1、毕 业 论 文题 目 微 积 分 在 高 中 数 学 中 的 应 用 学 院 数 学 与 统 计 学 院 专 业 数 学 与 应 用 数 学 研 究 类 型 研 究 综 述 原 创 性 声 明本 人 郑 重 声 明 ： 本 人 所 呈 交 的 论 文 是 在 指 导 教 师 的 指 导 下独 立 进 行 研 究 所 取 得 的 成 果 。 学 位 论 文 中 凡 是 引 用 他 人 已 经 发表 或 未 经 发 表 的 成 果 、 数 据 、 观 点 等 均 已 明 确 注 明 出 处 。 除 文中 已 经 注 明 引 用 的 内 容 外 ， 不 包 含 任 何 其 他 个 人 或 集 体 已
2、 经 发表 或 撰 写 过 的 科 研 成 果 。本 声 明 的 法 律 责 任 由 本 人 承 担 。论 文 作 者 签 名 ： 年 月 日论 文 指 导 教 师 签 名 ： 年 月 日微积分在高中数学中的应用宋安康(天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000)摘 要 微积分是高等数学中应用最广泛的学科之一，应用微积分能快速解决生活中的实际问题，本文主要研究运用微积分解决高中数学中有关极限、导数、微分、不等式等问题中的应用，系统地分析总结出微积分在高考数学中的简便解题方法.关键词 极限； 微积分；应用；高中数学.Applications of the Calculus in Ma
3、thmatics in High SchoolSong Ankang(School of Mathmatics and Statistics, Tianshui Normal University, Gansu, China, 741000)Abstract Calculus is one of the most widely-used subjects in mathematics in high school; the application of calculus can help us quickly solve the practical problems in our daily
4、life. This paper mainly studies the application of calculus in solving mathmatics problems, such as limit, derivative and differential, and inequality, in high school, systematically analysising and summerizing some simple and convenient mathmatics problem-solving methods of calculus in high school.
5、Key words limit, calculus, application, Mathmatics in high school.目 录1 引言 .12 极限 .12.1 函数的极限 .12.2 函数极限的求法 .23 微分. .43.1 变化率与导数 .43.2 导数的应用 .44 积分 .164.1 积分的概念 .165 综合应用 .175.1 不等式的综合应用 .175.2 用微分中值定理 .185.3 微积分在高中数学竞赛中的应用 .205.4 微积分在高考中的应用 .226 小结 .25参考文献 .26数学与统计学院 2013 届毕业论文11 引言为了描述现实世界中的运动，变化着的
6、现象，在数学中引入函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念，随着对函数研究的不断深化，产生了微积分，它是数学发展史上继欧式几何后又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类问题直接相关，一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度，面积，体积和重心等.几百年中，科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰.终于，在 17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独
7、立的创立了微积分.导数是微积分的核心观念之一，它是研究函数增减，变化快慢，最大（小）值等问题的最一般，最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度，物种繁殖率，绿化面积增长率，以及用料最省，利润最大，效率最高等实际问题的最有力的工具，定积分也是微积分核心观念之一，与导数相比，定积分的起源要早的多，它的思想萌芽甚至可以追溯到两千多年前，自然科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积，变速直线运的路程，变力所做的功等都可以归结为定积分的问题，实际上，微积分在物理，化学，生物，天文，地理以及经济各种科学领域中都有非常广泛的应用.在本文中，我们将利用丰富的背景与大量实例，学习导数和定积分的基本概念与思
8、想方法；通过应用导数研究函数性质，解决生活中的最优化问题等实践活动，通过应用定积分解决一些简单的几何和物理问题，初步感受导数和定积分在解决数学问题与时间问题中的作用；通过微积分基本定理的学习，初步体会导数与定积分之间的内在联系，最好的解决了高考中的考点问题.2 极限 极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值（极限值）.数学与统计学院 2013 届毕业论文22.1 函数的极限定义 设 RDf:是一个定义在实数上的函数. L 是一个给定的实数. c是一个数，并且函数 在 c的某个去心邻域上有定义.如果对任意的正实数 都存在一个正
9、实数 使得对任意的实数 x只要 f在点 x处有定义，并且 x在 c的某个 一个去心领域中即， |00x就有 |)(|L，那么就称 L是函数 f在 趋于 时的极限.2.2 函数极限的求法本节论述几种函数极限的求法.2.2.1 约去零因子求极限例 1 求极限 1lim4x【说明】 表明 与 无限接近，但 1x，所以 x这一零因子可以约去.解 (传统法 ) 6)(lim1)()(li 2121 xxx =4.（洛必达） lim41x= 31lix= 4.2.2.2 分子分母同除求极限例 2 求极限 13li2x【说明】 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求.解 3lim13li1
10、2xxx .【注】(1) 一般分子分母同除 的最高次方；(2) nmbaxbanmmnnx 0li1数学与统计学院 2013 届毕业论文32.2.3 分子(母)有理化求极限例 3 求极限 )13(lim22xx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式.解 13)(li)(li 222222 xxxlim22x0.例 4 求极限 30sin1talixx解 xxxx sin1talimsitn1lim3030 300 sintalmitn1li xxx 30siali2x4.【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键. 2.2.4 用洛必达法则求极限
11、例 5 求极限 220 )sin1l(coslnimxx说明 或 型的极限,可通过洛必达法则来求.解 220 )sin1l(coslnixxxx2sin1cosili20xx 20sinlim.例 6 求 1limx2数学与统计学院 2013 届毕业论文4解（方法一） 1limx2= 1lix)(x= 1lix=0（方法二） 1limx2= 1lix2=0（洛必达法则）3 微分.3.1 变化率与导数一般地，函数 )(xfy在 0处的瞬时变化率是 xffxx )(limli 000，我们称它为函数 )(fy在 处的导数，记作 xf(0)= y| ox,即(0xf= xfx)(lili0例 7（2
12、009 海南）曲线 ye12在 ),(处的切线方程解 yex12，则 + + 所以 |xy0x3故在点 处的切线方程为 ,即 .)1,0(y3y例 8 求函数 在 , + 内的平均变化率 .2xy0x解 +0(f)(f= + （ + ）2x21x021=4 +20)(所以=4 +2 =4 +2 .xy02)(x0x数学与统计学院 2013 届毕业论文53.2 导数的应用为了方便，今后我们直接使用下面的基本初等函数的导数公式.3.2.1 基本初等函数的导数公式1 若 c(c 为常数)，则 ；(xf )(xf02 若 ( Q ),则 ;13 若 , 则 ;)(xfsin)xfcos4 若 , 则
13、;co(in5 若 ,则 ;)(xfa)xfal6 若 ,则 ;e(ex7 若 , 则 ;)(xfloga)faln18 若 , 则 ;n(x3.2.2 导数运算法则1 = .)(xgf)(xgf2 =g(x) . )(f3 = .)(xgf )()(xfgxf/g2x()04 ff例 9 求 )的导函数;)(x1ln2x解 =f22= 221xx= .21数学与统计学院 2013 届毕业论文63.2.3 导数在函数的应用函数是描述描述客观世界规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减，增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的，通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规
14、律有一个基本的了解，科学家们对数量的变化规律进行长期的研究，导致了微积分的创立.1 单调性与导数 一般地，函数的单调性与导函数的正负有关.在某区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间上单调递增；如),(ba)(xf0)(xfy果 , 那么函数 在这个区间上单调递减.)(xf0y求函数单调区间的步骤.(1)确定函数 的定义域.)(xf(2)求导数 .y(3)由 （ ）解出相应的 的取值范围，当 时，)(xf0)(xfx)(xf0)(xf(4)在相应的区间上是减函数；当 时， 在相应的区间上是增函数)(f0)(f2 函数的最值与导数.利用导数求极值可分为三步.(1)求导数 ；)(xf(2)求方程 的根；0(3)检验 在方程 的根的左右两边的符号，确定极值)(xf)(xf例 10 求函数 ， 的极值，最值ln,0(e解 因为 ，令 ，得 1)(xf xex/1又因为
