1、 第 1 页 共 4 页函数性质一、 知识清单：1、函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在 上为减函数.012（ ， ） （ ， ）2、单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法： 定义法（作差比较和作商比较） ； 图象法； 单调性的运算性质（实质上是不等式性质） ； 复合函数单调性判断法则; 导数法（适用于多项式函数）注：函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大
2、小，解抽象函数不等式等。3.偶函数偶函数： .设（ ）为偶函数上一点，则（ ）也是图象上一点.)(xffba, ba,偶函数的判定：两个条件同时满足 定义域一定要关于 轴对称，例如： 在 上不是偶函数.y12xy), 满足 ，或 ，若 时， .)(xff0)(xff 0)(f 1)(xf4. 奇函数奇函数： .设（ ）为奇函数上一点，则（ ）也是图象上一点.)(ff ba, ba,奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如： 在 上3xy)1,不是奇函数.满足 ，或 ，若 时， .)(xff0)(xff 0)(xf 1)(xf注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条
3、件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如 ， （f (x)0）()f()f课前练习1.讨论函数 的单调性。21)(xf2函数 在定义域上的单调性为 C xy（A）在 上是增函数，在 上是增函数;（B）减函数;,（C）在 上是减函数，在 上是减函数 ;（D ）增函数113已知函数 f (x), g (x)在 R 上是增函数，求证：f g (x)在 R 上也是增函数。4判断下列函数的奇偶性：第 2 页 共 4 页 , ,xxf1)( 221)(xf2(0)()xf非奇非偶函数 既奇且偶 奇函数典型例题例 1已知函数 ， ，且()log(1)afx(log(1)0ax
4、x1)a（1） 求函数 定义域（-1，1）（2） 判断函数 的奇偶性，并说明理由. 偶函数()fx变式 1：已知 是偶函数，定义域为 .则 ， 0 2()3fab1,2a31b变式 2：函数 的图象关于 （ B ） |3|4|92xyA 轴对称 B 轴对称 C原点对称 D直线 对称xy 0yx变式 3：若函数 是奇函数，则2()log()afxxa2变式 4：函数 的图象关于直线 对称.则 3 y3变式 5：函数 在 上的单调递增区间为 ( , ) 2sinx(0,)例 2、已知函数 是偶函数，而且在 上是减函数，判断 在 上是增函数()f (,)()fx,0)还是减函数，并证明你的判断.变式
5、 1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A A. B. C. D. Rxy,3 Rxy,sinRxy, Rxy,)21(变式 2：函数 是 R 上的偶函数，且在 上是增函数，若 ,则实数()f (,0fa的取值范围是 a2,或 a-2 a第 3 页 共 4 页设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系例 3、已知函数 ，求 ， ，f 的值 5，21，(4),0)xf(1)f3)(1)a变式 1：设 则 _ _,0.()xegln()2g变式 2：已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是( ) (31)4,)logaxfx(,)a31,7例 4、设函数 f（x）的定义域是 N*，且
6、， ，则 f（25）()fxyfyx1)f=325 变式 1：设函数 定义在 R 上，对任意实数 m、n，恒有 且当()yf ()()fnfm0,()xfx（1）求证：f（0）=1，且当 x0 时，f（x）1；（2）求证：f（x）在 R 上递减；（ 3） 设 集 合 A=（ x， y） |f（ x2） f（ y2） f（ 1） ， B=（ x， y） |f（ ax y+2）=1，aR ，若 AB= ，求 a 的取值范围.实战演练1、 ， 是定义在 R 上的函数， ，则“ ， 均为偶函数”()fxg()()hxfgx()fxg是“ 为偶函数”的充分不必要条件h2、在 R 上定义的函数 是偶函数，
7、且 .若 在区间 上是减函数，则()fx()fx2)f()fx1,2()fx在区间 上是增函数，在区间 上是减函数,13,4第 4 页 共 4 页4、设 ，则使函数 的定义域为 R 且为奇函数的所有 值为 1，31,32ayx5、设函数 定义在实数集上，它的图像关于直线 对称，且当 时，()fx 1xx，则 的大小关系 ()31f32,()f 23()()3fff6、已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f(| |)f(7) B.f(6)f(9) C.f(7)f(9) D.f(7)f(10)8、函数 的单调增区间为 （ ）21log(56)yx2,9、函数 与 在同一直角坐标系下的图象大致是 C2()lf1()xg12、函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则()yfx3log(0)yxyx3 。()fx13、已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ，则3()128fx3,Mm24.Mm14、设函数 为奇函数，则 -1()afxa15、已知函数 为奇函数，若 ，则 1()yf(3)21f(2)3ff
