1、第三章 模式理论指导遗传算法的基本理论，是J.H.Holland教授创立的模式理论。该理论揭示了遗传算法的基本机理。3.1 基本概念3.1.1 问题的引出例： 求 max f(x)=x2 x 0,31,分析 当编码的最左边字符为“1”时，其个体适应度较大，如2号个体和4号个体，我们将其记为 “ 1* ”；其中2号个体适应度最大，其编码的左边两位都是1，我们记为 “ 11* ”； 当编码的最左边字符为“0”时，其个体适应度较小，如1号和3号个体，我们记为 “ 0* ”。结论从这个例子可以看比，我们在分析编码字符串时，常常只关心某一位或某几位字符，而对其他字符不关心。换句话讲我们只关心字符的某些特
2、定形式，如1*，11*，0*。这种特定的形式就叫模式。3.1.2 模式、模式阶及模式定义长度模式(Schema)指编码的字符串中具有类似特征的子集。以五位二进制字符串为例，模式 *111* 可代表4个个体： 01110，01111，11110，11111；模式 *0000 则代表2个个体：10000，00000 。, 个体是由二值字符集 V=0, 1 中的元素所组成的一个编码串; 而模式却是由三值字符集 V=0, 1,* 中的元素所组成的一个编码串，其中“ * ” 表示通配符，它既可被当作 “1” 也可被当作 “0”。模式阶 (Schema Order)指模式中已有明确含意(二进制字符时指0或
3、1)的字符个数，记做 o(s)，式中 s 代表模式。例如，模式 ( 011*1* ) 含有4个明确含意的字符，其阶次是4，记作 o( 011*1* ) =4;模式 ( 0* ) 的阶次是1，记作 o( 0* ) =1。 阶次越低，模式的概括性越强，所代表的编码串个体数也越多，反之亦然； 当模式阶次为零时，它没有明确含义的字符，其概括性最强。模式的定义长度( Schema Defining Length)指模式中第一个和最后一个具有明确含意的字符之间的距离，记作 (s)。例如，模式( 011*l* ) 的第一个字符为0，最后一个字符为l，中间有3个字符，其定义长度为4，记作 ( 011*l* )
4、 = 4 ；模式 ( 0* ) 的长度是0，记作 ( 0* ) = 0 ；, 一般地，有式子(s)b a式中 b模式s 中最后一个明确字符的位置;a模式s 中最前一个明确字符的位置。 模式的长度代表该模式在今后遗传操作(交叉、变异)中被破坏的可能性：模式长度越短，被破坏的可能性越小，长度为0的模式最难被破坏。3.1.3 编码字符串的模式数目(1) 模式总数 二进制字符串假设字符的长度为l，字符串中每一个字符可取( 0, 1, * ) 三个符号中任意一个，可能组成的模式数目最多为：3 3 3 3 = (2+1)l 一般情况下，假设字符串长度为l，字符的取值为 k 种，字符串组成的模式数目 n1
5、最多 为： n1=(k+1)l,(2) 编码字符串（一个个体编码串）所含模式总数 二进制字符串对于长度为l的某二进制字符串，它含有的模式总数最多为：2 2 2 2 = 2l 注意 这个数目是指字符串已确定为0或1，每个字符只能在已定值 (0/1)或* 中选取；前面所述的 n1 指字符串未确定，每个字符可在0, 1, * 三者中选取。 一般情况下长度为l、取值有 k 种的某一字符串，它可能含有的模式数目最多为： n2 = kl(3) 群体所含模式数在长度为l，规模为M的二进制编码字符串群体中，一般包含有2l M 2l个模式。,3.2 模式定理 由前面的叙述我们可以知道，在引入模式的概念之后，遗传
6、算法的实质可看作是对模式的一种运算。对基本遗传算法(GA)而言，也就是某一模式s 的各个样本经过选择运算、交义运算、变异运算之后，得到一些新的样本和新的模式。3.2.1 复制时的模式数目这里以比例选择算子为例研究。公式推导(1) 假设在第t次迭代时, 群体P(t)中有M个个体, 其中m个个体属于模式s, 记作m(s,t)。(2) 个体 ai 按其适应度 fi 的大小进行复制。从统计意义讲，个体ai被复制的概率pi是：,(3) 因此复制后在下一代群体 P(t+1)中，群体内属于模式s（或称与模式s匹配） 的个体数目 m(s,t+1) 可用平均适应度按下式近似计算：,(4) 设第t代所有个体(不论
7、它属于何种模式)的平均适应度是 , 有等式:,(5) 综合上述两式，复制后模式s所拥有的个体数目可按下式近似计算：,结论 上式说明复制后下一代群体中属于模式s 的个体数目，取决于该模式的平均适应度 与群体的平均适应度 之比; 只有当模式s 的平均值 大于群钵的平均值 时，s模式的个体数目才能增长。否则，s模式的数目要减小。 模式s 的这种增减规律，正好符合复制操作的“优胜劣汰”原则，这也说明模式的确能描述编码字符串的内部特征。,进一步推导(1) 假设某一模式s 在复制过程中其平均适应度 比群体的平均适应度 高出一个定值 ，其中c 为常数，则上式改写为：,结论 从数学上讲，上式是一个指数方程，它
8、说明模式s 所拥有的个体数目在复制过程中以指数形式增加或减小。,(2) 从第一代开始，若模式s 以常数c 繁殖到第 t+1代，其个体数目为：,m( s, t+1 ) = m( s, 1 ) (1+c )t,3.2.2 交叉时的模式数目这里以单点交叉算子为例研究。 举例 (1) 有两个模式 s1: “ * 1 * * * * 0 ”s2: “ * * * 1 0 * * ”它们有一个共同的可匹配的个体（可与模式匹配的个体称为模式的表示）a: “ 0 1 1 1 0 0 0 ”(2) 选择个体a 进行交叉(3) 随机选择交叉点s1: “ * 1 * * * * 0 ” 交叉点选在第 2 6 之间都
9、可能破坏模式s1;s2: “ * * * 1 0 * * ” 交叉点在 第 4 5之间才破坏s2。公式推导(1) 交换发生在模式s 的定义长度 (s)范围内，即模式被破坏的概率是：,例： s1 被破坏的概率为：5/6 s2 被破坏的概率为：1/6,l,(2) 模式不被破坏，存活下来的概率为：,(3) 若交叉概率为pc，则模式存活下来的概率为：,结论模式的定义长度对模式的存亡影响很大，模式的长度越大，越容易被破坏。,(4) 经复制、交叉操作后，模式s在下一 代群体中所拥有的个体数目为：,l-1,l-1,3.2.3 变异时的模式数目这里以基本位变异算子为例研究。公式推导 (1) 变异时个体的每一位
10、发生变化的概率是变异概率pm，也就是说，每一位存 活的概率是(1- pm)。根据模式的阶o(s)，可知模式中有明确含意的字符有o(s)个，于是模式s 存活的概率是：,(2) 通常 pm1，上式用泰勒级数展开取一次项，可近似表达为： ps 1 pm o(s),结论 上式说明，模式的阶次o(s)越低，模式s 存活的可能性越大，反之亦然。,3.2.4 模式定理综合式、 可以得出遗传算法经复制、交叉、变异操作后，模式s在下一代群体中所拥有的个体数目，如下式所示：,模式定理 适应度高于群体平均适应度的，长度较短，低阶的模式在遗传算法的迭代过程中将按指数规律增长。模式定理深刻地阐明了遗传算法中发生“优胜劣
11、汰”的原因。在遗传过程中 能存活的模式都是定义长度短、阶次低、平均适应度高于群体平均适应度的 优良模式。遗传算法正是利用这些优良模式逐步进化到最优解。,3.2.5 模式定理示例例： 求 max f(x)=x2 x 0,31,3.3 建筑块假说 3.3.1 模式对搜索空间的划分举例 以 max f(x)=x2 x 0,31 为例，图中：横坐标表示x，纵坐标代表适应度f(x)=x2，用千分数表示，弧线表示适应度曲线，网点区代表所有符合此模式的个体集合。模式1：1*,模式2：10*,模式3：*1*1,结论模式能够划分搜索空间，而且模式的阶越高，对搜索空间的划分越细致。3.3.2 分配搜索次数模式定理
12、告诉我们：GA根据模式的适应度、长度和阶次为模式分配搜索次数。为那些适应度较高，长度较短，阶次较低的模式分配的搜索次数按指数率增长； 为那些适应度较低，长度较长，阶次较高的模式分配的搜索次数按指数率衰减。3.3.3 建筑块假说前面我们已经介绍了GA如何划分搜索空间和在各个子空间中分配搜索次数，那么GA如何利用搜索过程中的积累信息加快搜索速度呢？Holland 和 Goldberg在模式定理的基础上提出了“建筑块假说”。, 建筑块（或称积木块）(Buliding Block)短定义长度、低阶、高适应度的模式。之所以称之为建筑块（积木块），是由于遗传算法的求解过程并不是在搜 索空间中逐一地测试各个
13、基因的枚举组合，而是通过一些较好的模式，像搭积木一样、将它们拼接在一起，从而逐渐地构造出适应度越来越高的个体编码串。 建筑块假说GA在搜索过程中将不同的“建筑块”通过遗传算子（如交叉算子）的作用结合在一起，形成适应度更高的新模式。这样将大大缩小GA的搜索范围。,建筑块混合建筑块通过遗传算子的作用集合在一起的过程称为“建筑块混合”。当那些构成最优点（或近似最优点）的“建筑块”结合在一起时，就得到了最优点。 建筑块混合的例子 问题的最优用三个建筑块 BB1, BB2, BB3 表示； 群体中有8个个体。 初始群体中个体1，个体2包含建筑块BB1 ，个体3包含BB3 ,个体5包含BB2 。,初始群体
14、,第二代群体,第三代群体,说明： 第三代群体中 出现了一个包 含三个“建筑块” 的个体3。 个体3就代表这 个问题的最优解。,3.4 隐含并行性（内在并行性）隐含并行性（Implicit Parallelism）是模式理论的另一个重要内容。这一机理说明，在遗传算法中尽管每一代只处理M个个体，但实际上却是处理了M3以上的模式。隐含并行性定理设 ( 0, 1 ) 是一个很小的数，模式存活的最小长度 ,群体规模为 , 则GA在一次迭代中所处理的“存活率”大于 (1- ) 的模式数约为O(M3) 。其中 表示上取值。,公式推导以二进制编码为例。在长度为l，规模为M的群体中，包含了 2l M2l 个不
15、同的模式，随着进化过程的进行，这些模式中一些定义长度较长的模式被破坏掉，而另一些定义长度较短的模式却能够生存下来。,(1) 模式存活的最小长度 从模式定理中可以看出，模式在交叉和变异时可能遭破坏。 由于变异概率很小，在此只考虑交叉的破坏（此式也可兼顾变异的破坏因素)。 模式被破坏的概率为：,l, 为保证模式的存活率 , 令pd ，即：, 根据模式定义长度的定义，模式不被破坏的最小长度 是：, 带入上式得：,(2) 个体编码串中拥有长度为 的模式数目示例 假设下述个体编码字符串的长度 l10， 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 设模式s 的存活长度 5。. 将它放置在个体字符串的最左侧，则
16、有：1 0 1 1 1 0 0 0 1 0写成模式的形式，上述字符串变为：% % % % 1 * * * * * 方框中%可在 0, 1, * 三者中任取一个。也就是说，可为固定值 ( 0/1 ) 或不固定值(*)两种情况。 方框内的1表示有一个确定的模式，也可以选方框内的其他固定值表示。这时，可以组成的模式个数是：2 2 2 = . 将上述方框右移一位 其模式表达为： 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 * % % % % 0 * * * *又可以组成 个模式。,. 上述方框可发生在6个不同的位置，即发生次数为： ，于是，长度为 的个体可组成存活长度为 的模式数目是：,(3) 群体中的模式数目当群体由M个个体组成时，可能组成的长度为 的模式数目为：,综合上述各方面，可能存活的模式数目ns为：,即有：ns = cM3 = O(M3),结论 遗传算法所处理的有效模式总数约与群体规模M的立方成正比。也就是说，虽然在进化过程的每一代中只处理了M个个体，但实际上我们并行处理了与M的立方成正比例的模式数。因此，遗传算法实际上是一种并行算法，隐藏在个体的背后，故称隐含并行算法。正是由于这种隐含并行性，遗传算法的搜索效率很高。,
