德 把 人 类 的 知 识 分 为 两 大 类 ， 第 一 类 知 识 是 研 究 抽 象 的 超 验 的对 象 ， 被 称 为 第 一 哲 学 ;第 二 类 知 识 是 研 究 具 体 的 经 验 的 对 象 ， 被 称 为 第 二
43、哲 学 ， 也 叫 物 理 学 。 亚 里 士 多 德 去 世 之 后 ， 他 的 学 生 们 在 编 辑 老 师 的 著 作 时 ，把 第 一 哲 学 放 在 了 第 二 哲 学 之 后 出 版 ， 中 国 人 在 最 初 翻 译 亚 里 士 多 德 的 哲 学著 作 时 ， 采 用 直 译 的 方 式 ， 就 把 第 一 哲 学 翻 译 为 物 理 学 之 后 。 后 来 才 根 据 中国 古 代 易 经 系 辞 中 的 两 句 话 ： 形 而 上 者 谓 之 道 ， 形 而 下 者 谓 之 器 ， 把 哲学 译 为 形 而 上 学 。 二 、 哲 学 是 理 论 化 、 系 统 化 的
44、世 界 观 1.从 哲 学 的 研 究 对 象 角 度 下 的 定 义 。 2.世 界 观 是 人 们 对 整 个 世 界 的 根 本 看 法 。 3.方 法 论 是 人 们 在 一 定 的 世 界 观 指 导 下 认 识 和 改 造 世 界 的 根 本 方 法 。 三 、 哲 学 是 关 于 自 然 知 识 、 社 会 知 识 和 、 思 维 知 识 的 概 括 和 总 结 四 、 理 解 微 积 分 需 要 了 解 的 哲 学 原 理 1、 自 然 界 与 人 的 辩 证 关 系 ： 自 然 界 先 于 人 和 人 的 意 识 而 存 在 ； 在 人 类 出 现 之 后 ， 自 然 界 的
45、 存 在 与 发展 也 不 依 赖 于 人 的 意 识 。 所 以 说 ， 自 然 界 的 存 在 与 发 展 是 客 观 的 。 2、 哲 学 上 的 物 质 马 克 思 主 义 哲 学 把 不 依 赖 于 人 的 意 识 、 并 能 为 人 的 意 识 所 反 映 的 客 观 实体 叫 做 物 质 ， 指 出 整 个 世 界 是 客 观 存 在 的 物 质 世 界 ， 世 界 的 本 质 是 物 质 。 3、 什 么 是 人 的 意 识 意 识 是 客 观 存 在 在 人 脑 中 的 反 映 。 （ 意 识 无 论 正 确 与 错 误 都 是 一 种 反 映 ！） 4、 物 质 与 运 动
46、 的 辩 证 关 系 物 质 是 运 动 的 物 质 ， 运 动 是 物 质 的 运 动 。 运 动 是 物 质 的 根 本 属 性 和 存 在方 式 ， 物 质 是 运 动 的 主 体 ， 物 质 和 运 动 不 可 分 割 。 离 开 物 质 谈 运 动 ， 或 者 离开 运 动 谈 物 质 ， 都 是 错 误 的 。 （ 在 后 面 的 微 积 分 内 容 ， 会 看 到 相 对 论 效 应 。） 注 意 ： 函 数 与 自 然 界 辩 证 法 要 用 这 一 条 。 可 以 了 ， 要 理 解 微 积 分 和 相 对 论 效 应 （ 你 不 用 追 着 光 跑 ！ ） ， 这 几 条
47、就足 够 了 。 有 能 力 的 可 以 看 其 它 哲 学 的 内 容 。 二 、 常 量 数 学 的 哲 学 分 析 1、 常 量 数 学 的 概 念 所 谓 常 量 数 学 指 ： 初 等 数 学 ， 即 从 原 始 社 会 到 17 世 纪 中 叶 形 成 的 数 学 。研 究 的 主 要 对 象 是 常 数 、 常 量 和 不 变 的 图 形 。 2、 常 量 数 学 的 基 本 组 成 初 等 数 学 在 时 间 上 可 以 按 主 要 学 科 的 形 成 和 发 展 分 为 三 个 阶 段 ： 萌 芽 阶段 ， 公 元 前 6 世 纪 以 前 ； 几 何 优 先 阶 段 ， 公
48、元 前 5 世 纪 到 公 元 2 世 纪 ； 代数 优 先 阶 段 ， 3 世 纪 到 17 世 纪 前 期 。 至 此 ， 初 等 数 学 的 主 体 部 分 算 术 、代 数 与 几 何 已 经 全 部 形 成 ， 并 且 发 展 成 熟 。 所 以 ， 常 量 数 学 的 组 成 可 以 认 为 是 ： 算 术 +初 等 代 数 +初 等 几 何 ， 再 加上 一 点 点 极 限 的 原 始 理 论 。 比 如 ， 我 国 魏 晋 时 期 杰 出 的 数 学 家 刘 微 创 立 了“割 圆 术 ”曾 说 “割 之 弥 细 ， 割 之 又 割 ， 以 至 于 不 可 割 ， 则 与 圆
49、周 和 体 而 无所 失 矣 。 ” 和 庄 周 所 著 的 庄 子 一 书 的 “天 下 篇 ”中 ， 记 有 “一 尺 之 棰 ，日 取 其 半 ， 万 世 不 竭 。 ”这 些 均 是 朴 素 的 、 很 典 型 的 极 限 概 念 。 奇 怪 了 ， 在 古 希 腊 既 然 有 了 “极 限 理 论 ”怎 么 就 生 不 出 微 积 分 呢 ？ 原因 在 于 没 有 函 数 的 理 念 ！ 首 先 ， 微 积 分 不 是 极 限 的 必 然 产 物 ， 而 是 函 数 的 必然 产 物 。 所 以 中 间 掉 了 一 部 分 ， 是 建 不 起 来 微 积 分 理 论 的 ， 甚 至 可 以 说 极 限是 函 数 的 衍 生 物 。 3、 常 量 数 学 在 哲 学 上 的 辩 证 分 析 先 提 一 提 算 术 ， 其 实 是 一 种 人 为 的 约 定 ， 起 源 于 原 始 的 劳 动 计 数 和 收 集 。这 是 一 种 人 特 有 的 意 识 ， 对 自 然 活 动 的 一 种 反 映 。 假 如 ， 你 旁 边 有 一 个 人
