1、第 1 页 共 15 页2016 年湖南省邵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分1 （3 分） （2016 邵阳） 的相反数是（ ）A B C D2【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答【解答】解： 的相反数是 故选 A【点评】本题考查了实数的性质，熟记相反数的定义是解题的关键2 （3 分） （2016 邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）A B C D【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，
2、故本选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确故选 D【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键3 （3 分） （2016 邵阳）如图所示，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，若 ABCD，1=100，则 2 的大小是（ ）A10 B 50 C80 D100 【分析】根据平行线的性质得到3= 1=100，根据平角的定义即可得到结论【解答】解：AB CD，3=1=100，2=1803=80，故选 C第 2 页 共 15 页【点
3、评】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是求出3 的度数4 （3 分） （2016 邵阳）在学校演讲比赛中，10 名选手的成绩统计图如图所示，则这 10 名选手成绩的众数是（ ）A95 B90 C85 D80【分析】根据众数的定义和给出的数据可直接得出答案【解答】解：根据折线统计图可得：90 分的人数有 5 个，人数最多，则众数是 90；故选 B【点评】此题考查了众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数是本题的关键5 （3 分） （2016 邵阳）一次函数 y=x+2 的图象不经过的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】根据一次函数的系数确定函
4、数图象经过的象限，由此即可得出结论【解答】解：一次函数 y=x+2 中 k=10，b=20，该函数图象经过第一、二、四象限故选 C【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出函数图象经过的象限本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数系数的正负确定函数图象经过的象限是关键6 （3 分） （2016 邵阳）分式方程 = 的解是（ ）Ax= 1 Bx=1 C x=2 D x=3【分析】观察可得最简公分母是 x（x+1） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解【解答】解：两边都乘以 x（x+1）得：3（x+1）=4x ，去括号，得：3x+3=4x，移项、合
5、并，得：x=3，经检验 x=3 是原分式方程的解，第 3 页 共 15 页故选：D【点评】本题考查了分式方程的解法， （1）解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要验根7 （3 分） （2016 邵阳）一元二次方程 2x23x+1=0 的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【分析】代入数据求出根的判别式=b 24ac 的值，根据的正负即可得出结论【解答】解：=b 24ac=（3） 2421=10，该方程有两个不相等的实数根故选 B【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是求出根的判别式=
6、1本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的正负确定根的个数是关键8 （3 分） （2016 邵阳）如图所示，点 D 是ABC 的边 AC 上一点（不含端点） ，AD=BD，则下列结论正确的是（ ）AACBC BAC=BC C A ABC D A=ABC【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，由 AD=BD 得到A= ABD，所以ABC A，则对各 C、D选项进行判断；根据大边对大角可对 A、B 进行判断【解答】解：AD=BD，A=ABD，ABCA，所以 C 选项和 D 选项错误；ACBC，所以 A 选项正确；B 选项错误故选 A【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的
7、两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合9 （3 分） （2016 邵阳）如图所示，AB 是O 的直径，点 C 为O 外一点，CA，CD 是O 的切线，A，D 为切点，连接 BD，AD若ACD=30，则 DBA 的大小是（ ）A15 B 30 C60 D75 【分析】首先连接 OD，由 CA，CD 是O 的切线， ACD=30，即可求得AOD 的度数，又由OB=OD，即可求得答案【解答】解：连接 OD，第 4 页 共 15 页CA，CD 是O 的切线，OAAC，ODCD，OAC=ODC=90，ACD=30，AOD=360COACODC=150
8、，OB=OD，DBA=ODB= AOD=75故选 D【点评】此题考查了切线的性质以及等腰三角形的性质注意准确作出辅助线是解此题的关键10 （3 分） （2016 邵阳）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中 y 与 n 之间的关系是（ ）Ay=2n+1 B y=2 n+n Cy=2 n+1+n Dy=2 n+n+1【分析】由题意可得下边三角形的数字规律为：n+2 n，继而求得答案【解答】解：观察可知：左边三角形的数字规律为：1， 2，n，右边三角形的数字规律为：2，2 2，2 n，下边三角形的数字规律为：1+2，2+2 2，n+2 n，y=2n+n故
9、选 B【点评】此题考查了数字规律性问题注意根据题意找到规律 y=2n+n 是关键二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分11 （3 分） （2016 邵阳）将多项式 m3mn2 因式分解的结果是 m（m+n） （m n） 【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可【解答】解：原式=m（m 2n2）=m（m+n ） （m n） 故答案为：m（m+n） （m n）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12 （3 分） （2016 邵阳）学校射击队计划从甲、乙两人中选拔一人参加运动会射击比赛，在选拔过程中，每人射击 10 次，计
10、算他们的平均成绩及方差如下表：第 5 页 共 15 页选手 甲 乙平均数（环） 9.5 9.5方差 0.035 0.015请你根据上表中的数据选一人参加比赛，最适合的人选是 乙 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定【解答】解：因为 S 甲 2=0.035S 乙 2=0.015，方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙故答案为乙【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定13 （3 分） （2016 邵阳）将等边 CBA
11、 绕点 C 顺时针旋转 得到CB A，使得 B，C，A三点在同一直线上，如图所示，则 的大小是 120 【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可【解答】解：三角形 ABC 是等边三角形，ACB=60，等边 CBA 绕点 C 顺时针旋转 得到CBA ，使得 B，C ，A 三点在同一直线上，BCA=180，BCA=60，ACB=60，=60+60=120，故答案为：120【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等14 （3 分） （2016 邵阳）已知反比例函数 y= （k0）的图象如图所示，则 k 的值可能是
12、 1 （写一个即可） 【分析】利用反比例函数的性质得到 k0，然后在此范围内取一个值即可【解答】解：双曲线的两支分别位于第二、第四象限，k 0，k 可取 1故答案为1第 6 页 共 15 页【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数 y= （k0）的图象是双曲线；当 k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大15 （3 分） （2016 邵阳）不等式组 的解集是 2x1 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可【解答】解： ，由得，x1，由得，x2，故不等
13、式组的解集为：2x 1故答案为：2 x1【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到” 的原则是解答此题的关键16 （3 分） （2016 邵阳）2015 年 7 月，第四十五届“世界超级计算机 500 强排行榜”榜单发布，我国国防科技大学研制的“天河二号” 以每秒 33861013 次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，若将 33861013 用科学记数法表示成 a10n 的形式，则 n 的值是 16 【分析】直接利用科学记数法的表示方法分析得出 n 的值【解答】解：3386 1013=3.3861016，则 n=16故答案为：16【点评】此题主
14、要考查了科学记数法的表示，正确理解 n 的意义是解题关键17 （3 分） （2016 邵阳）如图所示，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，若 ABCD，请添加一个条件 ADBC （写一个即可） ，使四边形 ABCD 是平行四边形【分析】根据平行四边形的定义或判定定理即可解答【解答】解：可以添加：ADBC（答案不唯一） 第 7 页 共 15 页故答案是：ADBC 【点评】本题考查了平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，理解定义是关键18 （3 分） （2016 邵阳）如图所示，在 33 的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，点O，A，B 均为格点，则扇形 OAB
15、的面积大小是 【分析】根据题意知，该扇形的圆心角是 90根据勾股定理可以求得 OA=OB= ，由扇形面积公式可得出结论【解答】解：每个小方格都是边长为 1 的正方形，OA=OB= = ，S 扇形 OAB= = = 故答案为： 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键三、解答题：本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分19 （8 分） （2016 邵阳）计算：（ 2） 2+2cos60（ ） 0【分析】原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果【解答】解：原式=4+2 1=4+11=4【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法
16、则是解本题的关键20 （8 分） （2016 邵阳）先化简，再求值：（mn） 2m（m 2n） ，其中 m= ，n= 【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 m 与n 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=m 22mn+n2m2+2mn=n2，当 n= 时，原式=2 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键第 8 页 共 15 页21 （8 分） （2016 邵阳）如图所示，点 E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 BD 上的点，BF=DE，求证：AE=CF【分析】根据平行四边形的性质可得 ADBC，AD=BC
17、，根据平行线的性质可得EDA= FBC，再加上条件 ED=BF 可利用 SAS 判定AEDCFB，进而可得 AE=CF【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AD=BC，EDA=FBC，在AED 和 CFB 中，AEDCFB（SAS） ，AE=CF【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等四、解答题：本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分22 （8 分） （2016 邵阳）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂 AO 长为 40cm，与水平面所形成的夹角OAM 为 75由光源 O 射出的边缘光线 OC，O
18、B 与水平面所形成的夹角 OCA，OBA分别为 90和 30，求该台灯照亮水平面的宽度 BC（不考虑其他因素，结果精确到 0.1cm温馨提示：sin750.97，cos75 0.26， ） 【分析】根据 sin75= = ，求出 OC 的长，根据 tan30= ，再求出 BC 的长，即可求解【解答】解：在直角三角形 ACO 中，sin75 = = 0.97，解得 OC38.8，在直角三角形 BCO 中，tan30= = ，解得 BC67.3答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 大约是 67.3cm【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键第 9 页 共 15 页2
19、3 （8 分） （2016 邵阳）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买 2 个 A 品牌的足球和 3 个 B 品牌的足球共需 380 元；购买 4 个 A 品牌的足球和 2 个 B 品牌的足球共需360 元（1）求 A，B 两种品牌的足球的单价（2）求该校购买 20 个 A 品牌的足球和 2 个 B 品牌的足球的总费用【分析】 （1）设一个 A 品牌的足球需 x 元，则一个 B 品牌的足球需 y 元，根据“购买 2 个 A 品牌的足球和 3 个 B 品牌的足球共需 380 元；购买 4 个 A 品牌的足球和 2 个 B 品牌的足球共需 360 元”列出方程组
20、并解答；（2）把（1）中的数据代入求值即可【解答】解：（1）设一个 A 品牌的足球需 x 元，则一个 B 品牌的足球需 y 元，依题意得： ，解得 答：一个 A 品牌的足球需 40 元，则一个 B 品牌的足球需 100 元；（2）依题意得：20 40+2100=1000（元） 答：该校购买 20 个 A 品牌的足球和 2 个 B 品牌的足球的总费用是 1000 元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键24 （8 分） （2016 邵阳）为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学教学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果
21、分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图请结合图中信息，解决下列问题：（1）求此次调查中接受调查的人数（2）求此次调查中结果为非常满意的人数（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的 4 位市民中随机选择 2 为进行回访，已知 4 为市民中有 2 位来自甲区，另 2 位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率【分析】 （1）由满意的有 20 人，占 40%，即可求得此次调查中接受调查的人数（2）由（1） ，即可求得此次调查中结果为非常满意的人数（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择的市民均来自甲区的
22、情况，再利用概率公式即可求得答案第 10 页 共 15 页【解答】解：（1）满意的有 20 人，占 40%，此次调查中接受调查的人数：2040%=50（人） ；（2）此次调查中结果为非常满意的人数为：504 820=18（人） ；（3）画树状图得：共有 12 种等可能的结果，选择的市民均来自甲区的有 2 种情况，选择的市民均来自甲区的概率为： = 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比五、综合题：本大题共 2 小题，其中 25 题 8 分，26 题 10 分，共 18 分25 （8 分） （2016 邵阳）尤秀同学遇到了
23、这样一个问题：如图 1 所示，已知 AF，BE 是ABC 的中线，且 AFBE，垂足为 P，设 BC=a，AC=b ，AB=c求证：a 2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接 EF，利用 EF 为ABC 的中位线得到EPF BPA，故 ，设 PF=m，PE=n，用m，n 把 PA，PB 分别表示出来，再在 RtAPE，Rt BPF 中利用勾股定理计算，消去 m，n 即可得证（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为 3 的菱形 ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，E，F 分别为线段 AO，DO 的中点，连接BE，
24、CF 并延长交于点 M，BM，CM 分别交 AD 于点 G，H，如图 2 所示，求 MG2+MH2 的值【分析】 （1）设 PF=m，PE=n，连结 EF，如图 1，根据三角形中位线性质得 EFAB，EF= c，则可判断EFPBPA，利用相似比得到 PB=2n，PA=2m，接着根据勾股定理得到 n2+4m2= b2，m 2+4n2= a2，则 5（n 2+m2） = （a 2+b2） ，而 n2+m2=EF2= c2，所以 a2+b2=5c2；第 11 页 共 15 页（2）利用（1）的结论得 MB2+MC2=5BC2=532=45，再利用 AEGCEB 可计算出 AG=1，同理可得DH=1，
25、则 GH=1，然后利用 GHBC，根据平行线分线段长比例定理得到 MB=3GM，MC=3MH，然后等量代换后可得 MG2+MH2=5【解答】解：（1）设 PF=m，PE=n ，连结 EF，如图 1，AF，BE 是ABC 的中线，EF 为ABC 的中位线，AE= b，BF= a，EFAB，EF= c，EFPBPA， ，即 = = ，PB=2n，PA=2m，在 RtAEP 中， PE2+PA2=AE2，n2+4m2= b2，在 RtAEP 中， PF2+PB2=BF2，m2+4n2= a2，+得 5（n 2+m2）= （a 2+b2） ，在 RtEFP 中，PE 2+PF2=EF2，n2+m2=E
26、F2= c2，5 c2= （a 2+b2） ，a2+b2=5c2；（2）四边形 ABCD 为菱形，BDAC，E， F 分别为线段 AO，DO 的中点，由（1）的结论得 MB2+MC2=5BC2=532=45，AGBC，AEGCEB， = = ，AG=1，同理可得 DH=1，GH=1，GHBC， = = = ，MB=3GM，MC=3MH，9MG2+9MH2=45，MG2+MH2=5第 12 页 共 15 页【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了三角形中位线性质和菱形的性质26 （10 分）
27、 （2016 邵阳）已知抛物线 y=ax24a（a0）与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，点 P 是抛物线上一点，且 PB=AB， PBA=120，如图所示（1）求抛物线的解析式（2）设点 M（m，n）为抛物线上的一个动点，且在曲线 PA 上移动当点 M 在曲线 PB 之间（含端点）移动时，是否存在点 M 使 APM 的面积为 ？若存在，求点 M的坐标；若不存在，请说明理由当点 M 在曲线 BA 之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点 M 的坐标【分析】 （1）先求出 A、B 两点坐标，然后过点 P 作 PCx 轴于点 C，根据 PBA=120
28、，PB=AB，分别求出 BC 和 PC 的长度即可得出点 P 的坐标，最后将点 P 的坐标代入二次函数解析式即；（2）过点 M 作 MEx 轴于点 E，交 AP 于点 D，分别用含 m 的式子表示点 D、M 的坐标，然后代入APM 的面积公式 DMAC，根据题意列出方程求出 m 的值；根据题意可知：n0，然后对 m 的值进行分类讨论，当2m0 时，|m|= m；当 0m2 时，|m|=m，列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值【解答】解：（1）如图 1，令 y=0 代入 y=ax24a，0=ax24a，第 13 页 共 15 页a0，x24=0，x=2，A（ 2， 0） ，B（2，0）
29、，AB=4，过点 P 作 PCx 轴于点 C，PBC=180PBA=60，PB=AB=4，cosPBC= ，BC=2，由勾股定理可求得：PC=2 ，OC=OC+BC=4，P（ 4，2 ） ，把 P（4，2 ）代入 y=ax24a，2 =16a4a，a= ，抛物线解析式为；y= x2 ；（2）点 M 在抛物线上，n= m2 ，M 的坐标为（ m， m2 ） ，当点 M 在曲线 PB 之间（含端点）移动时，2m4，如图 2，过点 M 作 MEx 轴于点 E，交 AP 于点 D，设直线 AP 的解析式为 y=kx+b，把 A（2，0）与 P（4，2 ）代入 y=kx+b，得： ，解得第 14 页 共
30、 15 页直线 AP 的解析式为：y= x+ ，令 x=m 代入 y= x+ ，y= m+ ，D 的坐标为（m， m+ ） ，DM=（ m+ ） （ m2 ）= m2+ m+ ，SAPM= DMAE+ DMCE= DM（AE+CE ）= DMAC= m2+ m+4当 SAPM= 时， = m2+ m+4 ，解得 m=3 或 m=1，2m4，m=3，此时，M 的坐标为（3， ） ；当点 M 在曲线 BA 之间（含端点）移动时，2m2，n0，当2 m0 时，|m|+|n|=mn= m2m+ = （m+ ） 2+ ，当 m= 时，|m|+|n|可取得最大值，最大值为 ，此时，M 的坐标为（ ， ） ，当 0m2 时，|m|+|n|=mn= m2+m+ = （m ） 2+ ，第 15 页 共 15 页当 m= 时，|m|+|n|可取得最大值，最大值为 ，此时，M 的坐标为（ ， ） ，综上所述，当点 M 在曲线 BA 之间（含端点）移动时，M 的坐标为（ ， ）或（ ， ）时，|m|+|n|的最大值为 【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，三角形面积公式，二次函数最值等知识，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数的性质
