1、1,Email: ,图论及其应用,任课教师：杨春,数学科学学院,2,本次课主要内容,(一)、涉及算法的相关概念,(二)、平面性算法,平面性算法,3,关于图的平面性问题，我们已经建立了一些平面性判定方法：,(一)、涉及算法的相关概念,(1) 对于简单图G=(n, m)，如果m3n-6，则G是非可平面的；,(2) 对于连通图G=(n, m)，如果每个面次数至少为l3,且m(n-2)l /(l-2)，则G是非可平面的；,(3) 库拉托斯基定理：G是可平面的当且仅当G不含有与K5或K3,3同胚的子图；,(4) 瓦格纳定理：G是可平面的当且仅当G不含有能够收缩成K5或K3,3的子图；,4,上面的判定方法
2、，局限性很大。这次课我们将给出一个算法，其作用是：如果G非可平面，通过算法可以得到判定；如果G是可平面图，通过算法，可以给出一种平面嵌入形式。,定义1 设H是G的一个子图，在E(G)-E(H)中定义一个二元关系“ ”:,(1) e1与e2分别是W的始边和终边，且,(2) W的内点与H不能相交。,5,定义2 设B是E(G)-E(H)关于二元关系“ ” 的等价类在G中的边导出子图，则称B是G关于子图H的一座桥。桥与H的公共顶点称为桥B在H中的附着顶点。,例1 在下图中，红色边在G中导出子图为H。求出G关于H的所有桥。,6,定义3 设H是图G的可平面子图， 是H的一种平面嵌入。若G也是可平面图，且存
3、在G的一个平面嵌入 ，使得：,称 是G容许的。,例2 在G中，我们取红色边导出的子图为H, 并取,容易知道： 是G容许的。,7,例3 在G中，我们取红色边导出的子图为H, 并取,容易知道： 不 是G容许的。,定义4 设B是G中子图H的任意一座桥，若B对H的所有附着顶点都位于 的某个面 f 的边界上，则称B在面 f 内可画入，否则，称B在面 f 内不可画入。,8,对于G的桥B,令：,例4 红色边的导出子图是H,如果取 确定H的桥在 中可以画入的面集合。,解：,9,定理1 设 是G容许的，则对于H的每座桥B:,证明：因 是G容许的，由定义，存在G的一个平面嵌入 ，使得：,于是，H的桥B所对应的 的
4、子图，必然限制在 的某个面内。所以：,注：定理1实际上给出了一个图是可平面图的一个必要条件。这个必要条件表明：如果存在G的一个可平面子图H,10,使得对于某桥B，有 ，那么，G是非可平面的。,根据上面的结论：我们可以按如下方式来考虑G的平面性问题：,先取G的一个可平面子图H1, 其平面嵌入是,对于H1的每座桥B,如果： ，则G非可平面。,否则，取H1的桥B1,作：H2=B1H1,再取一个面,将B1画入 的面 f 中。,11,如果B1可平面，则只要把B1平面嵌入后，得到H2的平面嵌入,然后再进行上面相同的操作，可以得到G的边数递增的子图平面嵌入序列：,最终，得到可平面图G的一种平面嵌入形式。,(
5、二)、平面性算法,1964年，Demoucron, Mlgrance和Pertuiset提出了下面的平面性算法，简称DMP算法。,12,设G是至少三个顶点的简单块。,(1) 取G的一个圈H1,求出H1的一个平面嵌入 。置i=1;,(2) 若E(G)-E(Hi)=,则停止；否则，确定G中Hi的所有桥，并对每座桥B，求出 ；,(3) 若存在桥B,使得： ，则停止 (G不可平面) ；否则，在Hi的所有桥中确定一个使得 最小的B，并取 。,(4) 在桥B中取一条连接Hi中两个附着顶点的路Pi,置Hi+1=HiPi,把Pi画在 的面 f 内,得到,13,(5) 置i=i+1转(2)。,例5 用平面性算法
6、考察下图G的平面性。,解：(1) 取G的一个圈H1,并作平面嵌入：,14,(2),15,(3) 取B1和f1. (4) 取P1=v1v3,16,(3) 取B2和f3. (4) 取P2=v2v7,17,18,(3) 取B1和f1. (4) 取P3=v1v4,19,(3) 取B1和f5. (4) 取P4=v2v6,20,继续下去，得到：,算法分析：主要运算包括：,21,（i）找出块G中的一个圈Hi；,（ii）确定G中Hi的桥以及它们对于Hi的附着点；,（iii）对于 的每个面 f 确定其周界；,（iv）对于 的每座桥B，确定,（v）在Hi 的某座桥B中求一条起点与终点均为附着点 的一条路Pi。,可
7、证上述每一个算法均存在好算法，因此平面性算法 也是好算法。,本章部分习题解答,22,例1 求证，每个5连通简单可平面图至少有12个顶点。,证明：设G是5连通图，则：,由惠特尼定理得：,所以：,另一方面：G是5连通简单可平面图，所以有：,于是得：,即：,所以：n12。,23,例2 求证，没有6连通简单可平面图。,证明：若不然，设G是6连通图，则：,由惠特尼定理得：,所以：,于是得：,这与G是简单平面图矛盾。,例3 求证：若G是连通平面图，且所有顶点度数不小于3，则G至少有一个面 f，使得：deg ( f ) 5。,24,证明：若不然，则：,由欧拉公式得：,于是得：,另一方面：由(G)3得：2m3
8、n 3n-6,这样导出矛盾。,25,例4 设G是一个(n, m)单图，图G分解为可平面子图的最少个数称为G的厚度(G).求证：,(1),(2),26,证明: (1) 当n=1时，结论成立。,设当n3时，G分解为(G)个可平面子图Gi(1i (G),因为每个Gi是平面单图，于是：,所以：,27,(2) 根据完全图的边数和结论(1)，可得到(2)中不等式。又因为K3, K4是平面图，所以(K3)= (K4)=1，而直接计算：,所以，等式对n=3与4时也成立！当5n8时，Kn是非可平面图。因为存在8阶简单可平面图G，其补图也是可平面图，所以对5n8，Kn可以分解为两个可平面图，即： (Kn)= 2(5n8).,另一方面：当5n8时，直接计算知：,这就证明了(2)。,28,说明：习题6的1-9题比较简单，要求自己独立完成。没有讲到的习题，作为参考。,29,作业,P143-146 习题6 ：1-9,30,Thank You !,
